Dimensions and Dimensional Formula Questions in Gujarati

(B) ડેમ્પિંગ ફોર્સ $F$ એ સંબંધ $F = -bv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ પ્રમાણસરતાનો અચળાંક (ડેમ્પિંગ કોન્સ્ટન્ટ) છે અને $v$ એ વેગ છે.
$b$ નો એકમ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ: $b = \frac{F}{v}$.
બળ $F$ નો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$ છે,જે $kg \cdot m \cdot s^{-2}$ ની સમકક્ષ છે.
વેગ $v$ નો $SI$ એકમ $m \cdot s^{-1}$ છે.
આ એકમોને $b$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$b = \frac{kg \cdot m \cdot s^{-2}}{m \cdot s^{-1}} = kg \cdot s^{-1}$.
તેથી,પ્રમાણસરતાના અચળાંકનો એકમ $kg \cdot s^{-1}$ છે.

(C) ભૌતિક રાશિના પરિમાણો $[L^{a} M^{b} T^{c}]$ તરીકે આપેલ છે.
ચાલો આપેલા વિકલ્પોના પરિમાણો તપાસીએ:
$1$. વેગ: $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$. અહીં,$a=1, b=0, c=-1$. વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
$2$. બળ: $[M^{1} L^{1} T^{-2}]$. અહીં,$a=1, b=1, c=-2$. વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
$3$. દબાણ: દબાણ એટલે $\text{બળ} / \text{ક્ષેત્રફળ} = [M^{1} L^{1} T^{-2}] / [L^{2}] = [M^{1} L^{-1} T^{-2}]$. અહીં,$a=-1, b=1, c=-2$. આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.
$4$. પ્રવેગ: $[M^{0} L^{1} T^{-2}]$. અહીં,$a=1, b=0, c=-2$. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
સંબંધ $E = h \nu$ પરથી,જ્યાં $E$ એ ઉર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્ક અચળાંક છે,અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
$h = \frac{E}{\nu}$.
ઉર્જા $E$ નું પરિમાણ $[ML^2 T^{-2}]$ છે.
આવૃત્તિ $\nu$ નું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે.
તેથી,$h$ નું પરિમાણ $= \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2 T^{-1}]$.
હવે,બળ,સ્થાનાંતર અને સમયના ગુણાકારનું પરિમાણ તપાસીએ:
બળ $F$ નું પરિમાણ $= [MLT^{-2}]$.
સ્થાનાંતર $d$ નું પરિમાણ $= [L]$.
સમય $t$ નું પરિમાણ $= [T]$.
ગુણાકારનું પરિમાણ $= [MLT^{-2}] \times [L] \times [T] = [ML^2 T^{-1}]$.
આ પ્લાન્ક અચળાંકના પરિમાણ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) $LR$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{1} L^{2} T^{-2} A^{-2}]$ છે.
અવરોધ $R$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-2}]$ છે.
તેથી,$\frac{L}{R}$ ના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$\frac{[M^{1} L^{2} T^{-2} A^{-2}]}{[M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-2}]} = M^{1-1} L^{2-2} T^{-2-(-3)} A^{-2-(-2)} = M^{0} L^{0} T^{1} A^{0}$.
આમ,$\left(\frac{L}{R}\right)$ ના પરિમાણો $[L^{0} M^{0} T^{1}]$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $F = P \cos(Ax) + Q \sin(Bt)$ માં,ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના ખૂણા પરિમાણરહિત હોવા જોઈએ.
તેથી,$(Ax)$ ના પરિમાણ $[M^0 L^0 T^0]$ હોવા જોઈએ.
અહીં $[x] = [L]$ હોવાથી,$[A][L] = [M^0 L^0 T^0]$,જેનો અર્થ છે કે $[A] = [L^{-1}]$.
તે જ રીતે,$(Bt)$ ના પરિમાણ $[M^0 L^0 T^0]$ હોવા જોઈએ.
અહીં $[t] = [T]$ હોવાથી,$[B][T] = [M^0 L^0 T^0]$,જેનો અર્થ છે કે $[B] = [T^{-1}]$.
હવે,ગુણોત્તર $\left[\frac{B}{A}\right]$ ના પરિમાણની ગણતરી કરતા:
$\left[\frac{B}{A}\right] = \frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [L T^{-1}]$.
પરિમાણ $[L T^{-1}]$ એ વેગ (velocity) ની ભૌતિક રાશિ દર્શાવે છે.

