समतलों 5x + 8y + 13z - 29 = 0 और 8x - 7y + z | vedclass

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Question

(A) समतलों $5x + 8y + 13z - 29 = 0$ और $8x - 7y + z - 20 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $(5x + 8y + 13z - 29) + \lambda(8x

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$\frac{\pi}{3}$

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(A) समतलों $5x + 8y + 13z - 29 = 0$ और $8x - 7y + z - 20 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $(5x + 8y + 13z - 29) + \lambda(8x - 7y + z - 20) = 0$ है।बिंदु $(2, 1, 3)$ से गुजरने वाले समतल $P_{1}$ के लिए:$(5(2) + 8(1) + 13(3) - 29) + \lambda(8(2) - 7(1) + 3 - 20) = 0$$28 - 8\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{7}{2}$.समीकरण में $\lambda = \frac{7}{2}$ रखने पर: $2x - y + z = 6$. अभिलंब सदिश $\vec{n_{1}} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.बिंदु $(0, 1, 2)$ से गुजरने वाले समतल $P_{2}$ के लिए:$(5(0) + 8(1) + 13(2) - 29) + \lambda(8(0) - 7(1) + 2 - 20) = 0$$5 - 25\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{5}$.समीकरण में $\lambda = \frac{1}{5}$ रखने पर: $x + y + 2z = 5$. अभिलंब सदिश $\vec{n_{2}} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.समतलों के बीच का कोण $	heta$ के लिए $\cos 	heta = \frac{|\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}|}{||\vec{n_{1}}|| ||\vec{n_{2}}||} = \frac{|2 - 1 + 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.अतः,$	heta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

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