સમીકરણ e^{4x} + 2e^{3x} - e^{x} - 6 = 0 ના વા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $e^{x} = t$. કારણ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{x} > 0$ છે,તેથી $t > 0$ હોવું જોઈએ.આપેલ સમીકરણ $f(t) = t^{4} + 2t^{3} - t - 6 = 0$ બને છે.

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $e^{x} = t$. કારણ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{x} > 0$ છે,તેથી $t > 0$ હોવું જોઈએ.આપેલ સમીકરણ $f(t) = t^{4} + 2t^{3} - t - 6 = 0$ બને છે.વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $t > 0$ માટે વિધેય $f(t)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.વિકલન મેળવો: $f'(t) = 4t^{3} + 6t^{2} - 1$.દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(t) = 12t^{2} + 12t$. $t > 0$ માટે,$f''(t) > 0$,જેનો અર્થ છે કે $t > 0$ માટે $f'(t)$ સતત વધતું વિધેય છે.$f'(0) = -1$ અને $f'(1) = 4 + 6 - 1 = 9$. કારણ કે $f'(t)$ સતત છે અને અંતરાલ $(0, 1)$ માં ઋણથી ધન તરફ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી એક અનન્ય ઉકેલ $\alpha \in (0, 1)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f'(\alpha) = 0$ થાય.આમ,$f(t)$ એ $(0, \alpha)$ પર ઘટે છે અને $(\alpha, \infty)$ પર વધે છે.મુખ્ય બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત તપાસો:$f(0) = -6$$f(1) = 1 + 2 - 1 - 6 = -4$$f(2) = 16 + 16 - 2 - 6 = 24$કારણ કે $f(1) = -4  0$,તેથી 'ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ' મુજબ,અંતરાલ $(1, 2)$ માં $t$ માટે બરાબર એક ઉકેલ છે.કારણ કે $t = e^{x} > 0$ છે,અને વિધેય $f(t)$ એ $t > 1$ માટે સતત વધતું વિધેય છે,તેથી $x$ માટે બરાબર એક વાસ્તવિક ઉકેલ મળે છે.

સમીકરણ $e^{4x} + 2e^{3x} - e^{x} - 6 = 0$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

શરત કે $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ને કોઈ અંતિમ મૂલ્ય નથી,તે છે

ધારો કે વિધેય $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 8}{2x^2 + 3x + 8}$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો $\frac{m}{n}$ છે,જ્યાં $\gcd(m, n) = 1$. તો $m + n$ ની કિંમત શોધો :

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module