मान लीजिए A_1 A_2 A_3 ldots A_9 एक नौ-भुजाओं | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $O$ नियमित नौभुज $A_1 A_2 \ldots A_9$ के परिवृत्त का केंद्र है। भुजा की लंबाई $s = 2$ है। प्रत्येक भुजा द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण $	he

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$2$

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(D) मान लीजिए $O$ नियमित नौभुज $A_1 A_2 \ldots A_9$ के परिवृत्त का केंद्र है। भुजा की लंबाई $s = 2$ है। प्रत्येक भुजा द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण $	heta = \frac{2\pi}{9}$ है। मान लीजिए $r$ परिवृत्त की त्रिज्या है। $	riangle O A_1 A_2$ में,कोज्या नियम (law of cosines) के अनुसार: $s^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 \cos(\frac{2\pi}{9}) = 2r^2(1 - \cos(\frac{2\pi}{9})) = 4r^2 \sin^2(\frac{\pi}{9})$. चूंकि $s = 2$,हमारे पास $4 = 4r^2 \sin^2(\frac{\pi}{9})$ है,इसलिए $r = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{9})}$. केंद्रीय कोण $\phi$ अंतरित करने वाली जीवा $A_i A_j$ की लंबाई $2r \sin(\frac{\phi}{2})$ होती है। $A_1 A_5$ के लिए,केंद्रीय कोण $4 	imes \frac{2\pi}{9} = \frac{8\pi}{9}$ है,इसलिए $A_1 A_5 = 2r \sin(\frac{4\pi}{9})$. $A_2 A_4$ के लिए,केंद्रीय कोण $2 	imes \frac{2\pi}{9} = \frac{4\pi}{9}$ है,इसलिए $A_2 A_4 = 2r \sin(\frac{2\pi}{9})$. अंतर $A_1 A_5 - A_2 A_4 = 2r(\sin(\frac{4\pi}{9}) - \sin(\frac{2\pi}{9}))$ है। सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ का उपयोग करते हुए: $A_1 A_5 - A_2 A_4 = 2r \cdot 2 \sin(\frac{\pi}{9}) \cos(\frac{3\pi}{9}) = 4r \sin(\frac{\pi}{9}) \cos(\frac{\pi}{3})$. $r = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{9})}$ और $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ रखने पर: $A_1 A_5 - A_2 A_4 = 4 \cdot \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{9})} \cdot \sin(\frac{\pi}{9}) \cdot \frac{1}{2} = 2$.

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