Fundamental integration Questions in Hindi

(B) हम जानते हैं कि $1 + \sin x = \sin^2(x/2) + \cos^2(x/2) + 2 \sin(x/2) \cos(x/2) = (\sin(x/2) + \cos(x/2))^2$ है।
अतः, $\sqrt{1 + \sin x} = |\sin(x/2) + \cos(x/2)|$ है।
उस अंतराल को मानते हुए जहाँ $\sin(x/2) + \cos(x/2) > 0$ है, हमारे पास $\int (\sin(x/2) + \cos(x/2)) \, dx$ है।
$= -2 \cos(x/2) + 2 \sin(x/2) = 2(\sin(x/2) - \cos(x/2))$ है।
$\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta - \pi/4) = -\sqrt{2} \cos(\theta + \pi/4)$ का उपयोग करने पर।
अतः, $2(\sin(x/2) - \cos(x/2)) = -2\sqrt{2} \cos(x/2 + \pi/4)$ है।
इसे $-4 \cos(ax + b)$ के साथ तुलना करने पर, हम पाते हैं कि $a=1/2$ और $b=\pi/4$ है।

(A) चरण $1$: सर्वसमिका $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$ का उपयोग करें।
$\int \cot^4 x \, dx = \int \cot^2 x (\csc^2 x - 1) \, dx$
चरण $2$: समाकलन का विस्तार करें।
$= \int \cot^2 x \csc^2 x \, dx - \int \cot^2 x \, dx$
चरण $3$: दूसरे समाकलन में $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$ प्रतिस्थापित करें।
$= \int \cot^2 x \csc^2 x \, dx - \int (\csc^2 x - 1) \, dx$
चरण $4$: समाकलन करें। पहले भाग के लिए, $u = \cot x$ लें, तब $du = -\csc^2 x \, dx$ होगा।
$= -\frac{\cot^3 x}{3} - (-\cot x - x) + c$
$= -\frac{\cot^3 x}{3} + \cot x + x + c$

(B) मानक समाकल $\int \frac{1}{Ax^2+B} dx = \frac{1}{\sqrt{AB}} \tan^{-1} \left(x \sqrt{\frac{A}{B}}\right) + c$ है।
दिया है $\int \frac{1}{ax^2+b} dx = \frac{1}{\sqrt{ab}} \tan^{-1} \left(x \sqrt{\frac{a}{b}}\right) + c = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \left(x \sqrt{\frac{2}{3}}\right) + c$।
तुलना करने पर, $\sqrt{ab} = \sqrt{6} \implies ab = 6$ और $\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \implies \frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
$ab=6$ और $a = \frac{2b}{3}$ को हल करने पर, $(\frac{2b}{3})b = 6 \implies b^2 = 9 \implies b = 3$ और $a = 2$ प्राप्त होता है।
अब, $\int \frac{1}{bx^2+a} dx = \int \frac{1}{3x^2+2} dx = \frac{1}{\sqrt{3 \cdot 2}} \tan^{-1} \left(x \sqrt{\frac{3}{2}}\right) + c = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{2}}\right) + c$।

(D) दिया गया है $\int f'(x) e^{x^2} dx = (x - 1) e^{x^2} + k$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) e^{x^2} = \frac{d}{dx} [(x - 1) e^{x^2}]$
$f'(x) e^{x^2} = (1) e^{x^2} + (x - 1) e^{x^2} (2x)$
$f'(x) e^{x^2} = e^{x^2} [1 + 2x^2 - 2x]$
$f'(x) = 2x^2 - 2x + 1$
$f'(x)$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = \int (2x^2 - 2x + 1) dx$
$f(x) = \frac{2x^3}{3} - x^2 + x + c$
अतः, विकल्प $D$ सही है।

(A) हम जानते हैं कि $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ होता है।
माना $a = \sin^2 x$ और $b = \cos^2 x$ है। तब $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$ होगा।
चूँकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ है, इसलिए $\sin^6 x + \cos^6 x = \sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x$ होगा।
$2 \sin^2 x \cos^2 x$ जोड़ने और घटाने पर, हमें $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
अब, समाकलन $\int \frac{1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx = \int (\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} - 3) dx$ हो जाता है।
$1 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2$ का उपयोग करने पर, हमें $\int (\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} - 3) dx = \int (\sec^2 x + \csc^2 x - 3) dx$ प्राप्त होता है।
पद-दर-पद समाकलन करने पर, हमें $\tan x - \cot x - 3x + c$ प्राप्त होता है।

(D) भागफल नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष $\frac{u^2}{2v^2}$ का अवकलज ज्ञात कीजिए:
$\frac{d}{dx} (\frac{u^2}{2v^2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2 \frac{d}{dx}(u^2) - u^2 \frac{d}{dx}(v^2)}{(v^2)^2}$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2 (2u \frac{du}{dx}) - u^2 (2v \frac{dv}{dx})}{v^4}$
$= \frac{v^2 u \frac{du}{dx} - u^2 v \frac{dv}{dx}}{v^4}$
$= \frac{v(uv \frac{du}{dx} - u^2 \frac{dv}{dx})}{v^4}$
$= \frac{uv \frac{du}{dx} - u^2 \frac{dv}{dx}}{v^3}$
चूंकि $\frac{u^2}{2v^2}$ का अवकलज समाकल्य (integrand) है, इसलिए समाकलन $\frac{u^2}{2v^2} + c$ है।

(A) त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\sin 4x \cos 3x = \frac{1}{2} [\sin(4x+3x) + \sin(4x-3x)] = \frac{1}{2} [\sin 7x + \sin x]$
अब, व्यंजक का समाकलन करने पर:
$\int \sin 4x \cos 3x \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 7x + \sin x) \, dx$
$= \frac{1}{2} [-\frac{\cos 7x}{7} - \cos x] + c$
$= -\frac{1}{14} \cos 7x - \frac{1}{2} \cos x + c$

(B) चरण $1$: $e^{\log a} = a$ गुणधर्म का उपयोग करके समाकल्य को सरल करें। हमारे पास $e^{-x \log 2} = (e^{\log 2})^{-x} = 2^{-x}$ है।
चरण $2$: इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करें: $\int 2^{-x} \cdot 2^x dx$।
चरण $3$: गुणनफल को सरल करें: $\int 2^{-x+x} dx = \int 2^0 dx = \int 1 dx$।
चरण $4$: $x$ के सापेक्ष समाकलन करें: $\int 1 dx = x + C$।