Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi

(B) '$a$' त्रिज्या वाले और '$I$' धारा ले जाने वाले एक लंबे बेलनाकार तार के लिए:
$1$. तार के अंदर $(r < a)$, चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है। यह दर्शाता है कि $B$, $r$ के सीधे आनुपातिक है $(B \propto r)$, जिसके परिणामस्वरूप केंद्र से सतह तक रैखिक वृद्धि होती है।
$2$. तार के बाहर $(r > a)$, चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है। यह दर्शाता है कि $B$, $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(B \propto 1/r)$, जिसके परिणामस्वरूप दूरी बढ़ने पर हाइपरबोलिक कमी होती है।
$3$. इन दोनों को मिलाने पर, ग्राफ $r = a$ तक रैखिक वृद्धि और $r > a$ के लिए हाइपरबोलिक कमी दिखाता है। यह ग्राफ $B$ के अनुरूप है।

(A) एक लंबे सीधे धारावाही तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है।
यहाँ दिए गए मान धारा $I = 90 \text{ A}$ और दूरी $r = 1.5 \text{ m}$ हैं।
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 90}{2\pi \times 1.5}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 90}{1.5}$
$B = 2 \times 10^{-7} \times 60 = 120 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^{-5} \text{ T}$.
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार, यदि धारा पूर्व से पश्चिम की ओर बहती है, तो तार के ऊपर किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र उत्तर दिशा की ओर होता है।

(B) मान लीजिए कि दो समानांतर तार $d = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$ की दूरी पर हैं।
प्रत्येक तार में धारा $I = 8 \text{ A}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में बह रही हैं, इसलिए दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार मध्य बिंदु $(r = d/2 = 0.15 \text{ m})$ पर दोनों तारों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होगा।
एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है।
पहले तार के लिए, $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d/2)} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8}{0.15} = \frac{16 \times 10^{-7}}{0.15} = 106.67 \mu \text{T}$।
चूंकि दोनों तार एक ही दिशा में योगदान करते हैं, इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{total} = B_1 + B_2 = 2 \times 106.67 \mu \text{T} = 213.33 \mu \text{T}$ होगा।

(C) तार $I$ के लिए: केंद्र $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र दो सीधे खंडों और अर्धवृत्ताकार चाप के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग है। $r$ दूरी पर स्थित अर्ध-अनंत तार के कारण क्षेत्र $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ होता है। चूंकि ऐसे दो खंड हैं, उनका योगदान $2 \times \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ है। अर्धवृत्ताकार चाप के कारण क्षेत्र $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4r}$ है। अतः, $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} + \frac{\mu_0 I}{4r} = \frac{\mu_0 I}{4r} (\frac{2}{\pi} + 1) = \frac{\mu_0 I}{4r} (\frac{2+\pi}{\pi})$ है।
तार $II$ के लिए: केंद्र $Q$ पर चुंबकीय क्षेत्र अर्धवृत्ताकार चाप के कारण क्षेत्र और सीधे खंडों के कारण क्षेत्र का अंतर है। सीधे खंड प्रत्येक $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ का योगदान देते हैं। ज्यामिति के आधार पर, कुल क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4r} - \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{4r} (1 - \frac{1}{\pi}) = \frac{\mu_0 I}{4r} (\frac{\pi-1}{\pi})$ है।
अनुपात लेने पर, $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{2+\pi}{\pi}}{\frac{\pi-1}{\pi}} = \frac{2+\pi}{\pi-1}$।

(A) वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2}{2 \times 0.1} = 4\pi \times 10^{-6} \text{ T}$.
चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $u = \frac{B^2}{2\mu_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$u = \frac{(4\pi \times 10^{-6})^2}{2 \times 4\pi \times 10^{-7}} = \frac{16\pi^2 \times 10^{-12}}{8\pi \times 10^{-7}} = 2\pi \times 10^{-5} \text{ J/m}^3$.
घन का आयतन $V = (1 \text{ mm})^3 = (10^{-3} \text{ m})^3 = 10^{-9} \text{ m}^3$.
संचित चुंबकीय ऊर्जा $U = u \times V$.
$U = (2\pi \times 10^{-5}) \times 10^{-9} = 2\pi \times 10^{-14} \text{ J}$.
$\pi = 3.14$ का उपयोग करने पर, $U = 2 \times 3.14 \times 10^{-14} = 6.28 \times 10^{-14} \text{ J}$.
इसे $\alpha \times 10^{-14} \text{ J}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $\alpha = 6.28$ प्राप्त होता है।

