Dimensions and Dimensional Formula Questions in Gujarati

(C) ભૌતિક રાશિના પરિમાણો એટલે કે મૂળભૂત એકમો પર ચડાવવામાં આવતા ઘાતાંકો,જે તે ભૌતિક રાશિને દર્શાવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,એકમરહિત રાશિ એવી છે કે જેનો કોઈ માપન એકમ હોતો નથી.
એકમો મૂળભૂત રાશિઓમાંથી મેળવવામાં આવતા હોવાથી,જો કોઈ રાશિને એકમ ન હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે તમામ મૂળભૂત રાશિઓ $(M, L, T)$ ના ઘાતાંકો શૂન્ય છે.
તેથી,એકમરહિત રાશિ હંમેશા પરિમાણરહિત હોય છે.
ઉદાહરણોમાં ખૂણો (ચાપની લંબાઈ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર),સ્થિતિસ્થાપક વિકૃતિ (લંબાઈમાં ફેરફાર અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર) અને પોઈસનનો ગુણોત્તરનો સમાવેશ થાય છે.

(C) સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ માટેનું સૂત્ર ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \eta A \frac{dv}{dx}$.
$\eta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\eta = \frac{F \cdot dx}{A \cdot dv}$ મળે છે.
પરિમાણો આ મુજબ છે: બળ $F = [MLT^{-2}]$,ક્ષેત્રફળ $A = [L^2]$,અંતર $dx = [L]$,અને વેગ $dv = [LT^{-1}]$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\eta = \frac{[MLT^{-2}][L]}{[L^2][LT^{-1}]}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\eta = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3T^{-1}]} = [ML^{-1}T^{-1}]$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dt} = 2\omega \sin(\omega t + \theta_0)$ છે.
કોઈપણ ત્રિકોણમિતીય વિધેયમાં,તેનો ખૂણો (argument) પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
અહીં $\sin(\omega t + \theta_0)$ એ ત્રિકોણમિતીય વિધેય હોવાથી,તેનો ખૂણો $(\omega t + \theta_0)$ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
પરિમાણરહિત રાશિના પરિમાણ $[M^{0}L^{0}T^{0}]$ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) તીવ્રતા $(I)$ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ $(A)$ દીઠ પસાર થતો પાવર $(P)$.
$I = \frac{P}{A}$
પાવર એટલે એકમ સમય $(t)$ દીઠ ઉર્જા $(E)$,તેથી $P = \frac{E}{t}$.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[E] = [M^1L^2T^{-2}]$.
સમયનું પારિમાણિક સૂત્ર $[t] = [T^1]$.
ક્ષેત્રફળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[A] = [L^2]$.
તેથી,તીવ્રતાનું પારિમાણિક સૂત્ર:
$[I] = \frac{[M^1L^2T^{-2}]}{[T^1] \cdot [L^2]}$
$[I] = [M^1L^0T^{-3}]$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ઊર્જા ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ ઊર્જા.
$\text{ઊર્જા ઘનતા} = \frac{\text{ઊર્જા}}{\text{કદ}}$
ઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1L^2T^{-2}]$ છે અને કદનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^3]$ છે.
$\text{ઊર્જા ઘનતા} = \frac{[M^1L^2T^{-2}]}{[L^3]} = [M^1L^{2-3}T^{-2}] = [M^1L^{-1}T^{-2}]$

(B) ચુંબકીય બળ $F = BIL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $L$ એ લંબાઈ છે.
તેથી,$B$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[B] = \frac{[F]}{[I][L]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[I][L]} = [MT^{-2}I^{-1}]$ થાય.
હવે,$P$ ના સમીકરણમાં પારિમાણિક સૂત્રો મૂકતા:
$[P] = \frac{[B]^2 [l]^2}{[m]} = \frac{[MT^{-2}I^{-1}]^2 [L]^2}{[M]}$.
$[P] = \frac{[M^2 T^{-4} I^{-2}] [L^2]}{[M]}$.
$[P] = [ML^2 T^{-4} I^{-2}]$.

(C) ઓમના નિયમ મુજબ,$V = RI$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{V}{I}$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $V = \frac{W}{q}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે અને $q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
કાર્ય $W$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ અને વિદ્યુતભાર $q$ નું $[IT]$ છે.
તેથી,$V$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $= \frac{[ML^2T^{-2}]}{[IT]} = [ML^2T^{-3}I^{-1}]$.
હવે,અવરોધના સૂત્રમાં આ કિંમત મૂકતા: $R = \frac{[ML^2T^{-3}I^{-1}]}{[I]} = [ML^2T^{-3}I^{-2}]$.