(A) ટોર્કનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
ટોર્ક એ બળ અને પરિભ્રમણની ધરીથી લંબ અંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\tau = F \times r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળ $(F)$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}]$ છે.
અંતર $(r)$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^1]$ છે.
તેથી,ટોર્ક $(\tau)$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}] \times [L^1] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ થાય છે.

(B) ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર $(\gamma)$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(M)$ અને કોણીય વેગમાન $(L)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\gamma = \frac{M}{L}$
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \cdot A$ હોવાથી (જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે),તેના પરિમાણો $[I^1 L^2]$ છે.
કોણીય વેગમાન $L = mvr$ હોવાથી,તેના પરિમાણો $[M^1 L^2 T^{-1}]$ છે.
તેથી,ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તરના પરિમાણો:
$\text{Dimension} = \frac{[I^1 L^2]}{[M^1 L^2 T^{-1}]} = [M^{-1} L^0 T^1 I^1]$ છે.

(A) ટોર્કનું પારિમાણિક સૂત્ર $\tau = r \times F$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળ $F$ ના પરિમાણો $[M^1L^1T^{-2}]$ છે અને અંતર $r$ ના પરિમાણો $[L^1]$ હોવાથી,ટોર્કના પરિમાણો $[M^1L^1T^{-2}] \times [L^1] = [M^1L^2T^{-2}]$ થાય છે.
બળની ચાકમાત્રા (moment of force) એ બળ અને પરિભ્રમણની ધરીથી લંબ અંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે ટોર્કની વ્યાખ્યા સમાન જ છે.
તેથી,બળની ચાકમાત્રાના પરિમાણો પણ $[M^1L^2T^{-2}]$ છે.
આમ,ટોર્કના પરિમાણો બળની ચાકમાત્રાના પરિમાણો સમાન છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x = \pi R \left( \frac{P^2 - Q^2}{2} \right)$ છે.
અહીં,$P, Q$ અને $R$ લંબાઈ છે,તેથી તેમનું પરિમાણ $[L]$ છે.
પદ $(P^2 - Q^2)$ નું પરિમાણ $[L^2] - [L^2] = [L^2]$ થાય છે.
અચળાંક $\pi$ અને અવયવ $1/2$ પરિમાણરહિત છે.
તેથી,$x$ નું પરિમાણ $[L] \times [L^2] = [L^3]$ થાય છે.
$[L^3]$ પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિ કદ (volume) દર્શાવે છે.

(C) પ્લાન્કના અચળાંક $h$ ના પરિમાણો $[h] = [M L^2 T^{-1}]$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ના પરિમાણો $[I] = [M L^2]$ છે.
પ્લાન્કના અચળાંક અને જડત્વની ચાકમાત્રાના પરિમાણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{[h]}{[I]} = \frac{[M L^2 T^{-1}]}{[M L^2]} = [T^{-1}]$.
પરિમાણ $[T^{-1}]$ એ આવૃત્તિનું પરિમાણ દર્શાવે છે.

