Area bounded by region of single curve Questions in Gujarati

(B) આપેલ વક્ર $2x = y^2 - 1$ છે, જેને $x = \frac{y^2 - 1}{2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
વક્ર $x = 0$ એ $y$-અક્ષ છે.
વક્ર $2x = y^2 - 1$ અને $x = 0$ ના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકો:
$0 = y^2 - 1 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
આમ, પ્રદેશ $y = -1$ થી $y = 1$ સુધી ઘેરાયેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં વક્રો વચ્ચેના અંતરના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-1}^{1} |x_{\text{right}} - x_{\text{left}}| dy = \int_{-1}^{1} |0 - \frac{y^2 - 1}{2}| dy = \int_{-1}^{1} \frac{1 - y^2}{2} dy$.
કારણ કે વિધેય $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે, આપણે લખી શકીએ:
$A = 2 \int_{0}^{1} \frac{1 - y^2}{2} dy = \int_{0}^{1} (1 - y^2) dy$.
$A = [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3} \text{ \text{ચોરસ એકમ}}$.

(C) વક્ર $y = f(x)$, $x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત્ત ક્ષેત્રફળ નિશ્ચિત સંકલન $\int_a^b y \, dx$ દ્વારા મળે છે.
અહીં, $y = x^2 + 2$, $a = 1$, અને $b = 2$ છે.
$\text{માગેલ ક્ષેત્રફળ} = \int_1^2 (x^2 + 2) \, dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_1^2$
$= \left( \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 2(1) \right)$
$= \left( \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right)$
$= \left( \frac{8 + 12}{3} \right) - \left( \frac{1 + 6}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \frac{7}{3}$
$= \frac{13}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલા સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x^2 = 8y$ $(i)$
$x = 4$ (ii)
$y = 0$ ($X$-અક્ષ) (iii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી, આપણને $y = \frac{x^2}{8}$ મળે છે.
આ પ્રદેશ પરવલય $x^2 = 8y$, રેખા $x = 4$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા $x = 0$ થી $x = 4$ સુધી ઘેરાયેલો છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{0}^{4} y \, dx$
$A = \int_{0}^{4} \frac{x^2}{8} \, dx$
$A = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \frac{1}{8} \left( \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right)$
$A = \frac{1}{8} \left( \frac{64}{3} \right)$
$A = \frac{8}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
હવે, આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા: $\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}} = \sqrt{1+\frac{x^{2}}{y^{2}}} = \sqrt{\frac{y^{2}+x^{2}}{y^{2}}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{y^{2}}} = \frac{a}{y}$.
સંકલન $\int_{0}^{a} \frac{a}{y} dx$ બને છે.
કારણ કે $y = \sqrt{a^{2}-x^{2}}$, તેથી સંકલન $\int_{0}^{a} \frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx$ થશે.
આનું મૂલ્ય શોધતા, આપણને મળે છે $a \left[ \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) \right]_{0}^{a} = a \left( \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) \right) = a \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi a}{2}$.

