आकृति में,एक वृत्त की दो जीवाएँ $AB$ और $CD$ बढ़ाई जाने पर वृत्त के बाहर बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

(N/A) $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ सिद्ध करने के लिए,$\triangle PAD$ और $\triangle PCB$ पर विचार करें।
$1$. $\angle P = \angle P$ (उभयनिष्ठ कोण)।
$2$. $\angle PDA = \angle PBC$ (चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण उसके अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है,या चूँकि $\angle PAD + \angle DAB = 180^{\circ}$ और $\angle BCD + \angle DAB = 180^{\circ}$,इसलिए $\angle PAD = \angle BCD$,और इस प्रकार $AA$ समरूपता कसौटी द्वारा $\triangle PAD \sim \triangle PCB$ है)।
चूँकि $\triangle PAD \sim \triangle PCB$ है,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होगा:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB} = \frac{AD}{CB}$।
पहले दो भागों को लेने पर:
$\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}$
वज्र-गुणन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$PA \cdot PB = PC \cdot PD$।