एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) की नियताओं (directrices) के बीच की दूरी $10$ इकाई है,तो इसकी नाभियों (foci) के बीच की दूरी क्या है?

अतिपरवलय $x^2-2y^2=18$ की स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी क्या है जो रेखा $y=x$ के लंबवत हैं?

मान लीजिए कि अतिपरवलय $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केंद्रता $\sqrt{\frac{5}{2}}$ है और इसके नाभिलंब की लंबाई $6\sqrt{2}$ है। यदि $y = 2x + c$ अतिपरवलय $H$ की एक स्पर्शरेखा है,तो $c^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक अतिपरवलय (hyperbola),जिसकी अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2 \sin \theta$ है,दीर्घवृत्त $3 x^2 + 4 y^2 = 12$ के साथ सह-नाभीय (confocal) है। तो इसका समीकरण क्या है?

यदि एक आयताकार अतिपरवलय $xy = c^2$ पर किसी चर बिंदु पर स्पर्श रेखा और अभिलंब $x$-अक्ष पर $a_1, a_2$ और $y$-अक्ष पर $b_1, b_2$ अंतःखंड काटते हैं,तो $(a_1a_2 + b_1b_2)$ का मान क्या है?

मान लीजिए $P$ अतिपरवलय $H: \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ पर प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक बिंदु है,इस प्रकार कि $P$ और $H$ की दो नाभियों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $2 \sqrt{13}$ है। तब,मूल बिंदु से $P$ की दूरी का वर्ग है