Ellipse Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि नाभि $S(ae, 0) = (4, 0)$ और उत्केंद्रता $e = 4/5$ है।
अतः, $ae = 4 \implies a(4/5) = 4 \implies a = 5$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर, हमें $b^2 = 25(1 - 16/25) = 25(9/25) = 9$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।
चूंकि बिंदु $P(3, \alpha)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है, हम समीकरण में $x=3$ और $y=\alpha$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{3^2}{25} + \frac{\alpha^2}{9} = 1 \implies \frac{9}{25} + \frac{\alpha^2}{9} = 1 \implies \frac{\alpha^2}{9} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$\alpha^2 = \frac{16 \times 9}{25} \implies \alpha = \pm \frac{12}{5}$.
$\alpha = 12/5$ लेने पर, निर्देशांक $O(0, 0)$, $S(4, 0)$, और $P(3, 12/5)$ हैं।
$\triangle POS$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_O(y_S - y_P) + x_S(y_P - y_O) + x_P(y_O - y_S)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(0 - 12/5) + 4(12/5 - 0) + 3(0 - 0)| = \frac{1}{2} |48/5| = 24/5$.

(B) y-अक्ष के अनुदिश मुख्य अक्ष वाले दीर्घवृत्त के लिए, $y^2$ पद का हर $x^2$ पद के हर से बड़ा होना चाहिए और दोनों धनात्मक होने चाहिए: $f(3a+15) > f(a^2+7a+3) > 0$.
चूँकि $f$ एक निरंतर घटता हुआ फलन है, इसलिए $f(x_1) > f(x_2) \implies x_1 < x_2$.
अतः, $3a+15 < a^2+7a+3$.
असमानता को व्यवस्थित करने पर $a^2 + 4a - 12 > 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर, $(a+6)(a-2) > 0$ प्राप्त होता है।
यह असमानता तब सत्य होती है जब $a \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$ हो।
$a$ के मानों का समुच्चय $R - [-6, 2]$ है।
इसे $R - [\alpha, \beta]$ के साथ तुलना करने पर, $\alpha = -6$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
अतः, $\alpha^2 + \beta^2 = (-6)^2 + (2)^2 = 36 + 4 = 40$.

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ दिया गया है, जहाँ $a < b$ है।
चूँकि $a < b$ है, इसलिए उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2}$ होता है।
यहाँ $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ दिया गया है, अतः $e^2 = \frac{5}{9}$।
इस प्रकार, $1 - \frac{a^2}{b^2} = \frac{5}{9} \implies \frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$।
मान लीजिए $a^2 = 4k$ और $b^2 = 9k$, जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है।
दीर्घवृत्त बिंदु $(4, 3)$ से गुजरता है, इसलिए $\frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1$।
मान रखने पर, $\frac{16}{4k} + \frac{9}{9k} = 1 \implies \frac{4}{k} + \frac{1}{k} = 1 \implies \frac{5}{k} = 1 \implies k = 5$।
अतः, $a^2 = 4(5) = 20$ और $b^2 = 9(5) = 45$।
इससे $a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ और $b = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
$a < b$ वाले दीर्घवृत्त के लिए नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b}$ होती है।
लंबाई $= \frac{2(20)}{3\sqrt{5}} = \frac{40}{3\sqrt{5}} = \frac{40\sqrt{5}}{3 \times 5} = \frac{8\sqrt{5}}{3}$।

