x के प्रत्येक मान के लिए फलन f(x) = frac{1}{5 | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{5^x} = 5^{-x}$ है।यह निर्धारित करने के लिए कि फलन वर्धमान है या ह्रासमान,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:$f'(x

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ह्रासमान (Decreasing)

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(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{5^x} = 5^{-x}$ है।यह निर्धारित करने के लिए कि फलन वर्धमान है या ह्रासमान,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:$f'(x) = \frac{d}{dx}(5^{-x}) = 5^{-x} \cdot \ln(5) \cdot (-1) = -\frac{\ln(5)}{5^x}$।चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $5^x > 0$ और $\ln(5) \approx 1.609 > 0$ है,इसलिए पद $\frac{\ln(5)}{5^x}$ हमेशा धनात्मक रहता है।अतः,$f'(x) = -\frac{\ln(5)}{5^x} चूंकि अवकलज $f'(x)$ सभी $x$ के लिए ऋणात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ प्रत्येक $x$ के लिए एक ह्रासमान फलन है।

$x$ के प्रत्येक मान के लिए फलन $f(x) = \frac{1}{5^x}$ है:

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$f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ x - 3, & x > 0 \end{cases}$. फलन $f(x)$ है

$k$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए फलन $f(x) = {x^2} + kx + 1$ अंतराल $1 \leq x \leq 2$ में एक वर्धमान फलन है।

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_1^x {\left( {t\ln(t) - \frac{{\ln(t)}}{t}} \right)dt}$ जहाँ $x > 1$ है। तो:

उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें फलन $f(x) = x^{2} - 4x + 6$:
$(a)$ वर्धमान है
$(b)$ ह्रासमान है

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