f(f(x))=x+f(x) को संतुष्ट करने वाले वास्तविक | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = ax + b$. दिया गया समीकरण $f(f(x)) = x + f(x)$ है। समीकरण में $f(x)$ का मान रखने पर: $a(ax + b) + b = x + (ax + b)$ $a^2x + ab + b = x

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$2$

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(D) माना $f(x) = ax + b$. दिया गया समीकरण $f(f(x)) = x + f(x)$ है। समीकरण में $f(x)$ का मान रखने पर: $a(ax + b) + b = x + (ax + b)$ $a^2x + ab + b = x + ax + b$ $a^2x + ab = x + ax$ $x(a^2 - a - 1) + ab = 0$. चूंकि यह सभी $x$ के लिए सत्य है, इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए: $a^2 - a - 1 = 0$ और $ab = 0$. चूंकि $a^2 - a - 1 = 0$, इसलिए $a$ शून्य नहीं हो सकता, अतः $b = 0$. द्विघात सूत्र का उपयोग करके $a^2 - a - 1 = 0$ को हल करने पर: $a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. अतः, फलन $f(x) = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)x$ और $f(x) = \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)x$ हैं। ऐसे $2$ वास्तविक रैखिक फलन हैं।

$f(f(x))=x+f(x)$ को संतुष्ट करने वाले वास्तविक रैखिक फलनों $f(x)$ की संख्या है

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$f: R \rightarrow R$ एक फलन इस प्रकार है कि $f(0)=1$ और सभी $x, y \in R$ के लिए $f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2$ है। तो $x=e$ पर $\frac{df}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = \frac{a^x + a^{-x}}{2}$ दिया गया है,जहाँ $a > 2$ है। तो $f(x + y) + f(x - y) = $

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक सतत फलन है जैसे कि $f(3x) - f(x) = x$। यदि $f(8) = 7$ है,तो $f(14)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R-\{0\} \rightarrow R$ एक फलन है जो सभी $x, y$ के लिए $f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(y) \neq 0$ है। यदि $f^{\prime}(1)=2024$ है,तो:

फलन $f(x) = x - [x]$,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,है:

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