ધારો કે y^{prime}(x) + y(x) g^{prime}(x) = g( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = g^{\prime}(x)$ અને $Q(x) = g(x)g^{\prime}(x)$ છે.સંકલ

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = g^{\prime}(x)$ અને $Q(x) = g(x)g^{\prime}(x)$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int g^{\prime}(x) dx} = e^{g(x)}$ છે.વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot e^{g(x)} = \int Q(x) e^{g(x)} dx + C = \int g(x) g^{\prime}(x) e^{g(x)} dx + C$ છે.ધારો કે $u = g(x)$,તો $du = g^{\prime}(x) dx$. સંકલન $\int u e^u du = u e^u - e^u = e^{g(x)}(g(x) - 1)$ બને છે.તેથી,$y e^{g(x)} = e^{g(x)}(g(x) - 1) + C$.આપેલ છે કે $y(0) = 0$ અને $g(0) = 0$,આ કિંમતો મૂકતા: $0 \cdot e^0 = e^0(0 - 1) + C \implies 0 = -1 + C \implies C = 1$.આમ,ઉકેલ $y e^{g(x)} = e^{g(x)}(g(x) - 1) + 1$ છે.$y(2)$ શોધવા માટે,$x = 2$ અને $g(2) = 0$ મૂકતા: $y(2) e^0 = e^0(0 - 1) + 1 \implies y(2) = -1 + 1 = 0$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \log x \frac{dy}{dx} + y = \frac{2}{x} \log x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\cos x \frac{dy}{dx} + 2y \sin x = \sin 2x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x \in (0, \frac{\pi}{2})$. જો $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ હોય,તો $y(\frac{\pi}{4})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$, $y > 1, x(e) = e$ નો ઉકેલ છે. તો $x(e^2)$ ની કિંમત શોધો:

વિકલ સમીકરણ $(y^2+x+1) dy = (y+1) dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module