Area bounded by region of single curve Questions in Gujarati

(D) ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{4\pi} x |\sin(\frac{x}{2})| dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x \in [0, 2\pi]$ માટે $\sin(\frac{x}{2}) \ge 0$ અને $x \in [2\pi, 4\pi]$ માટે $\sin(\frac{x}{2}) \le 0$ છે, તેથી:
$A = \int_{0}^{2\pi} x \sin(\frac{x}{2}) dx + \int_{2\pi}^{4\pi} x (-\sin(\frac{x}{2})) dx$.
ખંડશઃ સંકલન $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $u=x, dv=\sin(\frac{x}{2})dx$:
$\int x \sin(\frac{x}{2}) dx = -2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{0}^{2\pi} = (-2(2\pi)(-1) + 0) - (0) = 4\pi$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $-[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{2\pi}^{4\pi} = -[(-2(4\pi)(1) + 0) - (-2(2\pi)(-1) + 0)] = -[-8\pi - 4\pi] = 12\pi$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi + 12\pi = 16\pi$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $y^2 = 4(1 - x^2)$, જેનો અર્થ છે $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$.
આ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું સમીકરણ છે જ્યાં $a = 1$ અને $b = 2$ છે.
વક્ર $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ એ ઉપવલયનો ઉપરનો અડધો ભાગ દર્શાવે છે.
આખા ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi ab = \pi(1)(2) = 2\pi$ છે.
વક્ર અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ ઉપવલયના ઉપરના અડધા ભાગનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2\pi = \pi \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) પ્રદેશ $y = x^3$, $y = 8$ અને $x = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા, આપણને $x = y^{1/3}$ મળે છે.
$y = x^3$ અને $y = 8$ નું છેદબિંદુ $x^3 = 8$ પર મળે છે, જે $x = 2$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = 8$ સુધી $y$ ની સાપેક્ષે $x$ નું સંકલન છે:
$A = \int_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
$A = \left[ \frac{y^{4/3}}{4/3} \right]_{0}^{8}$
$A = \frac{3}{4} [8^{4/3} - 0^{4/3}]$
$A = \frac{3}{4} [(2^3)^{4/3}] = \frac{3}{4} [2^4] = \frac{3}{4} \times 16 = 12$ ચોરસ એકમ.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} 2^{kx} dx = \frac{2}{\ln 2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્ર $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\int_{0}^{2} 2^{kx} dx = \left[ \frac{2^{kx}}{k \ln 2} \right]_{0}^{2}$ મળે છે.
સીમાઓ મૂકતા: $\frac{1}{k \ln 2} (2^{2k} - 2^0) = \frac{2}{\ln 2}$.
$\frac{2^{2k} - 1}{k} = 2$.
$2^{2k} - 1 = 2k$.
નિરીક્ષણ દ્વારા, જો $k = 1/2$ હોય, તો $2^{2(1/2)} - 1 = 2^1 - 1 = 1$ અને $2k = 2(1/2) = 1$ થાય છે.
આમ $1 = 1$ હોવાથી, $k$ ની કિંમત $\frac{1}{2}$ છે.

(A) વક્રનું સમીકરણ $x^2 = by$ છે, જેનો અર્થ છે $x = \sqrt{b} \sqrt{y}$ (કારણ કે તે પ્રથમ ચરણમાં છે).
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 1$ થી $y = 4$ સુધી $y$ ની સાપેક્ષમાં $x$ નું સંકલન છે:
$A = \int_{1}^{4} \sqrt{b} \sqrt{y} \, dy = 28$
$\sqrt{b} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy = 28$
$\sqrt{b} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = 28$
$\sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}] = 28$
$\sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [8 - 1] = 28$
$\sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} \cdot 7 = 28$
$\sqrt{b} = \frac{28 \cdot 3}{14} = 2 \cdot 3 = 6$
$b = 6^2 = 36$।

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x < 4$ માટે $|x - 4| = -(x - 4)$ અને $x \ge 4$ માટે $|x - 4| = (x - 4)$ થાય છે, તેથી આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$.
પ્રથમ ભાગની ગણતરી: $\int_{3}^{4} (-x + 4) \, dx = [-\frac{x^2}{2} + 4x]_{3}^{4} = (-8 + 16) - (-4.5 + 12) = 8 - 7.5 = 0.5$.
બીજા ભાગની ગણતરી: $\int_{4}^{5} (x - 4) \, dx = [\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 0.5 + 0.5 = 1$ ચોરસ એકમ.