(D) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $n = \frac{c}{v}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ અને $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \mu_{r} \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}}}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $n = \frac{1/\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}{1/\sqrt{\mu_{0} \mu_{r} \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}}} = \sqrt{\mu_{r} \varepsilon_{r}}$ મળે છે.
વક્રીભવનાંક $n$ એ બે ઝડપનો ગુણોત્તર હોવાથી,તે પરિમાણરહિત રાશિ છે.
તેથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $M^{0} L^{0} T^{0} A^{0}$ છે,જે વિકલ્પોમાં આપેલ નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વિકિરણની તીવ્રતા $(I)$ ને એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ પર આપાત થતી ઊર્જા $(E)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$I = \frac{E}{A \times t}$.
ઊર્જા $(E)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{1} L^{2} T^{-2}]$ છે.
ક્ષેત્રફળ $(A)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^{2}]$ છે.
સમય $(t)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^{1}]$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{[M^{1} L^{2} T^{-2}]}{[L^{2}] \times [T^{1}]}$
$I = [M^{1} L^{2-2} T^{-2-1}]$
$I = [M^{1} L^{0} T^{-3}]$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પોલરાઈઝેશન $P$ ને એકમ કદ દીઠ ડાયપોલ મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$P = \frac{p}{V}$
જ્યાં $p = q \times d$ (વીજભાર $\times$ અંતર) અને $V = L^3$ (કદ) છે,
તેથી,$P = \frac{q \times d}{L^3} = \frac{q}{L^2}$
વીજભાર $q$ નો એકમ $A \cdot T$ (એમ્પિયર-સેકન્ડ) છે અને ક્ષેત્રફળ $L^2$ નો એકમ $m^2$ છે.
તેથી,પોલરાઈઝેશનનો એકમ $A \cdot T \cdot m^{-2}$ થાય છે.
આમ,પારિમાણિક સૂત્ર $[A^1 T^1 L^{-2}]$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) કેપેસીટન્સનું સૂત્ર $C = \frac{Q}{V}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{W}{Q}$ હોવાથી,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે અને $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે,આપણે આને કેપેસીટન્સના સૂત્રમાં મૂકીએ છીએ:
$C = \frac{Q^2}{W}$.
કાર્ય $W$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
પરિમાણો મૂકતા:
$C = \frac{Q^2}{[M^1 L^2 T^{-2}]}$.
$C = M^{-1} L^{-2} T^2 Q^2$.

(B) સ્પ્રિંગ અથવા તાર માટે ટોર્શનલ અચળાંક $(k)$ ને $\tau = k\theta$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau$ એ ટોર્ક છે અને $\theta$ એ રેડિયનમાં કોણીય સ્થાનાંતર છે.
$\theta$ પરિમાણરહિત હોવાથી,ટોર્શનલ અચળાંક $(k)$ ના પરિમાણો ટોર્ક $(\tau)$ ના પરિમાણો સમાન હોય છે.
ટોર્કને બળ અને લંબ અંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\tau = F \times d$.
બળ $(F)$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}]$ છે.
અંતર $(d)$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^1]$ છે.
તેથી,ટોર્ક $(\tau)$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}] \times [L^1] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
આમ,અસરકારક ટોર્શનલ અચળાંકનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી (સક્રિયતા) એટલે કે ક્ષય થવાનો દર,જે એકમ સમયમાં થતા વિભંજનની સંખ્યા છે.
ગાણિતિક રીતે,એક્ટિવિટી $A = -\frac{dN}{dt}$.
અહીં $N$ (ન્યુક્લિયસની સંખ્યા) એ પરિમાણરહિત રાશિ છે અને $t$ એ સમય દર્શાવે છે,તેથી એક્ટિવિટીનું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^{-1}]$ થાય છે.
આમ,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^0 T^{-1}]$ છે.

(B) $1$. ઉષ્મીય વાહકતા $(K)$: $Q = \frac{KA(T_2 - T_1)t}{d}$ પરથી,આપણને $[K] = [M^{1} L^{1} T^{-3} K^{-1}]$ મળે છે. આ સાચું છે.
$2$. સ્થિતિમાન $(V)$: $V = \frac{W}{q}$. $[V] = \frac{[M^{1} L^{2} T^{-2}]}{[A^{1} T^{1}]} = [M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-1}]$. આપેલ વિકલ્પ $B$ માં $[M^{1} L^{2} T^{3} A^{-1}]$ આપેલ છે,જે ખોટું છે.
$3$. શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી $(\mu_{0})$: $F = \frac{\mu_{0} I_1 I_2 L}{2\pi d}$ પરથી,આપણને $[\mu_{0}] = [M^{1} L^{1} T^{-2} A^{-2}]$ મળે છે. આ સાચું છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ એ ખોટું વિધાન છે.