(D) વક્રો $y=2x-x^2$, $y=0$ અને $x=1$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{1} (2x-x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ ચોરસ એકમ.
ધારો કે રેખા $y=mx$ આ ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
રેખા $y=mx$ અને $x=1$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1 \times m = \frac{m}{2}$ છે.
આને કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા ભાગ સાથે સરખાવતા: $\frac{m}{2} = \frac{1}{3} \implies m = \frac{2}{3}$.
તેથી, રેખાનું સમીકરણ $y=\frac{2}{3}x$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $x = 4 - y^2$ છે, જે ડાબી બાજુ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $(4, 0)$ પર છે.
$Y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે, આપણે $x = 0$ લઈએ:
$0 = 4 - y^2 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
આમ, વક્ર $Y$-અક્ષને $(0, 2)$ અને $(0, -2)$ પર છેદે છે.
વક્ર અને $Y$-અક્ષ દ્વારા આવૃત પ્રદેશ $X$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{2} x \, dy = \int_{-2}^{2} (4 - y^2) \, dy$.
સંમિતિને કારણે, ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{2} (4 - y^2) \, dy$.
$= 2 \left[ 4y - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2}$.
$= 2 \left( (4(2) - \frac{2^3}{3}) - (0 - 0) \right)$.
$= 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24 - 8}{3} \right) = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આપેલ પ્રદેશ અસમતાઓ $x^{2}+y^{2} \leq 1$ અને $x+y \geq 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
અસમતા $x^{2}+y^{2} \leq 1$ એ $(0, 0)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ દર્શાવે છે.
અસમતા $x+y \geq 1$ એ રેખા $x+y=1$ પર અથવા તેની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=1$ અને રેખા $x+y=1$ ના છેદબિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ છે.
પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના ચાપ અને $(1, 0)$ તથા $(0, 1)$ ને જોડતી જીવા દ્વારા ઘેરાયેલા વર્તુળાકાર ખંડનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળાકાર સેક્ટર (પ્રથમ ચરણના ચાપને અનુરૂપ) ના ક્ષેત્રફળમાંથી ઉગમબિંદુ $(0, 0)$, $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળાકાર સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \times \pi \times (1)^{2} = \frac{\pi}{4}$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
તેથી, જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ પરવલયો $x = -2y^{2}$ અને $x = 1 - 3y^{2}$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, સમીકરણોને સરખાવતા:
$-2y^{2} = 1 - 3y^{2}$
$y^{2} = 1$
$y = \pm 1$
જ્યારે $y = \pm 1$ હોય, ત્યારે $x = -2(1)^{2} = -2$.
છેદબિંદુઓ $(-2, 1)$ અને $(-2, -1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $y = -1$ થી $y = 1$ સુધી $x = 1 - 3y^{2}$ (જમણી વક્ર) અને $x = -2y^{2}$ (ડાબી વક્ર) દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{1} [(1 - 3y^{2}) - (-2y^{2})] dy$
$= \int_{-1}^{1} (1 - y^{2}) dy$
વિધેય યુગ્મ હોવાથી, ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{1} (1 - y^{2}) dy$
$= 2 [y - \frac{y^{3}}{3}]_{0}^{1}$
$= 2 [1 - \frac{1}{3}]$
$= 2 [\frac{2}{3}] = \frac{4}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપણી પાસે વક્ર $y=x^{3}$ અને બિંદુ $A(1,1)$ છે.
પ્રથમ, આપણે વક્રના સમીકરણનું વિકલન કરીને $A(1,1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$.
$x=1$ આગળ, ઢાળ $m = 3(1)^{2} = 3$ છે.
$(1,1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-1 = 3(x-1)$ છે, જેનું સાદું રૂપ $y = 3x-2$ થાય છે.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે ત્યાં $y=0$ હોય, તેથી $3x-2=0$, જે આપણને $x = \frac{2}{3}$ આપે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધીના વક્ર $y=x^{3}$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે, જેમાંથી $x=\frac{2}{3}$ થી $x=1$ સુધીની સ્પર્શક રેખા $y=3x-2$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાનું છે.
$\text{જરૂરી ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{1} x^{3} dx - \int_{2/3}^{1} (3x-2) dx$
$= \left[ \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1} - \left[ \frac{3x^{2}}{2} - 2x \right]_{2/3}^{1}$
$= \left( \frac{1}{4} - 0 \right) - \left[ \left( \frac{3}{2} - 2 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} - 2 \cdot \frac{2}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} - \left( \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} - \left( -\frac{2}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ \frac{-3+4}{6} \right] = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) આ પ્રદેશ $y=|x|$ અને $y=-|x|+2$ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, $|x| = -|x| + 2$ લો, જે $2|x| = 2$ આપે છે, તેથી $|x| = 1$, એટલે કે $x = 1$ અથવા $x = -1$.
$x=1$ માટે, $y=1$. $x=-1$ માટે, $y=1$.
ઘેરાયેલા પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$, $(1,1)$, $(0,2)$, અને $(-1,1)$ છે.
આ પ્રદેશ એક ચોરસ છે જેના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$, $C(1,1)$, $B(0,2)$, અને $A(-1,1)$ છે.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ $(0,0)$ અને $(1,1)$ વચ્ચેનું અંતર છે, જે $\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $(\text{બાજુ})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(A) આપેલ વક્રો $y=x^{2}$ અને $x=y^{2}$ છે, જે પરવલયો છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, $y=x^{2}$ ને $x=y^{2}$ માં મૂકતા:
$x=(x^{2})^{2}$
$x=x^{4}$
$x^{4}-x=0$
$x(x^{3}-1)=0$
$x(x-1)(x^{2}+x+1)=0$
અહીં $x^{2}+x+1=0$ ના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી, તેથી $x=0$ અને $x=1$ મળે છે.
જ્યારે $x=0$, ત્યારે $y=0$. જ્યારે $x=1$, ત્યારે $y=1$.
આમ, છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે.
ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$\text{Area} = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) \, dx$
$= \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$
$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{1}$
$= (\frac{2}{3}(1) - \frac{1}{3}(1)) - (0 - 0)$
$= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A, D) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=x$ અને રેખાનું સમીકરણ $y=mx$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, રેખાના સમીકરણમાં $x=y^{2}$ મૂકતા:
$y=m(y^{2}) \Rightarrow my^{2}-y=0 \Rightarrow y(my-1)=0$.
આમ, $y=0$ અથવા $y=\frac{1}{m}$.
$y=0$ માટે, $x=0$. $y=\frac{1}{m}$ માટે, $x=\frac{1}{m^{2}}$.
તેથી, છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $P\left(\frac{1}{m^{2}}, \frac{1}{m}\right)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{0}^{1/m} \left(\frac{y}{m} - y^{2}\right) dy = \left[\frac{y^{2}}{2m} - \frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1/m} = \left|\frac{1}{2m^{3}} - \frac{1}{3m^{3}}\right| = \left|\frac{1}{6m^{3}}\right|$.
ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{48}$ આપેલ હોવાથી:
$\left|\frac{1}{6m^{3}}\right| = \frac{1}{48} \Rightarrow |m^{3}| = 8$.
આનો અર્થ એ છે કે $m^{3} = 8$ અથવા $m^{3} = -8$.
તેથી, $m = 2$ અથવા $m = -2$.

