मान लीजिए A_{1} प्रथम चतुर्थांश में y = sin x | vedclass

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Question

(A) वक्र $y = \sin x$ और $y = \cos x$ प्रथम चतुर्थांश में $x = \frac{\pi}{4}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।$A_{1}$ वह क्षेत्रफल है जो $x = 0$ से $x = \frac{

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$A_{1}: A_{2} = 1: \sqrt{2}$ और $A_{1} + A_{2} = 1$

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(A) वक्र $y = \sin x$ और $y = \cos x$ प्रथम चतुर्थांश में $x = \frac{\pi}{4}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।$A_{1}$ वह क्षेत्रफल है जो $x = 0$ से $x = \frac{\pi}{4}$ तक $y = \cos x$,$y = \sin x$ और $y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध है:$A_{1} = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$.$A_{2}$ वह क्षेत्रफल है जो $x = 0$ से $x = \frac{\pi}{4}$ तक $y = \sin x$ और $x = \frac{\pi}{4}$ से $x = \frac{\pi}{2}$ तक $y = \cos x$ द्वारा परिबद्ध है:$A_{2} = \int_{0}^{\pi/4} \sin x dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x dx = [-\cos x]_{0}^{\pi/4} + [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$$A_{2} = (-\frac{1}{\sqrt{2}} - (-1)) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)$.अब,$A_{1} : A_{2} = (\sqrt{2} - 1) : \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) = 1 : \sqrt{2}$.और $A_{1} + A_{2} = (\sqrt{2} - 1) + (2 - \sqrt{2}) = 1$.

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