(D) કોણીય આવૃત્તિનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{0} L^{0} T^{-1}]$ છે.
આને $[M^{a} L^{b} T^{c}]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=0, b=0, c=-1$ મળે છે.
સ્પ્રિંગ અચળાંક માટે,સૂત્ર $[M^{1} L^{0} T^{-2}]$ છે.
પૃષ્ઠતાણ માટે,સૂત્ર $[M^{1} L^{0} T^{-2}]$ છે.
બળ માટે,સૂત્ર $[M^{1} L^{1} T^{-2}]$ છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(C) અવરોધ $R$ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $R = \frac{V}{I} = \frac{W}{qI}$ પરથી મેળવવામાં આવે છે.
પરિમાણો મૂકતા: $R = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[AT][A]} = [ML^2 T^{-3} A^{-2}]$.
હવે,આપણે $\frac{h}{e^2}$ ના પરિમાણો તપાસીએ.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ ના પરિમાણો $[ML^2 T^{-1}]$ છે.
વિદ્યુતભાર $e$ ના પરિમાણો $[AT]$ છે.
તેથી,$\frac{h}{e^2}$ ના પરિમાણો $= \frac{[ML^2 T^{-1}]}{[AT]^2} = \frac{[ML^2 T^{-1}]}{[A^2 T^2]} = [ML^2 T^{-3} A^{-2}]$.
આમ,$R$ અને $\frac{h}{e^2}$ ના પરિમાણો સમાન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આવેગ એ બળ અને સમયગાળાના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આવેગ = બળ $\times$ સમય
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[MLT^{-2}]$
સમયનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[T]$
તેથી,આવેગનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[MLT^{-2}] \times [T] = [MLT^{-1}]$.

(A) ન્યુટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$R$ અંતરે રહેલા બે દળ $M_1$ અને $M_2$ વચ્ચે લાગતું બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{G M_1 M_2}{R^2}$
સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$G = \frac{F R^2}{M_1 M_2}$
બળ $[F] = [MLT^{-2}]$,અંતર $[R] = [L]$,અને દળ $[M] = [M]$ ના પારિમાણિક સૂત્રો મૂકતા:
$[G] = \frac{[MLT^{-2}] [L^2]}{[M] [M]} = \frac{[ML^3 T^{-2}]}{[M^2]} = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$

(C) પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ એ ફોટોનની ઉર્જા $(E)$ અને તેની આવૃત્તિ $(\nu)$ સાથે નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે: $E = h\nu$.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ $h = \frac{E}{\nu}$.
ઉર્જા $(E)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2 T^{-2}]$ છે.
આવૃત્તિ $(\nu)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^{-1}]$ છે.
આ કિંમતોને $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2 T^{-2+1}] = [ML^2 T^{-1}]$.
તેથી,પ્લાન્ક અચળાંકનું સાચું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2 T^{-1}]$ છે.

(C) કઈ જોડીનું પારિમાણિક સૂત્ર સમાન નથી તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. કાર્ય અને ટોર્ક: બંનેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
$2$. કોણીય વેગમાન અને પ્લાન્કનો અચળાંક: બંનેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-1}]$ છે.
$3$. સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) અને રેખીય વેગમાન: સ્ટ્રેસ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ,જેનું સૂત્ર $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે. રેખીય વેગમાન એટલે દળ ગુણ્યા વેગ,જેનું સૂત્ર $[MLT^{-1}]$ છે. આ બંને સમાન નથી.
$4$. પૃષ્ઠતાણ અને બળ અચળાંક: બંનેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MT^{-2}]$ છે.
તેથી,જે જોડીનું પારિમાણિક સૂત્ર સમાન નથી તે સ્ટ્રેસ અને રેખીય વેગમાન છે.

(A) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. $(t+c)$ પદ માટે,$c$ નું પરિમાણ સમય $t$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ. તેથી,$[c] = [T]$.
$2$. $at$ પદ માટે,$at$ નું પરિમાણ વેગ $v$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ. કારણ કે $[v] = [LT^{-1}]$ અને $[t] = [T]$,તેથી $[a][T] = [LT^{-1}]$,જે આપણને $[a] = [LT^{-2}]$ આપે છે.
$3$. $\frac{b}{t+c}$ પદ માટે,આ પદનું પરિમાણ વેગ $v$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ. કારણ કે $[t+c] = [T]$ અને $[v] = [LT^{-1}]$,તેથી $\frac{[b]}{[T]} = [LT^{-1}]$,જે આપણને $[b] = [L]$ આપે છે.
આમ,પરિમાણો $[a] = [LT^{-2}]$,$[b] = [L]$,અને $[c] = [T]$ છે.