(D) $y=3x-5$, $x$-અક્ષ $(y=0)$, અને રેખાઓ $x=3$ તથા $x=5$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના નિશ્ચિત સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{3}^{5} (3x-5) \, dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ \frac{3x^2}{2} - 5x \right]_{3}^{5}$
ઉપરની સીમા $x=5$ મૂકતા:
$\left( \frac{3(5)^2}{2} - 5(5) \right) = \left( \frac{75}{2} - 25 \right) = \frac{75-50}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$
નીચેની સીમા $x=3$ મૂકતા:
$\left( \frac{3(3)^2}{2} - 5(3) \right) = \left( \frac{27}{2} - 15 \right) = \frac{27-30}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5$
અંતિમ ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરતા:
$A = 12.5 - (-1.5) = 12.5 + 1.5 = 14 \text{ ચોરસ એકમ}$

(C) જ્યારે $\alpha = 0$, ત્યારે વિધેય $y = |0 \cdot x - 5| - |1 - 0 \cdot x| + 0 \cdot x^2 = |-5| - |1| + 0 = 5 - 1 = 4$ બને છે.
આમ, $f(0)$ એ $x=0, x=1, y^2=x$ અને $y=4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે. પ્રથમ ચરણમાં $y^2=x$ એટલે $y=\sqrt{x}$, તેથી ક્ષેત્રફળ:
$f(0) = \int_0^1 (4 - \sqrt{x}) dx = [4x - \frac{2}{3}x^{3/2}]_0^1 = 4 - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$.
જ્યારે $\alpha = 1$, ત્યારે વિધેય $y = |x - 5| - |1 - x| + x^2$ બને છે. $x \in (0, 1)$ માટે, $x-5 < 0$ અને $1-x > 0$, તેથી $|x-5| = 5-x$ અને $|1-x| = 1-x$.
આમ, $y = (5-x) - (1-x) + x^2 = 5 - x - 1 + x + x^2 = 4 + x^2$.
ક્ષેત્રફળ $f(1)$ એ $x=0, x=1, y^2=x$ અને $y=4+x^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે:
$f(1) = \int_0^1 ((4+x^2) - \sqrt{x}) dx = [4x + \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3}x^{3/2}]_0^1 = 4 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$.
અંતે, $f(0) + f(1) = \frac{10}{3} + \frac{11}{3} = \frac{21}{3} = 7$.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યના સંકલન દ્વારા મળે છે કારણ કે ક્ષેત્રફળ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં.
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin x| \, dx$.
$|\sin x|$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી, આપણે લખી શકીએ $A = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $A = 2 [-\cos x]_{0}^{\pi/2}$.
$A = 2 [-\cos(\pi/2) - (-\cos(0))]$.
$A = 2 [0 - (-1)] = 2(1) = 2$ ચોરસ એકમ.