(A) चालक के अंदर $(r < a)$, चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है, जो दर्शाता है कि $B \propto r$ है। यह चालक की अक्ष से सतह तक चुंबकीय क्षेत्र में एक रैखिक वृद्धि को दर्शाता है।
चालक के बाहर $(r > a)$, चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है, जो दर्शाता है कि $B \propto \frac{1}{r}$ है। यह चालक से दूरी बढ़ने के साथ चुंबकीय क्षेत्र में व्युत्क्रमानुपाती कमी को दर्शाता है।
ग्राफ $(A)$ सही ढंग से एक रैखिक वृद्धि और उसके बाद एक व्युत्क्रमानुपाती कमी को प्रदर्शित करता है। अतः, विकल्प $(A)$ सही है।

(A) मान लीजिए कि खंड $ABC$ का प्रतिरोध $R_1$ है और खंड $ADC$ का प्रतिरोध $R_2$ है। दिया गया है कि $R_1 = \frac{1}{2} R_2$, या $R_2 = 2R_1$ है।
चूंकि खंड समानांतर में हैं, उनके बीच विभवांतर समान है, इसलिए $I_1 R_1 = I_2 R_2$, जहाँ $I_1$ और $I_2$ क्रमशः खंड $ABC$ और $ADC$ में धाराएं हैं।
$R_2 = 2R_1$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $I_1 R_1 = I_2 (2R_1)$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $I_1 = 2I_2$ है।
साथ ही, $I_1 + I_2 = I_0$ है। $I_1 = 2I_2$ रखने पर, हमें $3I_2 = I_0$ प्राप्त होता है, इसलिए $I_2 = \frac{I_0}{3}$ और $I_1 = \frac{2I_0}{3}$ है।
यदि लूप अर्धवृत्ताकार है, तो $\theta$ कोण वाले वृत्ताकार चाप के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r}$ होता है।
खंड $ABC$ के लिए (अर्धवृत्त, $\theta = \pi$), $B_1 = \frac{\mu_0 I_1 \pi}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I_1}{4r} = \frac{\mu_0 (2I_0/3)}{4r} = \frac{\mu_0 I_0}{6r}$ (पृष्ठ के अंदर की ओर)।
खंड $ADC$ के लिए (अर्धवृत्त, $\theta = \pi$), $B_2 = \frac{\mu_0 I_2 \pi}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I_2}{4r} = \frac{\mu_0 (I_0/3)}{4r} = \frac{\mu_0 I_0}{12r}$ (पृष्ठ के बाहर की ओर)।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = |B_1 - B_2| = |\frac{\mu_0 I_0}{6r} - \frac{\mu_0 I_0}{12r}| = \frac{\mu_0 I_0}{12r}$।

(C) मान लीजिए कि तार $A$ और $B$ पर हैं, जिनमें $I_1 = 8 \text{ A}$ और $I_2 = 15 \text{ A}$ विपरीत दिशाओं में हैं। दूरी $AB = 7 \text{ cm}$ है।
बिंदु $P$, $A$ और $B$ से समान दूरी पर है, इसलिए $PA = PB = r$। चूंकि $\angle APB = 90^\circ$, $\triangle APB$ में, $AB^2 = PA^2 + PB^2 = 2r^2$ है।
$7^2 = 2r^2 \implies 49 = 2r^2 \implies r^2 = 24.5 \implies r = \sqrt{24.5} \text{ cm} = \sqrt{24.5} \times 10^{-2} \text{ m}$।
तार $A$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}$ और तार $B$ के कारण $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं, $P$ पर $B_1$ और $B_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \frac{\mu_0}{2\pi r} \sqrt{I_1^2 + I_2^2}$ है।
$B = \frac{2 \times 10^{-7}}{r} \sqrt{8^2 + 15^2} = \frac{2 \times 10^{-7}}{\sqrt{24.5} \times 10^{-2}} \times 17 = \frac{34 \times 10^{-5}}{\sqrt{24.5}} \approx \frac{34 \times 10^{-5}}{4.95} \approx 6.86 \times 10^{-5} \text{ T}$।
दिया गया है $B = X \times 10^{-6} \text{ T}$, इसलिए $X \approx 68.6 \approx 68$।

