मान लीजिए P एक ऐसा बिंदु है कि समतलों x + y + | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए बिंदु $P$ $(x, y, z)$ है। समतलों $x + y + z = 0$,$lx - nz = 0$ और $x - 2y + z = 0$ से दूरियाँ $d_1 = \frac{|x + y + z|}{\sqrt{3}}$,$d_2

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(A) मान लीजिए बिंदु $P$ $(x, y, z)$ है। समतलों $x + y + z = 0$,$lx - nz = 0$ और $x - 2y + z = 0$ से दूरियाँ $d_1 = \frac{|x + y + z|}{\sqrt{3}}$,$d_2 = \frac{|lx - nz|}{\sqrt{l^2 + n^2}}$ और $d_3 = \frac{|x - 2y + z|}{\sqrt{6}}$ हैं।दिया गया है कि $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 9$,इसलिए:$\frac{(x + y + z)^2}{3} + \frac{(lx - nz)^2}{l^2 + n^2} + \frac{(x - 2y + z)^2}{6} = 9$.पदों का विस्तार करने पर:$\frac{x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx}{3} + \frac{l^2x^2 - 2lnxz + n^2z^2}{l^2 + n^2} + \frac{x^2 + 4y^2 + z^2 - 4xy - 4yz + 2zx}{6} = 9$.$x^2, y^2, z^2, xy, yz, zx$ के गुणांकों को व्यवस्थित करने पर:$x^2(\frac{1}{3} + \frac{l^2}{l^2 + n^2} + \frac{1}{6}) + y^2(\frac{1}{3} + \frac{4}{6}) + z^2(\frac{1}{3} + \frac{n^2}{l^2 + n^2} + \frac{1}{6}) + xy(\frac{2}{3} - \frac{4}{6}) + yz(\frac{2}{3} - \frac{4}{6}) + zx(\frac{2}{3} - \frac{2ln}{l^2 + n^2} + \frac{2}{6}) = 9$.गुणांकों को सरल करने पर:$x^2(\frac{1}{2} + \frac{l^2}{l^2 + n^2}) + y^2(1) + z^2(\frac{1}{2} + \frac{n^2}{l^2 + n^2}) + zx(1 - \frac{2ln}{l^2 + n^2}) = 9$.इसे $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ के साथ तुलना करने पर,$xy, yz, zx$ के गुणांक $0$ होने चाहिए और $x^2, y^2, z^2$ के गुणांक $1$ होने चाहिए।$zx$ का गुणांक $0$ होने के लिए,$1 - \frac{2ln}{l^2 + n^2} = 0 \implies l^2 + n^2 = 2\ln \implies (l - n)^2 = 0 \implies l = n$.अतः,$l - n = 0$.

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