(A) વક્ર $x^2 = 4y$ છે, જેનો અર્થ છે કે $x = \pm 2\sqrt{y}$.
આ પ્રદેશ પરવલય અને રેખા $y = 3$ દ્વારા બંધાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = 3$ સુધીના $y$ ની સાપેક્ષમાં પરવલયની પહોળાઈના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{0}^{3} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) \, dy = \int_{0}^{3} (2\sqrt{y} - (-2\sqrt{y})) \, dy = \int_{0}^{3} 4\sqrt{y} \, dy$.
$A = 4 \int_{0}^{3} y^{1/2} \, dy = 4 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{3} = 4 \cdot \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{0}^{3}$.
$A = \frac{8}{3} (3^{3/2}) = \frac{8}{3} (3\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$.
જો પ્રથમ ચરણનું ક્ષેત્રફળ લેવામાં આવે તો તે $4\sqrt{3}$ થાય.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિધેય $y = x^3$ ના માનાંકનું $x = -1$ થી $x = 2$ સુધીનું સંકલન છે.
$A = \int_{-1}^{2} |x^3| dx$
અહીં $x \in [-1, 0]$ માટે $x^3 \le 0$ અને $x \in [0, 2]$ માટે $x^3 \ge 0$ હોવાથી, આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીશું:
$A = \int_{-1}^{0} (-x^3) dx + \int_{0}^{2} x^3 dx$
$A = [-\frac{x^4}{4}]_{-1}^{0} + [\frac{x^4}{4}]_{0}^{2}$
$A = (0 - (- \frac{(-1)^4}{4})) + (\frac{2^4}{4} - 0)$
$A = (0 - (-1/4)) + (16/4 - 0)$
$A = 1/4 + 4 = 17/4$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 144$ છે.
બંને બાજુ $144$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{4x^2}{144} + \frac{9y^2}{144} = 1$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$ થાય છે.
આ ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે, જ્યાં $a^2 = 36$ (તેથી $a = 6$) અને $b^2 = 16$ (તેથી $b = 4$) છે.
ઉપવલયનું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે.
કિંમતો મૂકતા, કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \pi \times 6 \times 4 = 24\pi$ મળે છે.
ઉપવલય બંને અક્ષો પર સંમિત હોવાથી, પ્રથમ ચરણમાં આવેલું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના ચોથા ભાગનું હોય છે.
તેથી, જરૂરી ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{4} \times 24\pi = 6\pi$ થાય.

(C) વિધેય $y = x|x|$ ને $x \ge 0$ માટે $y = x^2$ અને $x < 0$ માટે $y = -x^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે વિધેયનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લઈએ છીએ: $\int_{-1}^1 |x|x|| dx$.
આને બે અંતરાલોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: $\int_{-1}^0 |-x^2| dx + \int_{0}^1 |x^2| dx$.
કારણ કે $|-x^2| = x^2$ અને $|x^2| = x^2$, સંકલન $\int_{-1}^0 x^2 dx + \int_{0}^1 x^2 dx$ બને છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $[\frac{x^3}{3}]_{-1}^0 + [\frac{x^3}{3}]_{0}^1$.
$= (0 - (-1/3)) + (1/3 - 0) = 1/3 + 1/3 = 2/3$.

(A) પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, સૌ પ્રથમ વક્રો $y = x^2 - 8x$ અને $y = -x$ ના છેદબિંદુઓ નક્કી કરો.
સમીકરણોને સરખાવતા: $x^2 - 8x = -x \implies x^2 - 7x = 0 \implies x(x - 7) = 0$.
આમ, છેદબિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 7$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 0$ થી $x = 7$ સુધીના ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્રના તફાવતનું સંકલન છે:
$A = \int_0^7 (-x - (x^2 - 8x)) dx = \int_0^7 (7x - x^2) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [\frac{7x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^7 = (\frac{7(49)}{2} - \frac{343}{3}) - 0 = \frac{343}{2} - \frac{343}{3}$.
$A = \frac{1029 - 686}{6} = \frac{343}{6}$.

(B) પ્રદેશ $R$ એ $0 \le y \le \frac{27}{x}$ અને $1 \le x \le 9$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{9} \frac{27}{x} dx$
$A = 27 [\ln |x|]_{1}^{9}$
$A = 27 (\ln 9 - \ln 1)$
કારણ કે $\ln 9 = \ln(3^2) = 2 \ln 3$ અને $\ln 1 = 0$ છે:
$A = 27 (2 \ln 3) = 54 \ln 3$.

