मान लीजिए f:[0, pi] rightarrow R को f(x)=begi | vedclass

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Question

(B) एक फलन $f(x) = \begin{cases} g(x), & x \in \mathbb{Q} \ h(x), & x 
otin \mathbb{Q} \end{cases}$ उन बिंदुओं पर सतत होता है जहाँ $g(x) = h(x)$ होत

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$4$

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(B) एक फलन $f(x) = \begin{cases} g(x), & x \in \mathbb{Q} \ h(x), & x 
otin \mathbb{Q} \end{cases}$ उन बिंदुओं पर सतत होता है जहाँ $g(x) = h(x)$ होता है।यहाँ,$g(x) = 	an^2 x$ और $h(x) = \sin x$ है।हमें $[0, \pi]$ में ऐसे बिंदु $x$ खोजने हैं जहाँ $	an^2 x = \sin x$ हो।$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \sin x$$\sin^2 x = \sin x \cos^2 x = \sin x (1 - \sin^2 x)$$\sin^2 x = \sin x - \sin^3 x \implies \sin^3 x + \sin^2 x - \sin x = 0$$\sin x (\sin^2 x + \sin x - 1) = 0$स्थिति $1$: $\sin x = 0 \implies x = 0, \pi$।स्थिति $2$: $\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$। मान लीजिए $u = \sin x$। $u^2 + u - 1 = 0 \implies u = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$।चूँकि $u = \sin x \in [0, 1]$,हम $u = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ लेते हैं।इससे $[0, \pi]$ में $x$ के दो मान प्राप्त होते हैं: $x_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}ight)$ और $x_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}ight)$।कुल बिंदु $0, \pi, x_1, x_2$ हैं,अर्थात कुल $4$ बिंदु हैं।

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यदि फलन $f(x) = \begin{cases} -2 \sin x & -\pi \leq x < -\pi/2 \\ a \sin x + b & -\pi/2 \leq x \leq \pi/2 \\ \cos x & \pi/2 < x \leq \pi \end{cases}$ अंतराल $[-\pi, \pi]$ में सतत है,तो $(3a + 2b)^3$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $f(x) = \frac{1 - \tan x}{4x - \pi }, x \ne \frac{\pi }{4}, x \in [0, \frac{\pi }{2}]$ है। यदि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi }{2}]$ में सतत है,तो $f(\frac{\pi }{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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