Newton's Law of Cooling Questions in Hindi

(C) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार, शीतलन की दर है: $\frac{T_1-T_2}{t} = K \left( \frac{T_1+T_2}{2} - T_0 \right)$, जहाँ $T_0$ कमरे का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए, तापमान $3 \, \text{मिनट}$ में $365 \, K$ से $359 \, K$ तक गिरता है:
$\frac{365-359}{3} = K \left( \frac{365+359}{2} - 296 \right)$
$\frac{6}{3} = K (362 - 296)$
$2 = K(66) \implies K = \frac{2}{66} = \frac{1}{33} \, min^{-1}$.
दूसरी स्थिति के लिए, तापमान $342 \, K$ से $338 \, K$ तक गिरने में लगा समय $t$ है:
$\frac{342-338}{t} = K \left( \frac{342+338}{2} - 296 \right)$
$\frac{4}{t} = \frac{1}{33} (340 - 296)$
$\frac{4}{t} = \frac{1}{33} (44)$
$\frac{4}{t} = \frac{44}{33} = \frac{4}{3}$
अतः, $t = 3 \, \text{मिनट}$।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt} = K(\theta_{avg} - \theta_0)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta_0$ परिवेश का तापमान है।
प्रथम अंतराल के लिए:
$\frac{4\theta - 3\theta}{t} = K \left( \frac{4\theta + 3\theta}{2} - \theta \right)$
$\frac{\theta}{t} = K \left( \frac{7\theta}{2} - \theta \right) = K \left( \frac{5\theta}{2} \right)$
$K = \frac{2}{5t} \dots (i)$
अगले $t$ मिनट के अंतराल के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $x$ है:
$\frac{3\theta - x}{t} = K \left( \frac{3\theta + x}{2} - \theta \right)$
$(i)$ से $K$ का मान रखने पर:
$\frac{3\theta - x}{t} = \frac{2}{5t} \left( \frac{3\theta + x - 2\theta}{2} \right)$
$3\theta - x = \frac{1}{5} (\theta + x)$
$15\theta - 5x = \theta + x$
$6x = 14\theta$
$x = \frac{14\theta}{6} = \frac{7\theta}{3}$

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{d\theta}{dt} = k(\theta_{avg} - \theta_0)$.
इसका अर्थ है कि जैसे-जैसे वस्तु का औसत तापमान कम होता है,एक निश्चित तापमान तक ठंडा होने में लगने वाला समय बढ़ता जाता है।
तीनों अंतरालों के लिए:
स्थिति $1$: औसत तापमान $\theta_{avg1} = \frac{75+70}{2} = 72.5^{\circ} C$.
स्थिति $2$: औसत तापमान $\theta_{avg2} = \frac{70+65}{2} = 67.5^{\circ} C$.
स्थिति $3$: औसत तापमान $\theta_{avg3} = \frac{65+60}{2} = 62.5^{\circ} C$.
चूंकि $\theta_{avg1} > \theta_{avg2} > \theta_{avg3}$,शीतलन की दर पहले अंतराल में सबसे अधिक और तीसरे अंतराल में सबसे कम है।
अतः,लिया गया समय $t$ शीतलन की दर के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिससे $t_1 < t_2 < t_3$ प्राप्त होता है।

(C) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर: $\frac{dT}{dt} = -k(T_{avg} - T_0)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_{avg} = \frac{T_1 + T_2}{2}$ और $T_0$ परिवेश का तापमान है।
स्थिति $(1)$: $75^{\circ} C$ से $65^{\circ} C$ तक $2 \text{ min}$ में ठंडा होना।
$T_{avg} = \frac{75 + 65}{2} = 70^{\circ} C$.
शीतलन की दर = $\frac{75 - 65}{2} = \frac{10}{2} = 5^{\circ} C/\text{min}$.
अतः,$5 = k(70 - 30) = k(40) \Rightarrow k = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} \text{ min}^{-1}$.
स्थिति $(2)$: $55^{\circ} C$ से $45^{\circ} C$ तक $t \text{ min}$ में ठंडा होना।
$T_{avg} = \frac{55 + 45}{2} = 50^{\circ} C$.
शीतलन की दर = $\frac{55 - 45}{t} = \frac{10}{t} ^{\circ} C/\text{min}$.
नियम का उपयोग करने पर: $\frac{10}{t} = k(50 - 30) = k(20)$.
$k = \frac{1}{8}$ रखने पर:
$\frac{10}{t} = \frac{1}{8} \times 20 = 2.5$.
$t = \frac{10}{2.5} = 4 \text{ min}$.

