मान लीजिए a_1, a_2, a_3, ldots बढ़ती हुई धनात | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $G.P.$ $a, ar, ar^2, \ldots$ है जहाँ $a > 0$ और $r > 1$ है।दिया है $a_6 + a_8 = 2 \implies ar^5 + ar^7 = 2 \implies ar^5(1 + r^2) = 2$।द

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$3$

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(D) मान लीजिए $G.P.$ $a, ar, ar^2, \ldots$ है जहाँ $a > 0$ और $r > 1$ है।दिया है $a_6 + a_8 = 2 \implies ar^5 + ar^7 = 2 \implies ar^5(1 + r^2) = 2$।दिया है $a_3 	imes a_5 = \frac{1}{9} \implies (ar^2)(ar^4) = \frac{1}{9} \implies a^2r^6 = \frac{1}{9} \implies ar^3 = \frac{1}{3}$ (चूंकि $a, r > 0$)।पहले समीकरण को दूसरे से विभाजित करने पर: $\frac{ar^5(1 + r^2)}{ar^3} = \frac{2}{1/3} \implies r^2(1 + r^2) = 6 \implies r^4 + r^2 - 6 = 0$।मान लीजिए $x = r^2$,तो $x^2 + x - 6 = 0 \implies (x + 3)(x - 2) = 0$। चूंकि $r^2 > 0$,इसलिए $r^2 = 2$।तब $a(2)^{3/2} = \frac{1}{3} \implies a = \frac{1}{3 	imes 2\sqrt{2}} = \frac{1}{6\sqrt{2}}$।हमें $6(a_2 + a_4)(a_4 + a_6) = 6(ar + ar^3)(ar^3 + ar^5) = 6(ar(1 + r^2))(ar^3(1 + r^2)) = 6a^2r^4(1 + r^2)^2$ का मान निकालना है।$a^2r^6 = \frac{1}{9} \implies a^2r^4 = \frac{1}{9r^2} = \frac{1}{18}$ रखने पर।व्यंजक $= 6 	imes \frac{1}{18} 	imes (1 + 2)^2 = \frac{1}{3} 	imes 9 = 3$।

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$\frac{6}{3^{26}} + \frac{10 \cdot 1}{3^{25}} + \frac{10 \cdot 2}{3^{24}} + \frac{10 \cdot 2^2}{3^{23}} + \ldots + \frac{10 \cdot 2^{24}}{3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक अनंत $GP$ $a, ar, ar^{2}, ar^{3}, \ldots$ का योग $15$ है और इसके प्रत्येक पद के वर्गों का योग $150$ है,तो $ar^{2}, ar^{4}, ar^{6}, \ldots$ का योग क्या होगा?

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