मान लीजिए S_n उन सभी पूर्णांकों k का योग है ज | vedclass

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Question

(C) पूर्णांक $k$,$2^n+1, 2^n+2, \dots, 2^{n+1}-1$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 2^n+1$,$l = 2^{n+1}-1$,और पदों की संख्या $N = 2^n-1$ है। योग

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$n$ सम है

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(C) पूर्णांक $k$,$2^n+1, 2^n+2, \dots, 2^{n+1}-1$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 2^n+1$,$l = 2^{n+1}-1$,और पदों की संख्या $N = 2^n-1$ है। योग $S_n = \frac{N}{2}(a+l) = 3 \cdot 2^{n-1}(2^n-1)$ है। $9$,$S_n$ को विभाजित करे इसके लिए $2^{n-1}(2^n-1)$ को $3$ का गुणज होना चाहिए। चूंकि $2 \equiv -1 \pmod{3}$,इसलिए $2^n-1$ केवल तभी $3$ से विभाज्य है जब $n$ सम हो।

मान लीजिए $S_n$ उन सभी पूर्णांकों $k$ का योग है जिनके लिए $2^n < k < 2^{n+1}$,$n \geq 1$ के लिए। तब,$9$,$S_n$ को विभाजित करता है यदि और केवल यदि

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मान लीजिए $a_n$ एक $A.P.$ का $n$ वाँ पद है। यदि $S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = 700$,$a_6 = 7$ और $S_7 = 7$ है,तो $a_n$ का मान ज्ञात कीजिए:

तीन धनात्मक संख्याएँ $a, b$ और $c$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं और $abc = 4$ है। $b$ का न्यूनतम संभव मान क्या है?

$A.P.$ में तीन संख्याएँ हैं जिनका योग $33$ और गुणनफल $792$ है,तो इन संख्याओं में सबसे छोटी संख्या क्या है?

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