(C) परवलय $P : y^2 = 4x$ की नाभि $(1, 0)$ पर है और इसका नाभिलंब रेखा $x = 1$ है।
चूंकि $P$ और $E$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड दोनों का नाभिलंब है, इसलिए रेखा $x = 1$ दीर्घवृत्त $E$ का नाभिलंब होनी चाहिए।
दीर्घवृत्त के लिए, नाभिलंब $x = ae$ पर होता है, इसलिए $ae = 1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2)$ और $(1, -2)$ हैं। चूंकि ये बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित हैं, हम $x = 1$ और $y = 2$ को $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{1}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करके, हम $b^2$ को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{1}{a^2} + \frac{4}{a^2(1 - e^2)} = 1$.
चूंकि $a = 1/e$ है, इसलिए $a^2 = 1/e^2$ है, जिससे $e^2 + \frac{4e^2}{1 - e^2} = 1$ प्राप्त होता है।
$e^2(1 - e^2) + 4e^2 = 1 - e^2 \implies e^2 - e^4 + 4e^2 = 1 - e^2 \implies e^4 - 6e^2 + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $e^2$ के लिए हल करने पर: $e^2 = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$।
चूंकि $e < 1$ है, इसलिए $e^2 = 3 - 2\sqrt{2}$।
अतः $e^2 + 2\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} = 3$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 288$ है। $288$ से भाग देने पर, हमें $\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{18} = 1$ प्राप्त होता है। यहाँ $a^2 = 32$ और $b^2 = 18$ है।
प्रवणता $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा अक्षों पर समान अंतःखंड बनाती है, इसकी प्रवणता $m = -1$ या $m = 1$ होनी चाहिए। चूँकि यह अक्षों पर अंतःखंड बनाती है, हम $\frac{x}{c} + \frac{y}{c} = 1$ रूप पर विचार करते हैं, जिसका अर्थ है $y = -x + c$, अतः $m = -1$ है।
स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है। $m = -1$ प्रतिस्थापित करने पर, $c^2 = 32(-1)^2 + 18 = 32 + 18 = 50$ प्राप्त होता है।
अतः, $c = \pm \sqrt{50} = \pm 5\sqrt{2}$ है।
अंतःखंड $A(5\sqrt{2}, 0)$ और $B(0, 5\sqrt{2})$ हैं।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |5\sqrt{2}| \times |5\sqrt{2}| = \frac{1}{2} \times 50 = 25$ वर्ग इकाई है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए, $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ, $a^2 = 16$, $b^2 = 9$, और झुकाव $30^\circ$ है, इसलिए $m = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x \pm \sqrt{16(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 9}$
$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{16}{3} + 9}$
$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{16 + 27}{3}}$
$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{43}{3}}$
$\sqrt{3}$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3}y = x \pm \sqrt{43}$
$x - \sqrt{3}y \pm \sqrt{43} = 0$।

(D) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 144$ है। $144$ से भाग देने पर, हमें $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर, $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
रेखा $3x + 4y + k = 0$ को $4y = -3x - k$ के रूप में लिखें, जिससे $y = -\frac{3}{4}x - \frac{k}{4}$ प्राप्त होता है।
यहाँ, $m = -\frac{3}{4}$ और $c = -\frac{k}{4}$ है।
इन मानों को शर्त में प्रतिस्थापित करने पर: $(-\frac{k}{4})^2 = 16(-\frac{3}{4})^2 + 9$।
$\frac{k^2}{16} = 16(\frac{9}{16}) + 9$।
$\frac{k^2}{16} = 9 + 9 = 18$।
$k^2 = 18 \times 16 = 288$।
$k = \pm \sqrt{288} = \pm 12\sqrt{2}$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2 + 4y^2 = 12$ है, जिसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ है।
प्रवणता $m$ वाली दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ होता है।
दिया है $m = -1/2$, समीकरण होगा $y = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{4(-\frac{1}{2})^2 + 3} = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{1 + 3} = -\frac{1}{2}x \pm 2$।
$X$-अंतःखंड $(A)$ के लिए, $y = 0$ रखें: $0 = -\frac{1}{2}x \pm 2 \implies x = \pm 4$। अतः $A = (\pm 4, 0)$।
$Y$-अंतःखंड $(B)$ के लिए, $x = 0$ रखें: $y = \pm 2$। अतः $B = (0, \pm 2)$।
$\Delta AOB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |x_A| \times |y_B| = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 1$ है, जिसे $\frac{x^2}{(1/2)^2} + \frac{y^2}{(1/3)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ, $a^2 = 1/4$ और $b^2 = 1/9$ है। चूँकि $a^2 > b^2$, दीर्घ अक्ष $X$-अक्ष के अनुदिश है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/9}{1/4}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
नाभियाँ $S$ और $S'$ $(\pm ae, 0)$ पर हैं, अतः $S = (\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$ और $S' = (-\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$ है।
दीर्घवृत्त धनात्मक $Y$-अक्ष को $A(0, 1/3)$ पर काटता है।
$\Delta SAS'$ का आधार $SS' = \frac{\sqrt{5}}{6} - (-\frac{\sqrt{5}}{6}) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $A$ का $y$-निर्देशांक है, जो $1/3$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{5}}{18}$ वर्ग इकाई।