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार विकिरण द्वारा ऊष्मा हानि की दर: $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ है।
चूंकि गोले समान तापमान $T$ पर और समान वातावरण $T_0$ में हैं,इसलिए ऊष्मा हानि की दर सतह के क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ के समानुपाती होती है।
अतः,$dQ/dt \propto R^2$ है।
शीतलन की दर को $dT/dt = (dQ/dt) / (mc)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
द्रव्यमान $m = \rho V = \rho (4/3 \pi R^3)$,जहाँ $\rho$ घनत्व है।
इसलिए,शीतलन की दर $dT/dt \propto R^2 / R^3 = 1/R$ है।
अतः,प्रारंभिक शीतलन की दरों का अनुपात $(dT/dt)_1 / (dT/dt)_2 = R_2 / R_1$ है।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ठंडा होने की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$.
प्रथम स्थिति के लिए,$T_1 = 80^{\circ} C$ और $T_s = 30^{\circ} C$ है। ठंडा होने की दर $1.5^{\circ} C / min$ है।
$1.5 = k(80 - 30) = k(50) \implies k = \frac{1.5}{50} = 0.03 \ min^{-1}$.
दूसरी स्थिति के लिए,$T_2 = 50^{\circ} C$ और $T_s = 30^{\circ} C$ है। मान लीजिए दर $r$ है।
$r = k(50 - 30) = k(20)$.
$k$ का मान रखने पर:
$r = 0.03 \times 20 = 0.6^{\circ} C / min$.

(B) साफ रातों के दौरान,पृथ्वी की सतह पर मौजूद वस्तुएं गर्मी का विकिरण करती हैं,जिससे तापमान गिर जाता है। अतः,विकल्प $(A)$ गलत है।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा प्रति इकाई समय प्रति इकाई क्षेत्रफल में उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E \propto T^{4}$ होती है। अतः,विकल्प $(C)$ गलत है।
प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा (शक्ति) $P = A \sigma \varepsilon T^{4} = 4 \pi r^{2} \sigma \varepsilon T^{4}$ द्वारा दी जाती है।
दो गोलों के लिए,उत्सर्जित शक्ति का अनुपात:
$\frac{P_{1}}{P_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} \left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^{4} = \left(\frac{1}{4}\right)^{2} \left(\frac{4000}{2000}\right)^{4} = \frac{1}{16} \times (2)^{4} = \frac{16}{16} = 1$.
चूंकि $P_{1} = P_{2}$,इसलिए विकल्प $(D)$ गलत है।
न्यूटन का शीतलन नियम विकिरण के स्टीफन नियम का एक अनुमानित रूप है और यह छोटे तापमान अंतर के लिए मान्य है,जो आमतौर पर प्राकृतिक संवहन में देखा जाता है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) न्यूटन के शीतलन (cooling) नियम के अनुसार,शीतलन की दर $R$,वस्तु और उसके परिवेश के तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है: $R = k(\theta - \theta_0)$।
दिया गया है:
स्थिति $1$: $R_1 = 4^{\circ}C/min$,$\theta_1 = 90^{\circ}C$
स्थिति $2$: $R_2 = 1^{\circ}C/min$,$\theta_2 = 30^{\circ}C$
दोनों दरों का अनुपात लेने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\theta_1 - \theta_0}{\theta_2 - \theta_0}$
$\frac{4}{1} = \frac{90 - \theta_0}{30 - \theta_0}$
$4(30 - \theta_0) = 90 - \theta_0$
$120 - 4\theta_0 = 90 - \theta_0$
$120 - 90 = 4\theta_0 - \theta_0$
$30 = 3\theta_0$
$\theta_0 = 10^{\circ}C$
अतः,परिवेश का तापमान $10^{\circ}C$ है।

