निम्नलिखित में $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। कॉलम $I$ में दिए गए फलनों को कॉलम $II$ में दिए गए गुणों के साथ सुमेलित कीजिए।
कॉलम $I$ कॉलम $II$
$(A)$ $f(x) = x|x|$ $(p)$ $(-1, 1)$ में सतत है
$(B)$ $f(x) = \sqrt{|x|}$ $(q)$ $(-1, 1)$ में अवकलनीय है
$(C)$ $f(x) = x + [x]$ $(r)$ $(-1, 1)$ में निरंतर वर्धमान है
$(D)$ $f(x) = |x - 1| + |x + 1|$ $(s)$ $(-1, 1)$ में कम से कम एक बिंदु पर अवकलनीय नहीं है

  • A
    $A-(p, q, r), B-(p, s), C-(r, s), D-(p, s)$
  • B
    $A-(p, q, r), B-(p, s), C-(r, s), D-(p, q)$
  • C
    $A-(p, q, r), B-(p, s), C-(r, s), D-(p, s)$
  • D
    $A-(p, q, r), B-(p, s), C-(r, s), D-(p, s)$

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मान लीजिए $f$ और $g$ $R$ पर दो बार अवकलनीय फलन हैं ताकि
$f^{\prime \prime}(x)=g^{\prime \prime}(x)+6 x$
$f^{\prime}(1)=4, g^{\prime}(1)=3$
$f(2)=12, g(2)=4$
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार दिया गया है:
$f(x) = \begin{cases} x^5+5x^4+10x^3+10x^2+3x+1, & x < 0 \\ x^2-x+1, & 0 \leq x < 1 \\ \frac{2}{3}x^3-4x^2+7x-\frac{8}{3}, & 1 \leq x < 3 \\ (x-2)\log_e(x-2)-x+\frac{10}{3}, & x \geq 3 \end{cases}$
तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $f^{\prime}$ का $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम है
$(2)$ $f$ आच्छादक (onto) है
$(3)$ $f$,$(-\infty, 0)$ पर वर्धमान है
$(4)$ $f^{\prime}$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है

फलन $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ पर विचार करें जो $f(x) = \begin{cases} (2 - \sin(\frac{1}{x}))|x|, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है। तो $f$ है

यदि $f(x) = 4x^3 - x^2 - 2x + 1$ और $g(x) = \begin{cases} \min \{f(t) : 0 \le t \le x\} & ; 0 \le x \le 1 \\ 3 - x & ; 1 < x \le 2 \end{cases}$ है,तो $g\left( \frac{1}{4} \right) + g\left( \frac{3}{4} \right) + g\left( \frac{5}{4} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

वह बिंदुओं की संख्या,जहाँ वक्र $f(x) = e^{8x} - e^{6x} - 3e^{4x} - e^{2x} + 1$,$x \in R$,$x$-अक्ष को काटता है,बराबर है

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