विभाजन सूत्र का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि तीन बिंदु $A(-4, 6, 10)$,$B(2, 4, 6)$ और $C(14, 0, -2)$ संरेख हैं।

(N/A) माना बिंदु $A(-4, 6, 10)$,$B(2, 4, 6)$ और $C(14, 0, -2)$ हैं।
मान लीजिए कि एक बिंदु $P$,रेखाखंड $AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{2k - 4}{k + 1}, \frac{4k + 6}{k + 1}, \frac{6k + 10}{k + 1} \right)$
बिंदुओं के संरेख होने के लिए,बिंदु $C$ को $k$ के किसी मान के लिए बिंदु $P$ के साथ संपाती होना चाहिए।
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{2k - 4}{k + 1} = 14$
$2k - 4 = 14k + 14 \implies -12k = 18 \implies k = -\frac{18}{12} = -\frac{3}{2}$
अब,$k = -\frac{3}{2}$ के लिए $y$-निर्देशांक की जाँच करें:
$\frac{4(-\frac{3}{2}) + 6}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-6 + 6}{-\frac{1}{2}} = 0$
अब,$k = -\frac{3}{2}$ के लिए $z$-निर्देशांक की जाँच करें:
$\frac{6(-\frac{3}{2}) + 10}{-\frac{3}{2} + 1} = \frac{-9 + 10}{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$
चूंकि निर्देशांक बिंदु $C(14, 0, -2)$ से मेल खाते हैं,इसलिए बिंदु $C$,$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा पर स्थित है।
अतः,बिंदु $A$,$B$ और $C$ संरेख हैं।