वृत्त x^2 + y^2 - ax - by = 0 की उन जीवाओं के | vedclass

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Question

(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ है। इसका केंद्र $C = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)$ है और त्रिज्या $R = \sqrt{\left( \frac{a}{2

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$x^2 + y^2 - ax - by + \frac{a^2 + b^2}{8} = 0$

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(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ है। इसका केंद्र $C = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)$ है और त्रिज्या $R = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{b}{2} \right)^2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$ है।माना $(h, k)$ जीवा का मध्य बिंदु है। केंद्र $C$ से जीवा की दूरी $d = \sqrt{(h - a/2)^2 + (k - b/2)^2}$ है।चूंकि जीवा केंद्र पर समकोण बनाती है,केंद्र और जीवा के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।अतः,केंद्र से जीवा की दूरी $d = R \sin(45^\circ) = \frac{R}{\sqrt{2}}$ है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$d^2 = \frac{R^2}{2}$।मान रखने पर: $\left( h - \frac{a}{2} \right)^2 + \left( k - \frac{b}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2 + b^2}{4} \right) = \frac{a^2 + b^2}{8}$।इसका विस्तार करने पर,$h^2 - ah + \frac{a^2}{4} + k^2 - bk + \frac{b^2}{4} = \frac{a^2 + b^2}{8}$।$h^2 + k^2 - ah - bk + \frac{a^2 + b^2}{4} - \frac{a^2 + b^2}{8} = 0$।$h^2 + k^2 - ah - bk + \frac{a^2 + b^2}{8} = 0$।$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - ax - by + \frac{a^2 + b^2}{8} = 0$ प्राप्त होता है।

वृत्त $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ की उन जीवाओं के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ क्या है जो $\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)$ पर समकोण बनाती हैं:

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यदि बिंदु $P(5,3)$ से गुजरने वाली रेखा वृत्त $x^2+y^2-2x-4y+\alpha=0$ को $A(4,2)$ और $B(x_1, y_1)$ पर मिलती है,तो $PA \cdot PB$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक वृत्त का समीकरण जो रेखाओं $x+y=2$ और $x-y=2$ को स्पर्श करता है और वृत्त $x^2+y^2=1$ को भी स्पर्श करता है,वह है:

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