$a > 0$ માટે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a^{-5}, a^{-4}, 3a^{-3}, 1, a^8$ અને $a^{10}$ ના સરવાળાનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શું છે?

એક શ્રેણી $\langle a_n \rangle$ ને $a_1 = 5, a_n = a_1 a_2 \dots a_{n-1} + 4$ ($n > 1$ માટે) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. તો,$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{a_n}}{a_{n-1}}$ શોધો.

જો $e^{(\cos^{2} x + \cos^{4} x + \cos^{6} x + \dots \infty) \log_{e} 2}$ એ સમીકરણ $t^{2} - 9t + 8 = 0$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો $0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે $\frac{2 \sin x}{\sin x + \sqrt{3} \cos x}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $a_1, a_2, a_3, \ldots$ એક સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) છે. જો $a_7 = 3$ હોય,ગુણાકાર $a_1 a_4$ ન્યૂનતમ હોય અને તેના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શૂન્ય હોય,તો $n! - 4 a_{n(n+2)}$ ની કિંમત શોધો:

ત્રણ સંખ્યાઓ $G.P.$ માં છે. જો $3^{rd}$ પદમાંથી $64$ ઘટાડવામાં આવે,તો મળતી ત્રણ સંખ્યાઓ $A.P.$ બનાવે છે. જો આ $A.P.$ ના બીજા પદમાંથી $8$ ઘટાડવામાં આવે,તો ફરીથી $G.P.$ બને છે. તો તે સંખ્યાઓ શોધો.

ધારો કે $a_1=b_1=1$ અને $a_n=a_{n-1}+(n-1)$,$b_n=b_{n-1}+a_{n-1}$,$\forall n \geq 2$. જો $S =\sum \limits_{n=1}^{10} \frac{b_n}{2^n}$ અને $T =\sum \limits_{n=1}^8 \frac{n}{2^{n-1}}$ હોય,તો $2^7(2S - T)$ ની કિંમત $........$ છે.