ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx}+fra | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{5}{x(x^5+1)}$ અને $Q(x) = \frac{(x^5+1)^2}{x^7}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{693}{128}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{5}{x(x^5+1)}$ અને $Q(x) = \frac{(x^5+1)^2}{x^7}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{5}{x(x^5+1)} dx}$ દ્વારા મળે છે.સંકલન ઉકેલવા માટે,અંશ અને છેદને $x^{-6}$ વડે ગુણો:$I.F. = e^{\int \frac{5x^{-6}}{x^{-5}+1} dx}$.ધારો કે $t = x^{-5}+1$,તો $dt = -5x^{-6} dx$,તેથી $-dt = 5x^{-6} dx$.$I.F. = e^{\int \frac{-dt}{t}} = e^{-\ln|t|} = \frac{1}{t} = \frac{1}{x^{-5}+1} = \frac{x^5}{x^5+1}$.વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y \cdot \frac{x^5}{x^5+1} = \int \frac{(x^5+1)^2}{x^7} \cdot \frac{x^5}{x^5+1} dx + C = \int \frac{x^5+1}{x^2} dx + C = \int (x^3 + x^{-2}) dx + C$.$y \cdot \frac{x^5}{x^5+1} = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{x} + C$.આપેલ છે કે $y(1) = 2$,તેથી $2 \cdot \frac{1}{1+1} = \frac{1}{4} - 1 + C \Rightarrow 1 = -\frac{3}{4} + C \Rightarrow C = \frac{7}{4}$.આમ,$y \cdot \frac{x^5}{x^5+1} = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{x} + \frac{7}{4}$.$x=2$ માટે,$y \cdot \frac{32}{33} = \frac{16}{4} - \frac{1}{2} + \frac{7}{4} = 4 - 0.5 + 1.75 = 5.25 = \frac{21}{4}$.$y = \frac{21}{4} \cdot \frac{33}{32} = \frac{693}{128}$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+\frac{5}{x(x^5+1)}y=\frac{(x^5+1)^2}{x^7}$,$x > 0$ માટે ઉકેલ છે. જો $y(1)=2$ હોય,તો $y(2)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = 2x + x^2 \tan x$,$x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0) = 1$ છે. તો

વિકલ સમીકરણ $(1 + y^2) + (x - e^{\tan^{-1}y}) \frac{dy}{dx} = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $x dy + (y + y^2 x) dx = 0$ અને $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$ હોય,તો

$\cos y + (x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + xy = 4x - 2y + 8$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module