यदि $k = p + q + r$ है,तो $\left|\begin{array}{ccc} k+r & p & q \\ r & k+p & q \\ r & p & k+q \end{array}\right|$ का मान किसके बराबर है?

मान लीजिए $x, y, z > 0$ क्रमशः $G.P.$ के $2^{nd}, 3^{rd}, 4^{th}$ पद हैं,और $\Delta = \begin{vmatrix} x^k & x^{k+1} & x^{k+2} \\ y^k & y^{k+1} & y^{k+2} \\ z^k & z^{k+1} & z^{k+2} \end{vmatrix} = (r-1)^2 \left(1 - \frac{1}{r^2}\right)$,जहाँ $r$ सार्व अनुपात है। तो $k = \dots$

$\lambda$ के उन भिन्न मानों का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण निकाय
$(\lambda-1) x+(3 \lambda+1) y+2 \lambda z=0$
$(\lambda-1) x+(4 \lambda-2) y+(\lambda+3) z=0$
$2 x+(3 \lambda+1) y+3(\lambda-1) z=0$
के अशून्य हल हैं।

शीर्षों $P(k, 1)$,$Q(2, 4)$ और $R(1, 1)$ वाले $\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $3$ वर्ग इकाई है,तो $k = $ . . . . . . .

आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & -1 & 4 \\ -3 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ व्युत्क्रमणीय नहीं है यदि $a =$

$\left|\begin{array}{lll}\sin ^2 14^{\circ} & \sin ^2 66^{\circ} & \tan 135^{\circ} \\ \sin ^2 66^{\circ} & \tan 135^{\circ} & \sin ^2 14^{\circ} \\ \tan 135^{\circ} & \sin ^2 14^{\circ} & \sin ^2 66^{\circ}\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।