यदि दो फलनों g और f के लिए,संयुक्त फलन g circ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $g \circ f: A 	o C$ एकैकी और आच्छादक (bijection) है।$1$. $g \circ f$ के एकैकी होने के लिए,$f$ का एकैकी होना आवश्यक है। यदि $f(x_1)

Vedclass · Accepted Answer

$f$ को एकैकी और $g$ को आच्छादक होना चाहिए।

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $g \circ f: A 	o C$ एकैकी और आच्छादक (bijection) है।$1$. $g \circ f$ के एकैकी होने के लिए,$f$ का एकैकी होना आवश्यक है। यदि $f(x_1) = f(x_2)$ है,तो $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ होगा,जिसका अर्थ है कि $x_1 = x_2$ क्योंकि $g \circ f$ एकैकी है।$2$. $g \circ f$ के आच्छादक होने के लिए,$g$ का आच्छादक होना आवश्यक है। प्रत्येक $z \in C$ के लिए,एक ऐसा $x \in A$ मौजूद है कि $g(f(x)) = z$ हो। इसका अर्थ है कि प्रत्येक $z \in C$ के लिए,एक ऐसा $y = f(x) \in B$ मौजूद है कि $g(y) = z$ हो,जो $g$ के आच्छादक होने की परिभाषा है।अतः,$f$ को एकैकी और $g$ को आच्छादक होना चाहिए।

यदि दो फलनों $g$ और $f$ के लिए,संयुक्त फलन $g \circ f$ एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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सिद्ध कीजिए कि यदि $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow C$ आच्छादक (onto) फलन हैं,तो $g \circ f: A \rightarrow C$ भी आच्छादक है।

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