यदि एक बिंदु A से एक दिए गए वृत्त पर स्पर्श र | vedclass

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Question

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है और बिंदु $A(x_1, y_1)$ है।तब स्पर्श जीवा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1)

Vedclass · Accepted Answer

दिए गए वृत्त को लंबकोणीय रूप से काटेगा

Vedclass · Answer

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है और बिंदु $A(x_1, y_1)$ है।तब स्पर्श जीवा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ है,जो सरल होकर $(x_1 + g)x + (y_1 + f)y + (gx_1 + fy_1 + c) = 0$ बनता है।माना एक अन्य बिंदु $B(x_2, y_2)$ है जिससे जीवा गुजरती है,अतः $x_1x_2 + gx_2 + y_1y_2 + fy_2 + gx_1 + fy_1 + c = 0$ ... $(i)$।$AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - (x_1 + x_2)x - (y_1 + y_2)y + x_1x_2 + y_1y_2 = 0$ ... $(ii)$ बनता है।दो वृत्त $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ लंबकोणीय रूप से काटते हैं यदि $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ हो।हमारे वृत्तों के लिए,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = 2g(-\frac{x_1 + x_2}{2}) + 2f(-\frac{y_1 + y_2}{2}) = -gx_1 - gx_2 - fy_1 - fy_2$।समीकरण $(i)$ से,$-gx_1 - gx_2 - fy_1 - fy_2 = x_1x_2 + y_1y_2 + c$।अतः,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$,जो दर्शाता है कि वृत्त लंबकोणीय रूप से काटते हैं।इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

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बिंदु $(2, -3)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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