(D) દબાણનું પારિમાણિક સૂત્ર $P = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^2]}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $[P] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$ મળે છે.
આને આપેલ સ્વરૂપ $M^a L^b T^c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-1, c=-2$ મળે છે.
આમ,જ્યારે $a=1, b=-1, c=-2$ હોય ત્યારે તે ભૌતિક રાશિ દબાણ છે.

(C) ડેમ્પિંગ બળ $F$ એ વેગ $v$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જેને $F = kv$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $k$ એ પ્રમાણભૂતતાનો અચળાંક છે.
આ સમીકરણ પરથી,આપણે $k$ ને $k = \frac{F}{v}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
બળ $F$ નો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$ છે,જે $kg\ m\ s^{-2}$ ની સમકક્ષ છે.
વેગ $v$ નો $SI$ એકમ $m\ s^{-1}$ છે.
આ એકમોને $k$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$k = \frac{kg\ m\ s^{-2}}{m\ s^{-1}} = kg\ s^{-1}$.
તેથી,પ્રમાણભૂતતાના અચળાંકનો એકમ $kg\ s^{-1}$ છે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = (\mu_0 \varepsilon_0)^{-1/2}$
અહીં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ દર્શાવે છે,તેથી તેના પરિમાણો વેગના પરિમાણો સમાન હોય છે.
વેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-1}]$ છે.
તેથી,$(\mu_0 \varepsilon_0)^{-1/2}$ ના પરિમાણો $[LT^{-1}]$ થાય છે.

(D) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ મળે છે.
કારણ કે $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ દર્શાવે છે,તેના પરિમાણો $[L T^{-1}]$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ ના પરિમાણો $c^2$ ના પરિમાણો જેટલા થાય,જે $[L T^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}]$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ પદ $\frac{e^2}{4\pi \varepsilon _0 hc}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કુલંબ બળ $F = \frac{1}{4\pi \varepsilon _0} \frac{e^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\frac{e^2}{4\pi \varepsilon _0}$ ના પરિમાણો $[F][r^2] = [MLT^{-2}][L^2] = [ML^3T^{-2}]$ થાય.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ ના પરિમાણો $[ML^2T^{-1}]$ છે.
પ્રકાશનો વેગ $c$ ના પરિમાણો $[LT^{-1}]$ છે.
તેથી,આ પદના પરિમાણો $\frac{[ML^3T^{-2}]}{[ML^2T^{-1}][LT^{-1}]} = \frac{[ML^3T^{-2}]}{[ML^3T^{-2}]} = [M^0 L^0 T^0]$ થાય.
આ રાશિને ફાઇન-સ્ટ્રક્ચર અચળાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જે પરિમાણરહિત રાશિ છે.

(A) બે સમાંતર પ્રવાહધારિત વાહકો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $(F/l)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F/l = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2I_1 I_2}{d}$
$\mu_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\mu_0 = \frac{F \cdot d}{l \cdot 2I_1 I_2}$
પરિમાણો મૂકતા:
$[F] = [MLT^{-2}]$
$[d] = [L]$
$[l] = [L]$
$[I] = [A]$
$[\mu_0] = \frac{[MLT^{-2}] \cdot [L]}{[L] \cdot [A]^2} = [MLT^{-2} A^{-2}]$
આમ, મુક્ત અવકાશની પરમિયેબિલિટીના પરિમાણો $[MLT^{-2} A^{-2}]$ છે.

(A) આપેલ એકમ $kg \cdot m^2 \cdot A^{-2} \cdot s^{-3}$ છે.
આ એકમ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવરોધ $(R)$ એ $V/I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ છે અને વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A]$ છે.
તેથી,અવરોધનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-1}] / [A] = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ થાય છે.
આપેલ એકમ સાથે સરખાવતા,તે અવરોધને અનુરૂપ છે.

(A) પદ $\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}$ એ મુક્ત અવકાશનો આંતરિક અવરોધ (intrinsic impedance) દર્શાવે છે.
તેનું મૂલ્ય આશરે $376.7 \ \Omega$ છે.
તે એક પ્રકારનો અવરોધ હોવાથી,તેનો એકમ ઓહ્મ $(\Omega)$ છે,જે અવરોધના એકમ સમાન છે.
તેથી,$\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}$ નું પરિમાણ અવરોધના પરિમાણ સમાન છે.

