$\left( \frac{x + 1}{x^{2/3} - x^{1/3} + 1} - \frac{x - 1}{x - x^{1/2}} \right)^{10}$ के विस्तार में,वह पद जिसमें $x$ नहीं है,है:

$(3^{1/2} + 5^{1/4})^{680}$ के विस्तार में पूर्णांक पदों की संख्या किसके बराबर है?

मान लीजिए कि $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4}$,$(1-3 \beta x)^{2}$ और $\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}$ के विस्तार में मध्य पदों के गुणांक,जहाँ $\beta > 0$,क्रमशः एक $A.P.$ के पहले तीन पद बनाते हैं। यदि $d$ इस $A.P.$ का सार्व अंतर है,तो $50-\frac{2 d}{\beta^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $s_1 = \sum_{j=1}^{10} j(j-1) \binom{10}{j}$,$s_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j}$,और $s_3 = \sum_{j=1}^{10} j^2 \binom{10}{j}$.
कथन $-1$: $s_3 = 55 \times 2^9$
कथन $-2$: $s_1 = 90 \times 2^8$ और $s_2 = 10 \times 2^8$

यदि $p$,$\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^8$ के विस्तार में $x^4$ और $x$ के गुणांकों के बीच स्थित $4$ का एक पूर्णांक गुणज है,तो $p$ के ऐसे मानों की संख्या है

प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,मान लीजिए $A_n = \max \left\{ \binom{n}{r} \mid 0 \leq r \leq n \right\}$ है। तो,$n \in \{1, 2, \ldots, 20\}$ के उन तत्वों की संख्या क्या है जिनके लिए $1.9 \leq \frac{A_n}{A_{n-1}} \leq 2$ है?