(B) दो तारों के बीच की दूरी $d = 3 \text{ m}$ है। मध्य बिंदु प्रत्येक तार से $r = d/2 = 1.5 \text{ m}$ की दूरी पर है।
एक लंबे सीधे तार के लिए, चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले तार $(I_1 = 3 \text{ A})$ के लिए, मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 \times 3}{2\pi \times 1.5} = \frac{3\mu_0}{3\pi} = \frac{\mu_0}{\pi} = \frac{2\mu_0}{2\pi}$ है।
दूसरे तार $(I_2 = 4.5 \text{ A})$ के लिए, मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 \times 4.5}{2\pi \times 1.5} = \frac{4.5\mu_0}{3\pi} = \frac{1.5\mu_0}{\pi} = \frac{3\mu_0}{2\pi}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं, इसलिए दोनों तारों के कारण मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होंगे (दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार)।
अतः, परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{2\mu_0}{2\pi} + \frac{3\mu_0}{2\pi} = \frac{5\mu_0}{2\pi}$ है।

(C) एक लंबी परिनालिका (solenoid) के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu n I = \mu_0 \mu_r n I$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n = N/L$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है।
दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 2 \text{ cm}^2 = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$, लंबाई $L = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$, फेरों की संख्या $N = 400$, धारा $I = 0.4 \text{ A}$, चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 4\pi \times 10^{-6} \text{ Wb}$.
चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \mu_0 \mu_r (N/L) I \cdot A$.
मान रखने पर: $4\pi \times 10^{-6} = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \mu_r \cdot (400 / 0.4) \cdot 0.4 \cdot (2 \times 10^{-4})$.
$4\pi \times 10^{-6} = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \mu_r \cdot 1000 \cdot 0.4 \cdot 2 \times 10^{-4}$.
$4\pi \times 10^{-6} = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \mu_r \cdot 8 \times 10^{-2}$.
$10^{-6} = 10^{-7} \cdot \mu_r \cdot 8 \times 10^{-2}$.
$10 = \mu_r \cdot 8 \times 10^{-2}$.
$\mu_r = 10 / (8 \times 10^{-2}) = 1000 / 8 = 125$.

(A) जब रिंग घूमती है तो यह एक वृत्ताकार धारा लूप की तरह कार्य करती है।
धारा $I$ को आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, $I = \frac{q}{T}$, जहाँ $T$ एक चक्कर का समय अंतराल है।
चूंकि आवृत्ति $f$ है, इसलिए समय अंतराल $T = \frac{1}{f}$ होगा।
अतः, समतुल्य धारा $I = qf$ होगी।
$R$ त्रिज्या वाले और $I$ धारा ले जाने वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ का मान रखने पर, हमें $B = \frac{\mu_0 (qf)}{2R} = \frac{\mu_0 qf}{2R}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है।
एक फेरे के लिए जिसकी त्रिज्या $R_1$ है, परिधि $2\pi R_1 = L$ है, इसलिए $R_1 = L / (2\pi)$।
केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 R_1} = \frac{\mu_0 I}{2 (L / 2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ है।
$n$ फेरों के लिए जिसकी त्रिज्या $R_n$ है, तार की कुल लंबाई $n(2\pi R_n) = L$ है, इसलिए $R_n = L / (2\pi n)$।
केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_n = \frac{n \mu_0 I}{2 R_n} = \frac{n \mu_0 I}{2 (L / 2\pi n)} = \frac{n^2 \mu_0 I \pi}{L}$ है।
एक फेरे और $n$ फेरों के लिए चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात $B_1 / B_n = (\frac{\mu_0 I \pi}{L}) / (\frac{n^2 \mu_0 I \pi}{L}) = 1 / n^2$ होगा।