(A) પગલું $1$: સમીકરણ $2x - y + 1 = 0$ માંથી $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો. આપણને $2x = y - 1$ મળે છે, તેથી $x = \frac{y - 1}{2}$.
પગલું $2$: વક્ર $x = f(y)$, $y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y = c$ તથા $y = d$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{c}^{d} |x| \, dy$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $3$: સીમાઓ $y = -1$ થી $y = 3$ મૂકતા: $A = \int_{-1}^{3} |\frac{y - 1}{2}| \, dy$.
પગલું $4$: પદ $\frac{y - 1}{2}$ એ $y = 1$ પર ચિહ્ન બદલે છે. તેથી, $A = \int_{-1}^{1} -(\frac{y - 1}{2}) \, dy + \int_{1}^{3} (\frac{y - 1}{2}) \, dy$.
પગલું $5$: સંકલનની ગણતરી કરો: $\frac{1}{2} [-( \frac{y^2}{2} - y )]_{-1}^{1} + \frac{1}{2} [ \frac{y^2}{2} - y ]_{1}^{3} = \frac{1}{2} [-( (\frac{1}{2} - 1) - (\frac{1}{2} + 1) )] + \frac{1}{2} [ (\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1) ] = \frac{1}{2} [ -(-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}) ] + \frac{1}{2} [ \frac{3}{2} - (-\frac{1}{2}) ] = \frac{1}{2} [2] + \frac{1}{2} [2] = 1 + 1 = 2$ ચોરસ એકમ.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -2$ થી $x = 4$ સુધી $|y|$ નું $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન છે.
$A = \int_{-2}^{4} |x| \, dx$
કારણ કે $x < 0$ માટે $|x| = -x$ અને $x \ge 0$ માટે $|x| = x$ થાય છે, તેથી આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{-2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{4} x \, dx$
$A = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$A = (0 - (-\frac{(-2)^2}{2})) + (\frac{4^2}{2} - 0)$
$A = (0 - (-2)) + (8 - 0)$
$A = 2 + 8 = 10 \text{ ચોરસ એકમ}$।

(B) ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-2}^{1} |x^3 + ax| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $y = x^3 + ax = x(x^2 + a)$ અને $a > 0$ છે, વક્ર અંતરાલ $[-2, 1]$ માં માત્ર $x = 0$ આગળ $x$-અક્ષને છેદે છે.
$x \in [-2, 0]$ માટે, $x^3 + ax \le 0$, તેથી $|x^3 + ax| = -(x^3 + ax)$।
$x \in [0, 1]$ માટે, $x^3 + ax \ge 0$, તેથી $|x^3 + ax| = x^3 + ax$।
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{0} -(x^3 + ax) \, dx + \int_{0}^{1} (x^3 + ax) \, dx = \frac{37}{4}$।
સંકલન કરતા: $-[\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{-2}^{0} + [\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{37}{4}$।
$-(0 - (4 + 2a)) + (\frac{1}{4} + \frac{a}{2}) = \frac{37}{4}$।
$4 + 2a + \frac{1}{4} + \frac{a}{2} = \frac{37}{4}$।
$\frac{5a}{2} = \frac{37}{4} - \frac{17}{4} = \frac{20}{4} = 5$।
$a = 2$।

(A) પગલું $1$: $y = 0$ લઈને $X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધો.
$2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0$।
તેથી, $x = 0$ અને $x = 2$ મળે છે.
પગલું $2$: ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $3$: સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$।
પગલું $4$: સીમાઓ મૂકતા: $\left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - (0 - 0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$।

(A) આપેલ વક્ર $y = 4x^2$ છે, જેને $x$ ના સ્વરૂપમાં $x = \sqrt{\frac{y}{4}} = \frac{\sqrt{y}}{2}$ લખી શકાય.
પ્રથમ ચરણમાં $Y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y = 2$ તથા $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$.
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{2}^{4}$.
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}] = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ વક્ર $y = \sqrt{16 - x^2}$ છે, જે $x^2 + y^2 = 4^2$ ના ઉપરના અર્ધ-વર્તુળને દર્શાવે છે જેની ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
આપણે $x = 0$ અને $x = 4$ ની વચ્ચે $X$-અક્ષની ઉપર ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
આ પ્રદેશ $r = 4$ વાળા વર્તુળનો ચોથો ભાગ છે.
આખા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi(4)^2 = 16\pi$ છે.
તેથી, માંગેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{4} \times 16\pi = 4\pi$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) આપેલ વક્ર $y^2 = x^3$ છે, જેને આપણે $x = y^{2/3}$ તરીકે લખી શકીએ.
વક્ર, $y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y = 1$ તથા $y = 8$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{8} x \, dy = \int_{1}^{8} y^{2/3} \, dy$
$y^{2/3}$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$A = \left[ \frac{y^{(2/3) + 1}}{(2/3) + 1} \right]_{1}^{8} = \left[ \frac{y^{5/3}}{5/3} \right]_{1}^{8} = \left[ \frac{3}{5} y^{5/3} \right]_{1}^{8}$
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$A = \frac{3}{5} [8^{5/3} - 1^{5/3}]$
કારણ કે $8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$ અને $1^{5/3} = 1$:
$A = \frac{3}{5} [32 - 1] = \frac{3}{5} \times 31 = \frac{93}{5} \text{ ચોરસ એકમ}$।