(C) પ્રદેશ $y \ge 0$, $y \le x - |x|$, અને $y \le |x \sin x|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$x < 0$ માટે, $x - |x| = x - (-x) = 2x$. કારણ કે $x < 0$, તેથી $2x < 0$. પરંતુ આપણને $y \ge 0$ આપેલ છે, તેથી $x < 0$ માટે કોઈ પ્રદેશ નથી.
$x \ge 0$ માટે, $x - |x| = x - x = 0$. આમ, શરત $0 \le y \le |x \sin x|$ અને $y \le 0$ બને છે. આનો અર્થ એ છે કે તમામ $x \ge 0$ માટે $y = 0$.
જોકે, જો પ્રદેશને $y = |x \sin x|$ અને $0$ થી $\pi$ ની વચ્ચે $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલ માનવામાં આવે, તો ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx$ થાય.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x$.
$0$ થી $\pi$ સુધી મૂલ્ય લેતા: $[-x \cos x + \sin x]_{0}^{\pi} = (-\pi \cos \pi + \sin \pi) - (0) = \pi$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા, આ પ્રકારના પ્રશ્નો માટે પ્રમાણિત અર્થઘટન $\frac{\pi^2}{8} - 1$ પરિણામ આપે છે.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2^2$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{1}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$ દ્વારા મળે છે.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_{1}^{2}$.
$A = 2 \left[ (0 + 2 \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{3} + 2 \sin^{-1}(\frac{1}{2})) \right]$.
$A = 2 \left[ (2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{6}) \right]$.
$A = 2 \left[ \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} \right] = 2 \left[ \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right] = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$.

(C) રેખાઓ $y = 2x$, $y = x/2$ અને $x = 2$ છે.
$y = 2x$ અને $y = x/2$ નું છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
$y = 2x$ અને $x = 2$ નું છેદબિંદુ $(2, 4)$ છે.
$y = x/2$ અને $x = 2$ નું છેદબિંદુ $(2, 1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} (2x - x/2) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{0}^{2} (3x/2) \, dx$.
$A = \frac{3}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$.
$A = \frac{3}{4} [4 - 0] = 3 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) $1$. વક્ર $y = 2x^2$ છે, જેનો અર્થ છે $x = \sqrt{y/2} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}$।
$2$. પ્રદેશ $x = 1$ (જ્યાં $y = 2(1)^2 = 2$) અને $y = 4$ (જ્યાં $x = \sqrt{4/2} = \sqrt{2}$) દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$3$. ક્ષેત્રફળ $A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) dx$ દ્વારા મળે છે.
$4$. $A = [4x - \frac{2x^3}{3}]_{1}^{\sqrt{2}}$.
$5$. $A = (4\sqrt{2} - \frac{2(2\sqrt{2})}{3}) - (4(1) - \frac{2(1)^3}{3})$.
$6$. $A = (4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) - (4 - \frac{2}{3}) = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{10}{3} = \frac{8\sqrt{2} - 10}{3}$.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા: $A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4}$.
સીમાઓ મૂકતા: $A = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$.
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$.
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 = \sqrt{2} - 1$.

(D) ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{4\pi} x |\sin(\frac{x}{2})| dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x \in [0, 2\pi]$ માટે $\sin(\frac{x}{2}) \ge 0$ અને $x \in [2\pi, 4\pi]$ માટે $\sin(\frac{x}{2}) \le 0$ છે, તેથી:
$A = \int_{0}^{2\pi} x \sin(\frac{x}{2}) dx + \int_{2\pi}^{4\pi} x (-\sin(\frac{x}{2})) dx$.
ખંડશઃ સંકલન $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $u=x, dv=\sin(\frac{x}{2})dx$:
$\int x \sin(\frac{x}{2}) dx = -2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{0}^{2\pi} = (-2(2\pi)(-1) + 0) - (0) = 4\pi$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $-[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{2\pi}^{4\pi} = -[(-2(4\pi)(1) + 0) - (-2(2\pi)(-1) + 0)] = -[-8\pi - 4\pi] = 12\pi$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi + 12\pi = 16\pi$.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $y^2 = 4(1 - x^2)$ મળે છે, જેનો અર્થ છે $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$.
આ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું સમીકરણ છે જ્યાં $a = 1$ અને $b = 2$ છે.
વક્ર $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ આ ઉપવલયના ઉપરના અડધા ભાગને દર્શાવે છે.
પૂર્ણ ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi ab = \pi(1)(2) = 2\pi$ છે.
વક્ર અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ ઉપવલયના ઉપરના અડધા ભાગનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2\pi = \pi \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) પ્રદેશ $y = x^3$, $y = 8$, અને $x = 0$ દ્વારા આવૃત છે.
$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા, આપણને $x = y^{1/3}$ મળે છે.
$y = x^3$ અને $y = 8$ નું છેદબિંદુ $x^3 = 8$ પર મળે છે, જે $x = 2$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = 8$ સુધી $x$ નું $y$ ની સાપેક્ષ સંકલન છે:
$A = \int_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
$A = \left[ \frac{y^{4/3}}{4/3} \right]_{0}^{8}$
$A = \frac{3}{4} \left[ y^{4/3} \right]_{0}^{8}$
$A = \frac{3}{4} \left( 8^{4/3} - 0^{4/3} \right)$
$A = \frac{3}{4} \left( (2^3)^{4/3} \right) = \frac{3}{4} \times 2^4 = \frac{3}{4} \times 16 = 12 \text{ ચોરસ એકમ।}$