(B) કુલંબના નિયમ મુજબ,બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{{q_1}{q_2}}}{{{R^2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરમિટિવિટી માટે સૂત્રને ગોઠવતા,આપણને ${\varepsilon _0} = \frac{{{q_1}{q_2}}}{{4\pi F{R^2}}}$ મળે છે.
વિદ્યુતભાર $q$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[AT]$,બળ $F$ નું $[MLT^{-2}]$ અને અંતર $R$ નું $[L]$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $[{\varepsilon _0}] = \frac{{[AT][AT]}}{{[MLT^{-2}][L^2]}} = \frac{{[A^2T^2]}}{{[ML^3T^{-2}]}}$.
પદને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $[{\varepsilon _0}] = [M^{-1}L^{-3}T^4A^2]$ મળે છે.

(D) $\int {e^{ax}} dx$ પદમાં,ઘાતાંક $ax$ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ. $x$ નું પરિમાણ $L^1$ હોવાથી,$a$ નું પરિમાણ $L^{-1}$ હોવું જોઈએ.
$\int {e^{ax}} dx$ નું સંકલન $\frac{1}{a} e^{ax} + C$ થાય છે. આપેલ સ્વરૂપ $a^m e^{ax} + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $a^m = \frac{1}{a} = a^{-1}$,જેનો અર્થ છે કે $m = -1$.
સંકલનનું પરિણામ $dx$ (જે $L^1$ છે) ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ,તેથી અચળાંક $C$ નું પરિમાણ પણ $L^1$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$1$. $m = -1$ સાચું છે.
$2$. $C$ નું પરિમાણ $= L^1$ સાચું છે.
$3$. $a$ નું પરિમાણ $= L^{-1}$ સાચું છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,ખોટું વિધાન 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(D) સ્થિતિ ઊર્જા $V$ ના પરિમાણો કાર્ય અથવા ઊર્જા સમાન હોય છે,જે $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
છેદમાં $(x + B)$ હોવાથી,$x$ એ અંતર છે,તેથી $B$ નું પરિમાણ $x$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ. તેથી,$[B] = [L]$.
સમીકરણ $V = \frac{A\sqrt{x}}{x + B}$ છે. $A$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$A = \frac{V(x + B)}{\sqrt{x}}$ મળે.
પરિમાણો મૂકતા: $[A] = \frac{[M L^2 T^{-2}] [L]}{[L^{1/2}]} = [M L^2 T^{-2}] [L^{1/2}] = [M L^{5/2} T^{-2}]$.
હવે,$AB$ નું પરિમાણ $[A][B] = [M L^{5/2} T^{-2}] [L] = [M L^{7/2} T^{-2}]$ થશે.

(A) દરેક જોડીના પરિમાણોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. બળ: $[MLT^{-2}]$; આઘાત: $[MLT^{-1}]$. આ સમાન નથી.
$2$. કોણીય વેગમાન: $[ML^2T^{-1}]$; પ્લાન્ક અચળાંક: $[ML^2T^{-1}]$. આ સમાન છે.
$3$. ઉર્જા: $[ML^2T^{-2}]$; ટોર્ક: $[ML^2T^{-2}]$. આ સમાન છે.
$4$. સ્થિતિસ્થાપક મોડ્યુલસ: $[ML^{-1}T^{-2}]$; દબાણ: $[ML^{-1}T^{-2}]$. આ સમાન છે.
તેથી,બળ અને આઘાતની જોડીના પરિમાણો સમાન નથી.