(B) $I$ धारा प्रवाहित करने वाले एक लंबे सीधे तार से '$r$' लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र '$B$' का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय क्षेत्र दूरी '$r$' के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$B \propto \frac{1}{r}$
माना कि '$r_1 = r$' दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र '$B_1 = B$' है और '$r_2 = 2r$' दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र '$B_2$' है।
अतः, $\frac{B_2}{B_1} = \frac{r_1}{r_2}$
मान रखने पर:
$\frac{B_2}{B} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$
इसलिए, $B_2 = \frac{B}{2}$.

(A) $N$ फेरों, $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ होता है।
$L$ लंबाई के तार के एक फेरे $(N=1)$ के लिए, परिधि $2\pi R = L$ है, इसलिए $R = \frac{L}{2\pi}$.
अतः, $B = \frac{\mu_0 (1) I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 \pi I}{L}$.
जब उसी तार को $N'=2$ फेरों में मोड़ा जाता है, तो नई त्रिज्या $R'$ के लिए $2\pi R' = L/2$ होता है, इसलिए $R' = \frac{L}{4\pi} = \frac{R}{2}$.
नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = \frac{\mu_0 N' I}{2R'} = \frac{\mu_0 (2) I}{2(R/2)} = 4 \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = 4B$ होगा।

(C) बिंदु '$O$' पर चुंबकीय क्षेत्र तीन भागों के कारण चुंबकीय क्षेत्रों का योग है: सीधा तार $AB$, वृत्ताकार चाप $BC$, और सीधा तार $CD$।
$1$. अर्ध-अनंत तार के लिए, लंबवत दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ होता है।
$2$. तार $AB$ के कारण '$O$' पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{AB} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$।
$3$. वृत्ताकार चाप $BC$ (त्रिज्या $r$, कोण $\pi/2$) के कारण '$O$' पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{arc} = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{8r}$।
$4$. तार $CD$ के कारण '$O$' पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{CD} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{AB} + B_{arc} + B_{CD} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} + \frac{\mu_0 I}{8r} + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (1 + \frac{\pi}{2} + 1) = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (2 + \frac{\pi}{2})$।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(D) $I$ धारा वहन करने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
इस सूत्र से, हम देख सकते हैं कि $B \propto \frac{1}{r}$ है।
मान लीजिए $r_1 = 2 \text{ cm}$ की दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ है और $r_2 = 5 \text{ cm}$ की दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ है।
अतः, अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{r_2}{r_1}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{5}{2} = 5 : 2$.
इसलिए, $2 \text{ cm}$ और $5 \text{ cm}$ पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात $5 : 2$ है।

(D) $i$ धारा प्रवाहित करने वाले $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$, जो केंद्र पर $\theta$ कोण बनाता है, का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi r}$
दिया गया है, $\theta = \frac{\pi}{5}$ रेडियन।
सूत्र में $\theta$ का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 i (\frac{\pi}{5})}{4 \pi r}$
$B = \frac{\mu_0 i \pi}{20 \pi r}$
$B = \frac{\mu_0 i}{20 r}$
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(C) $I$ धारा वाले $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र: $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
लूप की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र: $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
यहाँ $x = R$ दिया गया है, इसलिए अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2\sqrt{2} R^3)} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2} R}$ होगा।
अब, केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र और अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात: $\frac{B_{center}}{B_{axis}} = \frac{\mu_0 I / 2R}{\mu_0 I / 4\sqrt{2} R} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} : 1$ होगा।