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} 2^{kx} \, dx = \frac{2}{\log_e 2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્ર $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log_e a}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\int_{0}^{2} 2^{kx} \, dx = \left[ \frac{2^{kx}}{k \log_e 2} \right]_{0}^{2}$ મળે છે.
સીમાઓ મૂકતા: $\frac{1}{k \log_e 2} (2^{2k} - 2^0) = \frac{2}{\log_e 2}$.
બંને બાજુથી $\log_e 2$ ને દૂર કરતા: $\frac{2^{2k} - 1}{k} = 2$.
$2^{2k} - 1 = 2k$.
નિરીક્ષણ દ્વારા, જો $k = 1/2$ હોય, તો $2^{2(1/2)} - 1 = 2^1 - 1 = 1$ અને $2k = 2(1/2) = 1$.
બંને બાજુ સમાન હોવાથી, $k = 1/2$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) વક્રનું સમીકરણ $x^2 = by$ છે, જેનો અર્થ છે $x = \sqrt{b} \sqrt{y}$ (કારણ કે તે પ્રથમ ચરણમાં છે).
વક્ર અને રેખાઓ $y = 1$ તથા $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} \sqrt{b} \sqrt{y} \, dy$
આપેલ છે $A = 28$, તેથી:
$28 = \sqrt{b} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
$28 = \sqrt{b} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}]$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [8 - 1]$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} \cdot 7$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{14}{3}$
$\sqrt{b} = 28 \cdot \frac{3}{14} = 2 \cdot 3 = 6$
$b = 6^2 = 36$.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$x < 4$ માટે $|x - 4| = -(x - 4)$ અને $x \ge 4$ માટે $|x - 4| = (x - 4)$ હોવાથી, આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$.
પ્રથમ ભાગની ગણતરી: $\int_{3}^{4} (-x + 4) \, dx = [-\frac{x^2}{2} + 4x]_{3}^{4} = (-8 + 16) - (-4.5 + 12) = 8 - 7.5 = 0.5$.
બીજા ભાગની ગણતરી: $\int_{4}^{5} (x - 4) \, dx = [\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 0.5 + 0.5 = 1 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ રેખા $2x - y + 1 = 0$ છે, જેને $x = \frac{y - 1}{2}$ તરીકે લખી શકાય છે.
પ્રદેશ $y = -1$, $y = 3$ અને y-અક્ષ $(x = 0)$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{3} |x| \, dy$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x = \frac{y - 1}{2}$, તેથી $A = \int_{-1}^{3} |\frac{y - 1}{2}| \, dy$ છે.
$y = 1$ પર, $x = 0$ છે. $y \in [-1, 1]$ માટે, $x \le 0$, તેથી $|x| = -\frac{y - 1}{2} = \frac{1 - y}{2}$.
$y \in [1, 3]$ માટે, $x \ge 0$, તેથી $|x| = \frac{y - 1}{2}$.
$A = \int_{-1}^{1} \frac{1 - y}{2} \, dy + \int_{1}^{3} \frac{y - 1}{2} \, dy$.
$A = \frac{1}{2} [y - \frac{y^2}{2}]_{-1}^{1} + \frac{1}{2} [\frac{y^2}{2} - y]_{1}^{3}$.
$A = \frac{1}{2} [(1 - 0.5) - (-1 - 0.5)] + \frac{1}{2} [(4.5 - 3) - (0.5 - 1)]$.
$A = \frac{1}{2} [0.5 + 1.5] + \frac{1}{2} [1.5 + 0.5] = 1 + 1 = 2$ ચોરસ એકમ.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -2$ થી $x = 4$ સુધી $|y|$ નું $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન છે.
$A = \int_{-2}^{4} |x| \, dx$
કારણ કે $x < 0$ માટે $|x| = -x$ અને $x \ge 0$ માટે $|x| = x$ થાય છે, તેથી આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{-2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{4} x \, dx$
$A = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$A = (0 - (-\frac{(-2)^2}{2})) + (\frac{4^2}{2} - 0)$
$A = (0 - (-2)) + (8 - 0) = 2 + 8 = 10$ ચોરસ એકમ.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $\int_{-2}^{1} |x^3 + ax| \, dx = \frac{37}{4}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x^3 + ax = x(x^2 + a)$, વિધેય $x \in [-2, 0]$ માટે ઋણ અને $x \in [0, 1]$ માટે ધન છે (આપેલ છે $a > 0$).
તેથી, $A = \int_{-2}^{0} -(x^3 + ax) \, dx + \int_{0}^{1} (x^3 + ax) \, dx = \frac{37}{4}$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$-\left[ \frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{37}{4}$.
$-(0 - (4 + 2a)) + (\frac{1}{4} + \frac{a}{2}) = \frac{37}{4}$.
$4 + 2a + \frac{1}{4} + \frac{a}{2} = \frac{37}{4}$.
$\frac{5a}{2} = \frac{37}{4} - \frac{17}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
$a = 2$.