(D) પરિમાણરહિત રાશિ એટલે એવી રાશિ કે જેને કોઈ ભૌતિક પરિમાણ નથી,એટલે કે તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $M^0 L^0 T^0$ છે.
$1$. બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે અને પ્રવેગનું $[LT^{-2}]$ છે. તેમનો ગુણોત્તર $[M]$ મળે છે,જે પરિમાણરહિત નથી.
$2$. વેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-1}]$ છે અને પ્રવેગનું $[LT^{-2}]$ છે. તેમનો ગુણોત્તર $[T]$ મળે છે,જે પરિમાણરહિત નથી.
$3$. કદનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^3]$ છે અને ક્ષેત્રફળનું $[L^2]$ છે. તેમનો ગુણોત્તર $[L]$ મળે છે,જે પરિમાણરહિત નથી.
$4$. ઊર્જા અને કાર્ય બંનેનું પારિમાણિક સૂત્ર સમાન છે,જે $[ML^2T^{-2}]$ છે. તેથી,તેમનો ગુણોત્તર $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[ML^2T^{-2}]} = [M^0L^0T^0]$ થાય છે,જે પરિમાણરહિત છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) દબાણ $P$ ના પરિમાણો $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ અને અંતર $x$ ના પરિમાણો $[L]$ છે.
વેગ $v$ ના પરિમાણો $[LT^{-1}]$ છે.
લંબાઈ $l$ ના પરિમાણો $[L]$ છે.
આપેલ સૂત્ર $\eta = \frac{P(r^2 - x^2)}{4vl}$ માં પરિમાણો મૂકતા:
$\eta = \frac{[ML^{-1}T^{-2}] \cdot [L^2]}{[LT^{-1}] \cdot [L]}$
$\eta = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2T^{-1}]}$
$\eta = [ML^{-1}T^{-1}]$

(A) આપેલ છે: $w = [M]$,$x = [L]$,$y = [T]$,$z = [A]$.
આ પરિમાણોને $\frac{x^2w}{y^3z}$ પદમાં મૂકતા:
$\left[\frac{x^2w}{y^3z}\right] = \frac{[L]^2 [M]}{[T]^3 [A]} = \frac{[M][L]^2}{[T]^3 [A]}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{\text{કાર્ય}}{\text{વીજભાર}} = \frac{[M][L]^2[T]^{-2}}{[A][T]} = \frac{[M][L]^2}{[T]^3 [A]}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\frac{x^2w}{y^3z}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર વિદ્યુત સ્થિતિમાનના પારિમાણિક સૂત્ર સમાન છે.

(B) $1$. વિદ્યુત અવરોધ $(R)$: $R = V/I$. $V$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ છે અને $I$ નું $[A]$ છે. તેથી,$R = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$. આમ,$A \to q$.
$2$. વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$: પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ છે. વિકલ્પોમાં આ નથી,તેથી $B \to s$.
$3$. વિશિષ્ટ અવરોધ $(\rho)$: $\rho = R A / l$. પરિમાણો: $[M L^2 T^{-3} A^{-2}] [L^2] / [L] = [M L^3 T^{-3} A^{-2}]$. આમ,$C \to p$.
$4$. વિશિષ્ટ વાહકતા $(\sigma)$: $\sigma = 1 / \rho$. પરિમાણો: $[M^{-1} L^{-3} T^3 A^2]$. વિકલ્પોમાં આ નથી,તેથી $D \to s$.
આમ,સાચી જોડ $A \to q, B \to s, C \to p, D \to s$ છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,વિકલ્પ $B$ સૌથી નજીકનો છે.

(A) ધારો કે દળ એ મૂળભૂત રાશિઓ સાથે $M \propto T^x C^y h^z$ મુજબ સંબંધિત છે.
દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^0]$ છે.
આપેલ રાશિઓના પારિમાણિક સૂત્રો છે: $[T] = [T]$,$[C] = [L T^{-1}]$,અને $[h] = [M L^2 T^{-1}]$.
આ કિંમતોને સમપ્રમાણતાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^0] = [T]^x [L T^{-1}]^y [M L^2 T^{-1}]^z$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^z] [L^{y+2z}] [T^{x-y-z}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $z = 1$
$L$ માટે: $y + 2z = 0 \implies y + 2(1) = 0 \implies y = -2$
$T$ માટે: $x - y - z = 0 \implies x - (-2) - 1 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$
આમ,દળનું પરિમાણ $[M] = [T^{-1} C^{-2} h^1]$ થાય.

(A) વિદ્યુત અવરોધ $R = \frac{\rho l}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધકતા $\rho$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\rho = \frac{R a}{l}$ મળે છે.
અવરોધ $R$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ છે.
ક્ષેત્રફળ $a$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^2]$ છે.
લંબાઈ $l$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
આ કિંમતોને $\rho$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\rho = \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-2}] [L^2]}{[L]} = [M L^3 T^{-3} A^{-2}]$.
વિદ્યુત વાહકતા $\sigma$ એ અવરોધકતા $\rho$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $\sigma = \frac{1}{\rho}$.
તેથી,$\sigma$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^{-3} T^3 A^2]$ થાય છે.