(D) यह विन्यास दो अर्ध-अनंत तारों और दो चौथाई-अनंत खंडों से बना है। ज्यामिति को देखते हुए, बिंदु '$O$' पर चुंबकीय क्षेत्र की गणना बायो-सावर्ट नियम का उपयोग करके की जा सकती है।
एक अर्ध-अनंत तार के लिए, $a$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a}$ होता है।
इस विन्यास में, खंड $AB$ और $BC$ बिंदु '$O$' पर कागज के तल के अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। इसी प्रकार, खंड $TE$ और अन्य क्षैतिज खंड भी '$O$' पर कागज के तल के अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
समरूपता और दाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर, चारों खंडों का योगदान जुड़ जाता है। विशेष रूप से, प्रत्येक खंड बिंदु '$O$' के सापेक्ष एक अर्ध-अनंत तार की तरह कार्य करता है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{total} = 4 \times (\frac{\mu_0 I}{4\pi a}) = \frac{\mu_0 I}{\pi a}$ होगा।

(B) एक लंबे सीधे धारावाही तार से '$r$' दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय क्षेत्र दूरी '$r$' के व्युत्क्रमानुपाती होता है, अर्थात $B \propto \frac{1}{r}$
दिया गया है कि '$r$' दूरी पर, $B_1 = 0.4 \text{ tesla}$
जब दूरी को दोगुना किया जाता है, तो $r_2 = 2r$
नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ होगा:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (2r)} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \right) = \frac{1}{2} B_1$
$B_2 = \frac{0.4}{2} = 0.2 \text{ tesla}$.

(C) $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर उसके केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली $X$ के लिए: त्रिज्या $R_x = r$, दूरी $x_x = d/2$ है। चूंकि $d \gg r$, इसलिए $B_x \approx \frac{\mu_0 I r^2}{2(d/2)^3} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(d^3/8)} = \frac{4 \mu_0 I r^2}{d^3}$ है।
कुंडली $Y$ के लिए: त्रिज्या $R_y = 2r$, दूरी $x_y = d$ है। चूंकि $d \gg r$, इसलिए $B_y \approx \frac{\mu_0 I (2r)^2}{2d^3} = \frac{4 \mu_0 I r^2}{2d^3} = \frac{2 \mu_0 I r^2}{d^3}$ है।
$B_x$ और $B_y$ की तुलना करने पर, हमें $B_x = 2 B_y$ प्राप्त होता है।

(B) $I$ धारा वाली $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित अक्षीय बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई शर्त $B_2 = 8B_1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\mu_0 I}{2R} = 8 \times \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{1}{R} = \frac{8R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
$(R^2 + x^2)^{3/2} = 8R^3$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$(R^2 + x^2)^{1/2} = 2R$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$R^2 + x^2 = 4R^2$.
$x^2 = 3R^2$.
$x = \sqrt{3} R$.

(B) गतिमान आवेश $q$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ को व्यंजक $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q(\vec{v} \times \vec{r})}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{B}$, $\vec{v}$ और $\vec{r}$ के सदिश गुणनफल (cross product) के समानुपाती है (अर्थात $\vec{B} \propto \vec{v} \times \vec{r}$), इसलिए सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार सदिश $\vec{B}$, $\vec{v}$ और $\vec{r}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।
अतः, $\vec{B}$ सदैव $\vec{v}$ के लंबवत होता है।

(A) $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के अक्ष पर केंद्र से $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + d^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $d = \sqrt{3}R$, अतः $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + 3R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(4R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(8R^3)} = \frac{\mu_0 I}{16R}$।
माना पहला लूप $YZ$-तल में है और उसका अक्ष $X$-अक्ष के अनुदिश है। $P$ पर इसका चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{16R} \hat{i}$ है।
दूसरे लूप का अक्ष $XY$-तल में $X$-अक्ष से $45^\circ$ पर झुका हुआ है। इसका चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}_2$, $X$-अक्ष से $45^\circ$ पर होगा: $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{16R} (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = \frac{\mu_0 I}{16R} (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})$।
परिणामी क्षेत्र $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{16R} [(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}] = \frac{\mu_0 I}{16R} [(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}})\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}] = \frac{\mu_0 I}{16\sqrt{2}R} [(\sqrt{2} + 1)\hat{i} + \hat{j}]$।