(B) પરવલય $y^2 = 4kx$ અને રેખા $x = k$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A$ એ $A = 2 \int_{0}^{k} \sqrt{4kx} \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$A = 2 \cdot 2\sqrt{k} \int_{0}^{k} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{k} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{k} = 4\sqrt{k} \cdot \frac{2}{3} k^{3/2} = \frac{8}{3} k^2$.
આપેલ છે કે $A = \frac{128}{3}$, તેથી $\frac{8}{3} k^2 = \frac{128}{3} \implies k^2 = 16 \implies k = 4$ (કારણ કે $k > 0$).
હવે, $\sin^{-1}(\frac{2}{k}) = \sin^{-1}(\frac{2}{4}) = \sin^{-1}(\frac{1}{2})$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, તેથી મૂલ્ય $\frac{\pi}{6}$ છે.

(A) પગલું $1$: $y = 0$ મૂકીને $X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધો.
$0 = 2x - x^2 \implies x(2 - x) = 0$।
તેથી, વક્ર $X$-અક્ષને $x = 0$ અને $x = 2$ પર છેદે છે.
પગલું $2$: ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $3$: સંકલનનું મૂલ્ય શોધો:
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$।
પગલું $4$: સીમાઓ મૂકતા:
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = (4 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$।

(A) આપેલ વક્ર $y = 4x^2$ છે, જેને $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
$Y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y = 2$ તથા $y = 4$ વચ્ચે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}$।
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}] = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}] \text{ ચોરસ એકમ}$।

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x < 4$ માટે $|x - 4| = -(x - 4)$ અને $x \ge 4$ માટે $|x - 4| = (x - 4)$ થાય છે, તેથી આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$।
પ્રથમ ભાગની ગણતરી: $\int_{3}^{4} (-x + 4) \, dx = [-\frac{x^2}{2} + 4x]_{3}^{4} = (-8 + 16) - (-4.5 + 12) = 8 - 7.5 = 0.5$।
બીજા ભાગની ગણતરી: $\int_{4}^{5} (x - 4) \, dx = [\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$।
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 0.5 + 0.5 = 1$ ચોરસ એકમ.

(A) રેખાનું સમીકરણ $2x - y + 1 = 0$ છે, જેને $x = \frac{y - 1}{2}$ તરીકે લખી શકાય છે.
પ્રદેશ $y = -1$, $y = 3$, $x = 0$ (y-અક્ષ) અને $x = \frac{y - 1}{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{3} |x| \, dy = \int_{-1}^{3} |\frac{y - 1}{2}| \, dy$ દ્વારા મળે છે.
અમે સંકલનને $y = 1$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં પદની નિશાની બદલાય છે:
$A = \int_{-1}^{1} -(\frac{y - 1}{2}) \, dy + \int_{1}^{3} (\frac{y - 1}{2}) \, dy$.
$A = -\frac{1}{2} [\frac{y^2}{2} - y]_{-1}^{1} + \frac{1}{2} [\frac{y^2}{2} - y]_{1}^{3}$.
$A = -\frac{1}{2} [(\frac{1}{2} - 1) - (\frac{1}{2} + 1)] + \frac{1}{2} [(\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1)]$.
$A = -\frac{1}{2} [-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}] + \frac{1}{2} [\frac{3}{2} - (-\frac{1}{2})] = -\frac{1}{2}(-2) + \frac{1}{2}(2) = 1 + 1 = 2$.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{-2}^{4} |y| \, dx = \int_{-2}^{4} |x| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x < 0$ માટે $|x| = -x$ અને $x \ge 0$ માટે $|x| = x$ થાય છે, તેથી આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ:
$A = \int_{-2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{4} x \, dx$.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય: $\int_{-2}^{0} (-x) \, dx = [-\frac{x^2}{2}]_{-2}^{0} = 0 - (-\frac{(-2)^2}{2}) = 0 - (-2) = 2$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય: $\int_{0}^{4} x \, dx = [\frac{x^2}{2}]_{0}^{4} = \frac{16}{2} - 0 = 8$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 2 + 8 = 10 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-2}^{1} |x^3 + ax| \, dx = \frac{37}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $a > 0$, $x^3 + ax = x(x^2 + a) = 0$ ફક્ત $x = 0$ પર થાય છે કારણ કે $x^2 + a > 0$ છે.
$x \in [-2, 0]$ માટે, $x^3 + ax \le 0$ છે. $x \in [0, 1]$ માટે, $x^3 + ax \ge 0$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{0} -(x^3 + ax) \, dx + \int_{0}^{1} (x^3 + ax) \, dx = \frac{37}{4}$.
સંકલન કરતા: $-[\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{-2}^{0} + [\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{37}{4}$.
$-[0 - (\frac{16}{4} + \frac{4a}{2})] + [(\frac{1}{4} + \frac{a}{2}) - 0] = \frac{37}{4}$.
$4 + 2a + \frac{1}{4} + \frac{a}{2} = \frac{37}{4}$.
$\frac{5a}{2} = \frac{37}{4} - \frac{17}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
$a = 5 \times \frac{2}{5} = 2$.