(B) ઘાતાંકીય વિધેયનો ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,$[\frac{x^2}{\alpha kt}] = [M^0L^0T^0]$.
અહીં $[x^2] = L^2$ અને $[kt] = [Energy] = ML^2T^{-2}$ હોવાથી:
$[\alpha] = \frac{[x^2]}{[kt]} = \frac{L^2}{ML^2T^{-2}} = M^{-1}T^2$.
બળ $F$ એ $F = \alpha \beta \exp(\dots)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઘાતાંકીય પદ પરિમાણરહિત હોવાથી,$F$ ના પરિમાણો એ $\alpha \beta$ ના પરિમાણો જેટલા હોવા જોઈએ.
$[F] = [\alpha][\beta]$
$MLT^{-2} = (M^{-1}T^2) [\beta]$
$[\beta] = \frac{MLT^{-2}}{M^{-1}T^2} = M^2LT^{-4}$.

(C) મુક્ત અવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$ છે.
મુક્ત અવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2} A^{-2}]$ છે.
તેથી,$\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર:
$\left[ \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} \right] = \left[ \frac{M^{-1} L^{-3} T^4 A^2}{M L T^{-2} A^{-2}} \right]^{1/2}$
$= \left[ M^{-1-1} L^{-3-1} T^{4-(-2)} A^{2-(-2)} \right]^{1/2}$
$= \left[ M^{-2} L^{-4} T^6 A^4 \right]^{1/2}$
$= [M^{-1} L^{-2} T^3 A^2]$ થાય.

(D) જો કોઈ ભૌતિક રાશિનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0L^0T^0]$ હોય,તો તે પરિમાણરહિત છે.
સાપેક્ષ વેગ એ બે વેગનો ગુણોત્તર છે,તેથી તે પરિમાણરહિત અને એકમરહિત છે.
સાપેક્ષ ઘનતા એ પદાર્થની ઘનતા અને પાણીની ઘનતાનો ગુણોત્તર છે,તેથી તે પરિમાણરહિત અને એકમરહિત છે.
વિકૃતિ એ પરિમાણમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ પરિમાણનો ગુણોત્તર છે,તેથી તે પરિમાણરહિત અને એકમરહિત છે.
ખૂણાને ચાપની લંબાઈ અને ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $\theta = \frac{s}{r}$.
ચાપની લંબાઈ અને ત્રિજ્યા બંને લંબાઈ $[L]$ ધરાવે છે,તેથી ખૂણો પરિમાણરહિત છે: $[M^0L^0T^0]$.
જોકે,ખૂણાનો $SI$ એકમ રેડિયન છે,જે એક એકમ છે.
તેથી,ખૂણો એ એવી ભૌતિક રાશિ છે જેનો એકમ છે પરંતુ પરિમાણ નથી.

(D) ઉર્જા ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ ઉર્જા: $U = \frac{\text{Energy}}{\text{Volume}}$.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે અને કદનું $[L^3]$ છે.
તેથી,ઉર્જા ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ થાય.
દબાણ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ: $P = \frac{F}{A}$. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
પ્રતિબળ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પુનઃસ્થાપક બળ: $\sigma = \frac{F}{A}$. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
યંગ મોડ્યુલસ એ પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$. વિકૃતિ પરિમાણરહિત હોવાથી,$Y$ નું પારિમાણિક સૂત્ર પ્રતિબળ જેવું જ એટલે કે $[ML^{-1}T^{-2}]$ થાય.
આમ,આપેલી તમામ રાશિઓનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-1}T^{-2}]$ સમાન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) અવરોધકતા $(\rho)$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{R A}{l}$ છે,જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ લંબાઈ છે.
અવરોધ $R = \frac{V}{I} = \frac{W}{qI} = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[A T] [A]} = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$.
ક્ષેત્રફળ $A = [L^2]$.
લંબાઈ $l = [L]$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\rho = \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-2}] \times [L^2]}{[L]} = [M L^3 T^{-3} A^{-2}]$.

(C) તીવ્રતા એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ વહેતી ઉર્જા.
$\text{તીવ્રતા} = \frac{\text{ઉર્જા}}{\text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{સમય}}$
ઉર્જા $[ML^2T^{-2}]$,ક્ષેત્રફળ $[L^2]$ અને સમય $[T]$ ના પરિમાણો મૂકતા:
$\text{તીવ્રતા} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^2][T]} = [ML^0T^{-3}]$
તેથી,પરિમાણીય સૂત્ર $[ML^0T^{-3}]$ એ તીવ્રતા દર્શાવે છે.

