int {{e^x}left[ {f(x) + f'(x)} right],dx} कि | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx$ दिया गया है। समाकलन के वितरण गुण का उपयोग करके,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int e^x f(x) \

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${e^x}f(x) + C$

Vedclass · Answer

(A) हमें समाकलन $I = \int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx$ दिया गया है। समाकलन के वितरण गुण का उपयोग करके,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int e^x f(x) \, dx + \int e^x f'(x) \, dx$. अब,पहले समाकलन $\int e^x f(x) \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$f(x)$ को पहला फलन और $e^x$ को दूसरा फलन मानने पर: $\int e^x f(x) \, dx = f(x) \int e^x \, dx - \int \left( f'(x) \int e^x \, dx \right) \, dx$. $= f(x) e^x - \int f'(x) e^x \, dx$. इस मान को $I$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $I = [f(x) e^x - \int e^x f'(x) \, dx] + \int e^x f'(x) \, dx$. $I = e^x f(x) + C$. अतः,सही विकल्प $A$ है।

$\int {{e^x}\left[ {f(x) + f'(x)} \right]\,dx} $ किसके बराबर है?

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$\int_1^2 {{e^x}\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\,dx = } $

$\int {{e^{2x}}\frac{{1 + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x}}} \,dx = $

$\int \left( \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right)^2 dx = $

समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int \frac{\log x}{(1+\log x)^2} dx$

यदि $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$ है, तो $\int (e^{2x} f(x) + e^{2x} f^{\prime}(x)) dx =$

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