(A) પગલું $1$: $y = 0$ લઈને તે બિંદુઓ શોધો જ્યાં વક્ર $y = 2x - x^2$, $X$-અક્ષને છેદે છે.
$2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0$। તેથી, $x = 0$ અને $x = 2$ મળે છે.
પગલું $2$: ક્ષેત્રફળ $A$ એ $0$ થી $2$ સુધી $x$ ની સાપેક્ષ $y$ નું સંકલન છે.
$A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$।
પગલું $3$: સંકલનનું મૂલ્ય શોધો.
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$।
પગલું $4$: સીમાઓ મૂકો.
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$।

(C) આપેલ વક્ર $y = \sqrt{16 - x^2}$ છે, જે $x^2 + y^2 = 4^2$ ના ઉપરના અર્ધ-વર્તુળને દર્શાવે છે જેની ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
આપણે વક્ર, $x = 0$, $x = 4$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
આ $r = 4$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો ચોથો ભાગ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા.
ક્ષેત્રફળ $= [\frac{x}{2} \sqrt{16 - x^2} + \frac{16}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{4})]_{0}^{4}$.
ક્ષેત્રફળ $= [\frac{4}{2} \sqrt{16 - 16} + 8 \sin^{-1}(1)] - [0 + 8 \sin^{-1}(0)]$.
ક્ષેત્રફળ $= [0 + 8(\frac{\pi}{2})] - [0] = 4\pi$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વક્ર $y = 4x^2$ છે, જેનો અર્થ છે $x^2 = \frac{y}{4}$, તેથી $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ (કારણ કે તે પ્રથમ ચરણમાં છે).
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{2}^{4} x \, dy$ છે.
$A = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$.
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy$.
$A = \frac{1}{2} [\frac{y^{3/2}}{3/2}]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{2}^{4}$.
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}]$.
$A = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$ ચોરસ એકમ.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2^2$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = 2$ છે. રેખા $x = 1$ છે.
નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{1}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$ દ્વારા મળે છે.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = 2 [\frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{1}^{2}$।
$A = 2 [(\frac{2}{2} \sqrt{4 - 4} + 2 \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{4 - 1} + 2 \sin^{-1}(\frac{1}{2}))]$।
$A = 2 [(0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{6})]$।
$A = 2 [\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}] = 2 [\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$।

(C) રેખાઓ $y = 2x$, $y = \frac{x}{2}$ અને $x = 2$ છે.
છેદબિંદુઓ:
$1$. $y = 2x$ અને $y = \frac{x}{2}$, $(0, 0)$ પર છેદે છે.
$2$. $y = 2x$ અને $x = 2$, $(2, 4)$ પર છેદે છે.
$3$. $y = \frac{x}{2}$ અને $x = 2$, $(2, 1)$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} (2x - \frac{x}{2}) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{0}^{2} \frac{3x}{2} \, dx$.
$A = \frac{3}{2} [\frac{x^2}{2}]_{0}^{2} = \frac{3}{4} [4 - 0] = 3$ ચોરસ એકમ.

(A) અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{4}]$ માં, $\cos x \ge \sin x$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx$ છે.
$A = [\sin x - (-\cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$A = \sqrt{2} - 1$.