प्रथम कोटि के अवकल समीकरण x^{2}(x^{2}-1) frac | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x^{2}(x^{2}-1) \frac{dy}{dx} + x(x^{2}+1)y = x^{2}-1$.समीकरण को $x^{2}(x^{2}-1)$ से विभाजित करने पर, यह मानक रूप $\frac{dy}

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$x-\frac{1}{x}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x^{2}(x^{2}-1) \frac{dy}{dx} + x(x^{2}+1)y = x^{2}-1$.समीकरण को $x^{2}(x^{2}-1)$ से विभाजित करने पर, यह मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ में प्राप्त होता है:$\frac{dy}{dx} + \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}-1)}y = \frac{1}{x^{2}}$.यहाँ, $P = \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}-1)}$.समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx}$ द्वारा प्राप्त होता है।$\int P dx = \int \frac{x^{2}+1}{x(x-1)(x+1)} dx$.आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए: $\frac{x^{2}+1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$.स्थिरांकों को हल करने पर: $x^{2}+1 = A(x^{2}-1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)$.$x=0$ के लिए, $1 = -A \Rightarrow A = -1$.$x=1$ के लिए, $2 = 2B \Rightarrow B = 1$.$x=-1$ के लिए, $2 = 2C \Rightarrow C = 1$.अतः, $\int P dx = \int (\frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}) dx = -\ln|x| + \ln|x-1| + \ln|x+1| = \ln|\frac{x^{2}-1}{x}|$.$IF = e^{\ln|\frac{x^{2}-1}{x}|} = \frac{x^{2}-1}{x} = x - \frac{1}{x}$.

प्रथम कोटि के अवकल समीकरण $x^{2}(x^{2}-1) \frac{dy}{dx} + x(x^{2}+1)y = x^{2}-1$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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