(D) $1$. એકમ કદ દીઠ ઉર્જા: $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
$2$. એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ: $\frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
$3$. એકમ કદ દીઠ વોલ્ટેજ અને વિદ્યુતભારનો ગુણાકાર: વોલ્ટેજ $\times$ વિદ્યુતભાર = ઉર્જા. તેથી,$\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
$4$. એકમ દળ દીઠ કોણીય વેગમાન: કોણીય વેગમાન $[ML^2T^{-1}]$ છે. તેને દળ $[M]$ વડે ભાગતા $[L^2T^{-1}]$ મળે છે.
આમ,એકમ દળ દીઠ કોણીય વેગમાનનું પરિમાણ $[L^2T^{-1}]$ છે,જે $[ML^{-1}T^{-2}]$ કરતા અલગ છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પ્રવાહધારિત ગૂંચળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M)$ એ પ્રવાહ $(I)$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $(A)$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે: $M = I \times A$.
પ્રવાહ $(I)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[A]$ છે.
ક્ષેત્રફળ $(A)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^2]$ છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M] = [A][L^2] = [L^2A]$ થાય છે.

(A) કેપેસિટન્સ $C$ ને $C = \frac{Q}{V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{W}{Q}$ હોવાથી,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે,આપણે $C = \frac{Q^2}{W}$ લખી શકીએ.
કાર્ય $W$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
પરિમાણો મૂકતા,આપણને $[C] = \frac{[Q^2]}{[ML^2T^{-2}]}$ મળે છે.
તેથી,$[C] = [M^{-1}L^{-2}T^2Q^2]$.

(D) $1$. $Q$ ની સાપેક્ષે પદાર્થ $P$ નો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{PQ} = \vec{v}_P - \vec{v}_Q$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. આ બે વેગની સદિશ બાદબાકી હોવાથી,પરિણામ પણ વેગ જ મળે છે. તેથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^{-1}]$ છે,જે વેગ અને વેગમાં થતા ફેરફાર $(\Delta v)$ ના પારિમાણિક સૂત્ર સમાન છે. આમ,વિધાન સાચું છે.
$2$. કારણમાં જણાવેલ છે કે સાપેક્ષ વેગ એ વેગનો ગુણોત્તર છે,જે ભૌતિક રીતે ખોટું છે. સાપેક્ષ વેગ એ બે વેગનો તફાવત છે,ગુણોત્તર નથી. તેથી,કારણ ખોટું છે.

(A) પદ $\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}}$ એ ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા દર્શાવે છે,જે એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા છે.
ઉર્જા ઘનતાનું સૂત્ર $u = \frac{\text{Energy}}{\text{Volume}}$ છે.
ઉર્જાનું પરિમાણ $[M L^{2} T^{-2}]$ છે અને કદનું પરિમાણ $[L^{3}]$ છે.
તેથી,ઉર્જા ઘનતાનું પરિમાણ $\frac{[M L^{2} T^{-2}]}{[L^{3}]} = [M L^{-1} T^{-2}]$ થાય.
આમ,$\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}}$ નું પરિમાણ $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું સૂત્ર $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ છે.
$G$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$G = \frac{F r^2}{m_1 m_2}$ મળે છે.
$1$. $MKS$ એકમ: બળનો એકમ $Newton$ $(N)$,અંતરનો એકમ $meter$ $(m)$ અને દળનો એકમ $kilogram$ $(kg)$ છે. તેથી,એકમ $N \cdot m^2 / kg^2$ અથવા $kg^{-1} \cdot m^3 \cdot s^{-2}$ થાય છે.
$2$. $CGS$ એકમ: બળનો એકમ $dyne$ $(dyn)$,અંતરનો એકમ $centimeter$ $(cm)$ અને દળનો એકમ $gram$ $(g)$ છે. તેથી,એકમ $dyn \cdot cm^2 / g^2$ અથવા $g^{-1} \cdot cm^3 \cdot s^{-2}$ થાય છે.
$3$. પારિમાણિક સૂત્ર: બળ $[MLT^{-2}]$,અંતર $[L]$ અને દળ $[M]$ ના પરિમાણોને $G = \frac{F r^2}{m_1 m_2}$ માં મૂકતા,આપણને $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ મળે છે.

