मान लीजिए कि रेखा L बिंदु (-3, 5, 2) से होकर | vedclass

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Question

(D) रेखा $L$ बिंदु $A(-3, 5, 2)$ से होकर गुजरती है और निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है, इसलिए इसके दिक अनुपात $(1, 1, 1)$ हैं।रेखा का समीकरण

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(D) रेखा $L$ बिंदु $A(-3, 5, 2)$ से होकर गुजरती है और निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है, इसलिए इसके दिक अनुपात $(1, 1, 1)$ हैं।रेखा का समीकरण $\frac{x+3}{1} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-2}{1} = \lambda$ है।रेखा पर कोई भी सामान्य बिंदु $R$ $(\lambda-3, \lambda+5, \lambda+2)$ है।मान लीजिए $P = (-2, r, 1)$ है। सदिश $\overrightarrow{PR} = ((\lambda-3) - (-2), (\lambda+5) - r, (\lambda+2) - 1) = (\lambda-1, \lambda+5-r, \lambda+1)$ है।चूंकि $PR$ लंबवत दूरी है, $\overrightarrow{PR} \cdot \vec{d} = 0$, जहाँ $\vec{d} = (1, 1, 1)$ है।$(\lambda-1)(1) + (\lambda+5-r)(1) + (\lambda+1)(1) = 0 \Rightarrow 3\lambda - r + 5 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{r-5}{3}$ है।$\lambda$ का मान रखने पर, $R = (\frac{r-5}{3}-3, \frac{r-5}{3}+5, \frac{r-5}{3}+2) = (\frac{r-14}{3}, \frac{r+10}{3}, \frac{r+1}{3})$ प्राप्त होता है।दूरी $PR = \sqrt{\frac{14}{3}}$, इसलिए $PR^2 = \frac{14}{3}$ है।$PR^2 = (\frac{r-14}{3} + 2)^2 + (\frac{r+10}{3} - r)^2 + (\frac{r+1}{3} - 1)^2 = \frac{14}{3}$ है।$(\frac{r-8}{3})^2 + (\frac{10-2r}{3})^2 + (\frac{r-2}{3})^2 = \frac{14}{3}$ है।$\frac{r^2-16r+64 + 100-40r+4r^2 + r^2-4r+4}{9} = \frac{14}{3}$ है।$6r^2 - 60r + 168 = 42 \Rightarrow 6r^2 - 60r + 126 = 0$ है।$r^2 - 10r + 21 = 0 \Rightarrow (r-3)(r-7) = 0$ है।$r$ के संभावित मान $3$ और $7$ हैं।$r$ के सभी संभावित मानों का योग $3 + 7 = 10$ है।

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दो विषम रेखाओं $r = (-\hat{i} + 3\hat{k}) + t(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$ और $r = (3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + s(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

रेखाएँ $\frac{1-x}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2}$ और $\frac{x-2}{p}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{1}$ परस्पर लंबवत हैं,तो $p=$ . . . . . . .

$A(2,3,4), B(4,5,7), C(2,-6,3), D(4,-4, k)$ चार बिंदु हैं। यदि रेखा $\overline{AB}$,$\overline{CD}$ के समांतर है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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