સાબિત કરો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને ક્રમમાં જોડવાથી બનતો ચતુષ્કોણ લંબચોરસ છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $P, Q, R$ તથા $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $AC$ અને $BD$ ને જોડો.
ત્રિકોણ $ABD$ માં,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ:
$SP = \frac{1}{2} BD$ અને $SP \parallel BD.$
તે જ રીતે,ત્રિકોણ $BCD$ માં:
$RQ = \frac{1}{2} BD$ અને $RQ \parallel BD.$
તેથી,$SP = RQ$ અને $SP \parallel RQ$ (સમીકરણ $1$).
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
વળી,સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી $AC \perp BD.$
ત્રિકોણ $BAC$ માં,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC.$
કારણ કે $SP \parallel BD$ અને $PQ \parallel AC,$ તથા $AC \perp BD,$ તેથી $SP \perp PQ$ થાય.
આમ,$\angle SPQ = 90^{\circ}$ (સમીકરણ $2$).
$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને તેનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,$PQRS$ એક લંબચોરસ છે.