(N/A) કોઈપણ ભૌતિક રાશિના પરિમાણ એટલે તે રાશિને દર્શાવવા માટે પાયાની રાશિઓ પર જે ઘાત (અથવા ઘાતાંક) ચડાવવામાં આવે છે તે.
કોઈપણ ભૌતિક રાશિને $7$ પાયાની (મૂળભૂત) રાશિઓના સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
તેના સંકેતો નીચે મુજબ છે:
દળ: $M$
લંબાઈ: $L$
સમય: $T$
વિદ્યુત પ્રવાહ: $A$
થર્મોડાયનેમિક તાપમાન: $K$
જ્યોતિ તીવ્રતા: $cd$
પદાર્થનો જથ્થો: $mol$
ઉદાહરણ $1$: કદ
$\text{કદ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$
$= L \times L \times L = L^3$
પરિમાણની દ્રષ્ટિએ,કદને $[M^0 L^3 T^0]$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં,લંબાઈનું પરિમાણ $3$ છે,જ્યારે દળ અને સમયનું પરિમાણ $0$ છે.
ઉદાહરણ $2$: બળ
$\text{બળ} = \text{દળ} \times \text{પ્રવેગ}$
$= M \times (L T^{-2}) = [M^1 L^1 T^{-2}]$
અહીં,બળના પરિમાણો દળમાં $1$,લંબાઈમાં $1$ અને સમયમાં $-2$ છે.

(N/A) પારિમાણિક સૂત્ર: જે પદાવલિ દર્શાવે છે કે ભૌતિક રાશિના પરિમાણોમાં કઈ મૂળભૂત રાશિઓ અને કેવી રીતે સમાયેલી છે,તેને પારિમાણિક સૂત્ર કહે છે.
ઉદાહરણ:
કદનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{0} L^{3} T^{0}]$ છે.
ઝડપ (અથવા વેગ) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$ છે.
પ્રવેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{0} L^{1} T^{-2}]$ છે.
ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{1} L^{-3} T^{0}]$ છે.
પારિમાણિક સમીકરણ: જ્યારે કોઈ ભૌતિક રાશિને તેના પારિમાણિક સૂત્ર સાથે સરખાવવામાં આવે,ત્યારે મળતા સમીકરણને તે ભૌતિક રાશિનું પારિમાણિક સમીકરણ કહે છે.
ઉદાહરણ:
કદ $[V] = [M^{0} L^{3} T^{0}]$
ઝડપ અથવા વેગ $[v] = [M^{0} L^{1} T^{-1}]$
બળ $[F] = [M^{1} L^{1} T^{-2}]$
ઘનતા $[\rho] = [M^{1} L^{-3} T^{0}]$

(B) પરિમાણ: સાધિત રાશિને દર્શાવવા માટે પાયાની રાશિઓ પર જે ઘાત કે ઘાતાંક ચડાવવામાં આવે છે,તેને તે રાશિનું પરિમાણ કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ: $\text{કદ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ}$.
લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ ત્રણેય લંબાઈના પ્રકાર હોવાથી,તેમનું પરિમાણીય નિરૂપણ $L$ છે.
$\text{કદ} = L \times L \times L = L^{3}$.
આમ,કદનું લંબાઈમાં પરિમાણ $3$ છે.

(A) પારિમાણિક સૂત્રોની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$(1)$ બળની ચાકમાત્રા $(\tau) = \text{બળ} \times \text{અંતર} = [MLT^{-2}] \times [L] = [ML^2T^{-2}]$. તેથી, $(1) - (c)$.
$(2)$ કોણીય વેગમાન $(L) = \text{જડત્વની ચાકમાત્રા} \times \text{કોણીય વેગ} = [ML^2] \times [T^{-1}] = [ML^2T^{-1}]$. તેથી, $(2) - (b)$.
$(3)$ રેખીય વેગમાન $(p) = \text{દળ} \times \text{વેગ} = [M] \times [LT^{-1}] = [MLT^{-1}]$. તેથી, $(3) - (a)$.
આમ, સાચી જોડ $1-c, 2-b, 3-a$ છે.

(N/A) પારિમાણિક સૂત્ર: જે પદાવલિ દર્શાવે છે કે ભૌતિક રાશિના પરિમાણોમાં કઈ અને કેટલી પાયાની રાશિઓનો સમાવેશ થાય છે,તેને પારિમાણિક સૂત્ર કહે છે.
ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ દળ: $\rho = \frac{M}{V}$.
દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^0]$ છે.
કદનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^3 T^0]$ છે.
તેથી,ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[M^1 L^0 T^0]}{[M^0 L^3 T^0]} = [M^1 L^{-3} T^0]$ થાય.
પારિમાણિક સમીકરણ: જ્યારે કોઈ ભૌતિક રાશિને તેના પારિમાણિક સૂત્ર સાથે સરખાવવામાં આવે,ત્યારે મળતા સમીકરણને તે ભૌતિક રાશિનું પારિમાણિક સમીકરણ કહે છે.
આમ,ઘનતા માટેનું પારિમાણિક સમીકરણ $[\rho] = [M^1 L^{-3} T^0]$ છે.