(A) ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $(S)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M T^{-2}]$ છે.
ધારો કે જરૂરી ભૌતિક રાશિ $X = \sqrt{\frac{K.E.}{S}}$ છે.
પરિમાણો મૂકતા: $X = \sqrt{\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[M T^{-2}]}}$.
સાદું રૂપ આપતા: $X = \sqrt{[L^2]} = [L]$.
પરિમાણ $[L]$ એ લંબાઈ અથવા અંતર દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ પદ $\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કુલંબ બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ છે,તેથી $\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} = F r^2$ થાય.
$\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0}$ ના પરિમાણો $[M L T^{-2}] [L^2] = [M L^3 T^{-2}]$ છે.
પ્લાન્કના અચળાંક $h$ (અથવા $\hbar$) ના પરિમાણો $[M L^2 T^{-1}]$ છે.
તેથી,આ પદના પરિમાણો $\frac{[M L^3 T^{-2}]}{[M L^2 T^{-1}]} = [L^1 T^{-1}]$ થશે.
આ વેગ (પ્રકાશની ઝડપ $c$) ના પરિમાણો દર્શાવે છે.

(A) બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k_B)$ નો $SI$ એકમ જૂલ પ્રતિ કેલ્વિન $(J/K)$ છે.
ઉર્જા $(J)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $\left[ML^2 T^{-2}\right]$ છે.
તાપમાન $(K)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $\left[K^1\right]$ છે.
તેથી,બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંકનું પારિમાણિક સૂત્ર $\left[ML^2 T^{-2}\right] / \left[K^1\right] = \left[ML^2 T^{-2} K^{-1}\right]$ થાય છે.

(A) સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) ને પદાર્થના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેને ગ્રીક અક્ષર $\sigma$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$\text{સ્ટ્રેસ} = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}}$
બળ અને ક્ષેત્રફળના પરિમાણીય સૂત્રો મૂકતા:
$\text{બળ} = [M L T^{-2}]$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = [L^2]$
$\text{સ્ટ્રેસ} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2]} = [M L^{1-2} T^{-2}] = [M L^{-1} T^{-2}]$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચે લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F$ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$
પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\varepsilon_0 = \frac{q_1 q_2}{4 \pi F r^2}$
હવે,દરેક ભૌતિક રાશિ માટે પારિમાણિક સૂત્રો મૂકતા:
$[q] = [AT]$
$[F] = [MLT^{-2}]$
$[r] = [L]$
$\varepsilon_0$ ના સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$[\varepsilon_0] = \frac{[AT][AT]}{[MLT^{-2}][L^2]} = \frac{[A^2 T^2]}{[ML^3 T^{-2}]}$
$[\varepsilon_0] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$

