ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1$ પરના બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર શોધો,જો $P$ અને $Q$ ના ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણાઓનો તફાવત $\frac{3\pi}{2}$ હોય.

ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું એક ચલ બિંદુ છે,જેના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ છે. જો $A$ એ ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $A$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શું છે?

એક ઉપવલય (ellipse) દોરવામાં આવે છે જેમાં વર્તુળ $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ નો વ્યાસ તેનો અર્ધ-ગૌણ અક્ષ (semi-minor axis) છે અને વર્તુળ $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ નો વ્યાસ તેનો અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ (semi-major axis) છે. જો ઉપવલયનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર હોય અને તેના અક્ષો યામ અક્ષો હોય,તો ઉપવલયનું સમીકરણ શું છે?

$(5, 15)$ અને $(21, 15)$ પર નાભિ ધરાવતા ઉપવલયનો વિચાર કરો. જો $X$-અક્ષ એ ઉપવલયનો સ્પર્શક હોય,તો તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ કેટલી થાય?

ઉપવલય (ellipse) ને લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથને શું કહેવામાં આવે છે?

રેખા $y=x+1$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ને બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. જો $PQ$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ હોય,તો $(3r)^{2}$ ની કિંમત શોધો.