(D) दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ होती हैं। चूँकि रेखा $3x + 2y - 6 = 0$ एक नाभिय जीवा है, यह नाभियों $(\pm ae, 0)$ में से किसी एक से होकर गुजरनी चाहिए।
दिया है $e = 2/3$, नाभियाँ $(\pm \frac{2a}{3}, 0)$ हैं।
स्थिति $1$: रेखा $(\frac{2a}{3}, 0)$ से गुजरती है $\implies 3(\frac{2a}{3}) + 2(0) - 6 = 0 \implies 2a = 6 \implies a = 3$।
स्थिति $2$: रेखा $(-\frac{2a}{3}, 0)$ से गुजरती है $\implies 3(-\frac{2a}{3}) + 2(0) - 6 = 0 \implies -2a = 6 \implies a = -3$ (संभव नहीं क्योंकि $a > 0$)।
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर, $b^2 = 3^2(1 - (2/3)^2) = 9(1 - 4/9) = 9(5/9) = 5$।
अतः, $a^2 + b^2 = 3^2 + 5 = 9 + 5 = 14$।

(A) चरण $1$: $x$ और $y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण को पुनः लिखें।
$7(x^2 - 2x) + 16(y^2 + 4y) = 377$
चरण $2$: वर्ग पूर्ण करने के लिए अचर जोड़ें।
$7(x^2 - 2x + 1) + 16(y^2 + 4y + 4) = 377 + 7(1) + 16(4)$
$7(x - 1)^2 + 16(y + 2)^2 = 377 + 7 + 64 = 448$
चरण $3$: मानक रूप प्राप्त करने के लिए $448$ से विभाजित करें।
$\frac{7(x - 1)^2}{448} + \frac{16(y + 2)^2}{448} = 1$
$\frac{(x - 1)^2}{64} + \frac{(y + 2)^2}{28} = 1$
चरण $4$: $a^2$ और $b^2$ की पहचान करें। यहाँ $a^2 = 64$ और $b^2 = 28$ है।
चरण $5$: उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ की गणना करें।
$e = \sqrt{1 - \frac{28}{64}} = \sqrt{\frac{64 - 28}{64}} = \sqrt{\frac{36}{64}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ है, जहाँ $a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ है। अतः $a = 5$ और $b = 3$ है।
दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु को $(a \cos \theta, b \sin \theta) = (5 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
केंद्र $(0, 0)$ से इस बिंदु की दूरी $5$ दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए: $\sqrt{(5 \cos \theta - 0)^2 + (3 \sin \theta - 0)^2} = 5$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25 \cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta = 25$।
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर: $25(1 - \sin^2 \theta) + 9 \sin^2 \theta = 25$।
$25 - 25 \sin^2 \theta + 9 \sin^2 \theta = 25$।
$-16 \sin^2 \theta = 0$, जिसका अर्थ है $\sin \theta = 0$।
अतः, $\theta = 0$ या $\pi$।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $16x^2 + 25y^2 = 400$ है। $400$ से भाग देने पर, हमें $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ, $a^2 = 25$ और $b^2 = 16$, इसलिए $a = 5$ और $b = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
नाभियाँ $S(ae, 0) = (3, 0)$ और $S'(-ae, 0) = (-3, 0)$ हैं।
माना $P = (x_0, y_0)$ है। $\Delta PSS'$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (SS') \times |y_0| = 9$ है।
दूरी $SS' = 2ae = 2(3) = 6$ है।
अतः, $\frac{1}{2} \times 6 \times |y_0| = 9 \implies 3|y_0| = 9 \implies |y_0| = 3$ है।
चूंकि $P$ दीर्घवृत्त पर स्थित है, $16x_0^2 + 25(3)^2 = 400$ है।
$16x_0^2 + 225 = 400 \implies 16x_0^2 = 175 \implies x_0^2 = \frac{175}{16}$ है।
$x_0 = \pm \frac{\sqrt{25 \times 7}}{4} = \pm \frac{5\sqrt{7}}{4}$ है।
अतः, भुज $\frac{5\sqrt{7}}{4}$ है।