मान लीजिए कि m और n ऐसे विषम पूर्णांक हैं कि | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = x^{\frac{m}{n}}$,जहाँ $m$ और $n$ विषम पूर्णांक हैं और $0 < m < n$ है।सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{m}{n} x^{\

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$f$ पूरे $\mathbb{R}$ पर वर्धमान है।

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(D) दिया गया है $f(x) = x^{\frac{m}{n}}$,जहाँ $m$ और $n$ विषम पूर्णांक हैं और $0 सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n} - 1} = \frac{m}{n} x^{\frac{m-n}{n}}$.चूंकि $m जैसे ही $x 	o 0$,$f'(x) 	o \infty$,इसलिए $f'(0)$ का अस्तित्व नहीं है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।चूंकि $k$ सम है,सभी $x 
eq 0$ के लिए $x^{\frac{k}{n}} > 0$ होगा। इसलिए,सभी $x 
eq 0$ के लिए $f'(x) = \frac{m}{n \cdot x^{\frac{k}{n}}} > 0$ प्राप्त होता है।चूंकि $f'(x) > 0$ सभी $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ के लिए सत्य है और $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए फलन $f(x)$ पूरे प्रांत $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

मान लीजिए कि $m$ और $n$ ऐसे विषम पूर्णांक हैं कि $0 < m < n$ है। यदि $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) = x^{\frac{m}{n}}$ है,तो:

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