(C) એકમ $kg m s^{-2}$ એ ન્યુટન $(N)$ દર્શાવે છે,જે બળનો એકમ છે.
એકમ $kg m^2 s^{-3}$ એ વોટ $(W)$ દર્શાવે છે,જે પાવરનો એકમ છે.
એકમ $kg m^2 s^{-2}$ એ જૂલ $(J)$ દર્શાવે છે,જે કાર્ય અથવા ઉર્જાનો એકમ છે. કાર્યને બળ અને સ્થાનાંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે $(W = F \times d)$. કારણ કે બળનો એકમ $kg m s^{-2}$ છે અને સ્થાનાંતરનો એકમ $m$ છે,તેથી કાર્યનો એકમ $(kg m s^{-2}) \times m = kg m^2 s^{-2}$ થાય છે.
એકમ $kg m^{-1} s^{-2}$ એ પાસ્કલ $(Pa)$ દર્શાવે છે,જે દબાણનો એકમ છે. દબાણને બળ ભાગ્યા ક્ષેત્રફળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે $(P = F / A)$. તેથી,તેનો એકમ $(kg m s^{-2}) / m^2 = kg m^{-1} s^{-2}$ થાય છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માટે મેક્સવેલના સંબંધ મુજબ, પ્રકાશની ઝડપ $c$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને મળે છે: $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$.
તેથી, ગુણાકાર $\mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{c^2}$ થાય.
પ્રકાશની ઝડપ $c$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-1}]$ છે.
પરિમાણો મૂકતા, આપણને મળે છે: $[\mu_0 \varepsilon_0] = [LT^{-1}]^{-2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા, આપણને મળે છે: $[\mu_0 \varepsilon_0] = [L^{-2} T^2]$.
દળ, લંબાઈ અને સમયના સંદર્ભમાં, આને $[M^0 L^{-2} T^2]$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ નું પરિમાણ $k = \frac{F}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તેથી તેનો એકમ $\frac{N}{m} = \frac{kg \cdot m/s^2}{m} = kg \cdot s^{-2}$ છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^0 T^{-2}]$ છે.
પૃષ્ઠ ઉર્જા એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉર્જા: $\text{પૃષ્ઠ ઉર્જા} = \frac{\text{ઉર્જા}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{J}{m^2} = \frac{N \cdot m}{m^2} = \frac{N}{m}$.
આમ, પૃષ્ઠ ઉર્જાનો એકમ પણ $\frac{N}{m}$ છે, જે પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^0 T^{-2}]$ ને અનુરૂપ છે.
બંનેના પારિમાણિક સૂત્રો સમાન હોવાથી, વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) કોણીય વેગમાન $(L)$ એ રેખીય વેગમાન $(p)$ અને પરિભ્રમણની ધરીથી લંબ અંતર $(r)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે, $L = p \times r = m \times v \times r$.
તેના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
દળ $(m)$ = $[M]$
વેગ $(v)$ = $[LT^{-1}]$
અંતર $(r)$ = $[L]$
તેથી, કોણીય વેગમાનનું પરિમાણ = $[M] \times [LT^{-1}] \times [L] = [ML^2 T^{-1}]$.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ નું પરિમાણ નીચે મુજબ છે:
$[E] = \frac{[F]}{[q]} = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[A^1 T^1]} = [M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}] \quad ... (i)$
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0$ નું પરિમાણ લાંબા સીધા તાર માટે $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ સંબંધ પરથી અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$ પરથી મેળવી શકાય છે. બળના નિયમ $F = qvB$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે:
$[\mu_0] = [M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}] \quad ... (ii)$
હવે, આપણે $\frac{E^2}{\mu_0}$ નું પરિમાણ ગણીએ:
$\left[\frac{E^2}{\mu_0}\right] = \frac{[E]^2}{[\mu_0]} = \frac{[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]^2}{[M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}]}$
$= \frac{[M^2 L^2 T^{-6} A^{-2}]}{[M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}]}$
$= [M^{2-1} L^{2-1} T^{-6-(-2)} A^{-2-(-2)}]$
$= [M^1 L^1 T^{-4}] = [MLT^{-4}]$

(A) આપેલ સંબંધ $P V^{5/3} = K$ છે.
દબાણ $P$ ના પરિમાણો $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
કદ $V$ ના પરિમાણો $[L^3]$ છે.
સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$[K] = [P] [V]^{5/3} = [M L^{-1} T^{-2}] ([L^3])^{5/3}$.
$[K] = [M L^{-1} T^{-2}] [L^5]$.
$[K] = [M L^{4} T^{-2}]$.
આમ, $K$ ના પરિમાણો $ML^4T^{-2}$ છે.

(D) સમીકરણ $x(t) = \frac{v_0}{A}(1 - e^{-At})$ માં, ઘાતાંકીય વિધેયનો ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ. તેથી, $At$ ના પરિમાણો $[M^0 L^0 T^0]$ હોવા જોઈએ.
કારણ કે $[t] = [T]$, આપણી પાસે $[A][T] = [1]$ છે, જેનો અર્થ છે કે $[A] = [T^{-1}] = [M^0 L^0 T^{-1}]$.
આગળ, પદ $(1 - e^{-At})$ પરિમાણરહિત છે. આમ, $x$ ના પરિમાણો $\frac{v_0}{A}$ ના પરિમાણો જેટલા હોવા જોઈએ.
$[x] = \frac{[v_0]}{[A]} \implies [L] = \frac{[v_0]}{[T^{-1}]}$.
તેથી, $[v_0] = [L][T^{-1}] = [M^0 LT^{-1}]$.
આમ, $v_0$ અને $A$ ના પરિમાણો અનુક્રમે $[M^0 LT^{-1}]$ અને $[M^0 L^0 T^{-1}]$ છે.