(IMPULSE) $1$. $Ns$ (ન્યૂટન-સેકન્ડ) એ આઘાત (Impulse) અથવા વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો એકમ છે.
$2$. આઘાતને બળ અને સમયના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $J = F \times \Delta t$.
$3$. વેગમાન $(p)$ ને દળ અને વેગના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $p = m \times v$.
$4$. દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^0]$ છે અને વેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^{-1}]$ છે.
$5$. તેથી,વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-1}]$ થાય છે.

(A) આઘાત $(J)$ એ બળ $(F)$ અને તે બળ જેટલા સમયગાળા $(\Delta t)$ માટે લાગે છે,તેના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,$J = F \times \Delta t$.
બળ $(F)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}]$ છે.
સમય $(\Delta t)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^1]$ છે.
તેથી,આઘાતનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}] \times [T^1] = [M^1 L^1 T^{-1}]$ થાય.
આમ,સાચું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-1}]$ છે.

(A) સ્પ્રિંગ બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
તેથી,$k$ ના પરિમાણો $[k] = [F/x] = [MLT^{-2}] / [L] = [MT^{-2}]$ છે.
દળ $m$ ના પરિમાણો $[m] = [M]$ છે.
આમ,$\frac{k}{m}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[k/m] = [MT^{-2}] / [M] = [T^{-2}] = [M^0 L^0 T^{-2}]$ થાય છે.

(N/A) પાવર $(P)$ એટલે કાર્ય કરવાનો દર અથવા ઉર્જાના સ્થાનાંતરનો દર. ગાણિતિક રીતે,$P = \frac{W}{t}$.
કાર્ય $(W)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
સમય $(t)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T]$ છે.
તેથી,પાવરનું પારિમાણિક સૂત્ર:
$[P] = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T]} = [ML^2T^{-3}]$ થાય.
પાવર એ અદિશ રાશિ છે કારણ કે તે બળ અને વેગનો અદિશ ગુણાકાર $(P = \vec{F} \cdot \vec{v})$ છે,અને તેને માત્ર મૂલ્ય હોય છે,દિશા હોતી નથી.

(A) આપેલ પદ $\frac{GM_e}{gr^2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM_e}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{GM_e}{r^2} = g$.
આ કિંમતને આપેલ પદમાં મૂકતા: $\frac{GM_e}{gr^2} = \frac{g}{g} = 1$.
$1$ એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $M^0L^0T^0$ થાય છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $PV = \mu RT$ છે.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$R = \frac{PV}{\mu T}$ મળે છે.
અહીં,$P$ એ દબાણ છે,$V$ એ કદ છે,$\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[P] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$
$[V] = [L^3]$
$[\mu] = [M^0 L^0 T^0] = [1]$ (પરિમાણરહિત)
$[T] = [K^1]$
આ કિંમતોને $R$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$[R] = \frac{[M^1 L^{-1} T^{-2}] [L^3]}{[1] [K^1]}$
$[R] = [M^1 L^2 T^{-2} K^{-1}]$

(N/A) સ્પ્રિંગ અચળાંક $(k)$ એ સ્પ્રિંગની જડતાનું માપ છે. હૂકના નિયમ મુજબ,તેને સ્પ્રિંગના એકમ વિસ્તરણ અથવા સંકોચન દીઠ લાગતા પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $F = -kx$
$1$. એકમ: સ્પ્રિંગ અચળાંકનો $SI$ એકમ $N/m$ (ન્યૂટન પ્રતિ મીટર) અથવા $kg/s^2$ છે.
$2$. પારિમાણિક સૂત્ર: $F = kx$ હોવાથી,$k = F/x$ થાય.
- બળ $(F)$ નું પરિમાણ $[MLT^{-2}]$ છે.
- સ્થાનાંતર $(x)$ નું પરિમાણ $[L]$ છે.
- તેથી,$k$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}] / [L] = [MT^{-2}]$ છે.