मान लीजिए कि S उन सभी फलनों f:[0,1] rightarro | vedclass

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Question

(D) अंतराल $[c, 1]$ पर फलन $f$ के लिए लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर,जहाँ $c \in (0, 1)$,कम से कम एक बिंदु $a \in (c, 1)$ ऐसा विद्यमा

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$\frac{f(1) - f(c)}{1 - c} = f'(a)$,किसी $a \in (c, 1)$ के लिए

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(D) अंतराल $[c, 1]$ पर फलन $f$ के लिए लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर,जहाँ $c \in (0, 1)$,कम से कम एक बिंदु $a \in (c, 1)$ ऐसा विद्यमान होता है कि $\frac{f(1) - f(c)}{1 - c} = f'(a)$ हो।विकल्प $(A)$,$(B)$,और $(C)$ $S$ के सभी फलनों के लिए सत्य होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $f(x) = k$ (एक अचर फलन) है,तो $f'(x) = 0$ होगा। इस स्थिति में,$|f(c) - f(1)| = 0$ और $(1 - c)|f'(c)| = 0$ होगा,इसलिए असमिका $|f(c) - f(1)| विकल्प $(D)$ अंतराल $[c, 1]$ पर $LMVT$ का सीधा अनुप्रयोग है,जो समीकरण को संतुष्ट करने वाले $a \in (c, 1)$ के अस्तित्व को सुनिश्चित करता है।

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माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में,$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$। यदि $a = 0$,$b = \frac{1}{2}$ और $f(x) = x(x - 1)(x - 2)$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

फलन $f(x) = x(x + 3)e^{-\frac{1}{2}x}$, $[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है। $c$ का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f$, $(a, b)$ में अवकलनीय है, $x=a$ और $x=b$ पर सतत है, और $f(a)=0=f(b)$ है। तो:

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