(B) સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta = \frac{F dr}{A dv} = \frac{[MLT^{-2}][L]}{[L^2][LT^{-1}]} = [ML^{-1}T^{-1}]$. તેથી, $A-IV$.
$(B)$ પૃષ્ઠતાણ $S = \frac{F}{L} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L]} = [MT^{-2}]$ અથવા $[ML^0T^{-2}]$. તેથી, $B-III$.
$(C)$ દબાણ $P = \frac{F}{A} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$. તેથી, $C-I$.
$(D)$ પૃષ્ઠ ઊર્જા $E = S \times A = [MT^{-2}][L^2] = [ML^2T^{-2}]$. તેથી, $D-II$.
આમ, સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-I, D-II$ છે.

(A) રાશિ $\frac{B^2}{2\mu_0}$ એ ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $(u_B)$ દર્શાવે છે, જે એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ઉર્જા $(E)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
કદ $(V)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^3]$ છે.
તેથી, ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ થાય છે.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ એ ક્રિયા (action) ના પરિમાણો ધરાવે છે, જે ઉર્જા અને સમયના ગુણાકાર $(E \times t)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ઉર્જાનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે અને સમયનો એકમ સેકન્ડ $(s)$ છે, તેથી પ્લાન્ક અચળાંકનો એકમ $J \cdot s$ થાય છે.
કોણીય વેગમાન $(L)$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ અને કોણીય વેગ $(\omega)$ નો ગુણાકાર છે, અથવા $L = mvr$ છે.
કોણીય વેગમાનના પરિમાણો $[M L^2 T^{-1}]$ છે, જે પ્લાન્ક અચળાંકના પરિમાણો સાથે સમાન છે.
તેથી, પ્લાન્ક અચળાંક અને કોણીય વેગમાન બંનેના $SI$ એકમ સમાન છે, જે $kg \cdot m^2/s$ અથવા $J \cdot s$ છે.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) પદ $\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા દર્શાવે છે, જે એકમ કદ દીઠ ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[ML^2 T^{-2}]$.
કદનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[L^3]$.
તેથી, ઉર્જા ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર = $\frac{[ML^2 T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1} T^{-2}]$.
આને $[M^a L^b T^c]$ સાથે સરખાવતા, આપણને $a = 1$, $b = -1$, અને $c = -2$ મળે છે.
હવે, $2a - b + c$ નું મૂલ્ય ગણતા:
$2(1) - (-1) + (-2) = 2 + 1 - 2 = 1$.

(B) સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1}L^3T^{-2}]$ છે.
પ્લાન્ક અચળાંક $h$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-1}]$ છે.
આપણે $G$ ને $h, L, M, T$ ના પદોમાં દર્શાવવું છે. ધારો કે $G = h^a L^b M^c T^d$.
પરિમાણો મૂકતા: $[M^{-1}L^3T^{-2}] = [ML^2T^{-1}]^a [L]^b [M]^c [T]^d$.
$[M^{-1}L^3T^{-2}] = M^a L^{2a} T^{-a} \cdot L^b \cdot M^c \cdot T^d = M^{a+c} L^{2a+b} T^{-a+d}$.
બંને બાજુ $M, L, T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$a + c = -1$ $(1)$
$2a + b = 3$ $(2)$
$-a + d = -2$ $(3)$
વિકલ્પ $(B)$ ચકાસતા: $a = 1, b = 1, c = -2, d = -1$.
$(1)$ પરથી: $1 + (-2) = -1$ (સાચું).
$(2)$ પરથી: $2(1) + 1 = 3$ (સાચું).
$(3)$ પરથી: $-1 + (-1) = -2$ (સાચું).
તેથી, $G = h^1 L^1 M^{-2} T^{-1}$, જે $[hT^{-1}LM^{-2}]$ થાય છે.

(A) સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma_s$ નું સૂત્ર $\sigma_s = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^2}$ છે, જ્યાં $k_B$ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે, $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $c$ પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપણે $\sigma_s k_B^{-1}$ ના પરિમાણો શોધવાના છે.
સૂત્ર પરથી, $\sigma_s k_B^{-1} = \frac{2\pi^5 k_B^3}{15 h^3 c^2}$.
પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[k_B] = [M L^2 T^{-2} K^{-1}]$
$[h] = [M L^2 T^{-1}]$
$[c] = [L T^{-1}]$
આ પરિમાણો મૂકતા:
$[\sigma_s k_B^{-1}] = \frac{[M L^2 T^{-2} K^{-1}]^3}{[M L^2 T^{-1}]^3 [L T^{-1}]^2} = [L^{-2} T^{-1} K^{-3}]$.