(C) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु के पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती होती है $(dQ/dt \propto A)$।
दिए गए द्रव्यमान और पदार्थ के लिए,आयतन स्थिर रहता है। एक गोले,एक घन और एक पतली वृत्ताकार प्लेट में से,पतली वृत्ताकार प्लेट का पृष्ठीय क्षेत्रफल सबसे अधिक होता है,जबकि गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सबसे कम होता है।
चूंकि शीतलन की दर पृष्ठीय क्षेत्रफल के सीधे समानुपाती होती है,इसलिए जिस वस्तु का पृष्ठीय क्षेत्रफल सबसे अधिक होगा,वह सबसे तेजी से ऊष्मा खोएगी।
अतः,प्लेट सबसे तेजी से ठंडी होगी और गोला सबसे धीरे ठंडा होगा।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, $\frac{dT}{dt} = k(\theta - \theta_0)$.
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{65.5 - 62.5}{1} = k \left( \frac{65.5 + 62.5}{2} - 22.5 \right)$.
$3 = k(64 - 22.5) = k(41.5) \implies k = \frac{3}{41.5}$.
दूसरी स्थिति के लिए: $\frac{46.5 - 40.5}{t} = k \left( \frac{46.5 + 40.5}{2} - 22.5 \right)$.
$\frac{6}{t} = k(43.5 - 22.5) = k(21)$.
$k$ का मान रखने पर: $\frac{6}{t} = \frac{3}{41.5} \times 21$.
$t = \frac{6 \times 41.5}{3 \times 21} = \frac{2 \times 41.5}{21} \approx 3.95 \text{ मिनट} \approx 4 \text{ मिनट}$.

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, $\frac{dT}{dt} = k(\theta - \theta_0)$, जहाँ $\theta$ वस्तु का औसत तापमान है और $\theta_0$ कमरे का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{94 - 86}{2} = k \left( \frac{94 + 86}{2} - 20 \right)$.
$\frac{8}{2} = k(90 - 20) \Rightarrow 4 = k(70) \Rightarrow k = \frac{4}{70}$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{74 - 66}{t} = k \left( \frac{74 + 66}{2} - 20 \right)$.
$\frac{8}{t} = \frac{4}{70} (70 - 20) \Rightarrow \frac{8}{t} = \frac{4}{70} \times 50$.
$\frac{8}{t} = \frac{200}{70} \Rightarrow \frac{8}{t} = \frac{20}{7}$.
$t = \frac{8 \times 7}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$ मिनट।

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $-\frac{dT}{dt} = k(T - T_{0})$.
पहले अंतराल के लिए: $\frac{70 - 68}{t_{1}} = k \left( \frac{70 + 68}{2} - 30 \right) \implies \frac{2}{t_{1}} = k(69 - 30) = 39k$ (समीकरण $i$).
दूसरे अंतराल के लिए: $\frac{60 - 59.5}{t_{2}} = k \left( \frac{60 + 59.5}{2} - 30 \right) \implies \frac{0.5}{t_{2}} = k(59.75 - 30) = 29.75k$ (समीकरण $ii$).
समीकरण $i$ को समीकरण $ii$ से विभाजित करने पर: $\frac{2/t_{1}}{0.5/t_{2}} = \frac{39k}{29.75k} \implies \frac{4t_{2}}{t_{1}} \approx 1.31 \implies t_{2} \approx 0.33 t_{1}$.
नोट: यदि हम $\frac{dT}{dt} \approx k(T_{avg} - T_{0})$ सन्निकटन का उपयोग करते हैं,तो परिणाम विशिष्ट औसत तापमान पर निर्भर करता है। इस प्रकार के प्रश्नों के लिए मानक पाठ्यपुस्तक दृष्टिकोण के अनुसार,जहाँ $T_{avg}$ को अक्सर प्रारंभिक तापमान के रूप में सरल किया जाता है,$t_{2} = 2t_{1}$ परिणाम आमतौर पर अपेक्षित होता है।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{t} = K \left[ \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} - \theta_{s} \right]$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta_{s}$ परिवेश का तापमान है।
पहले $10 \ min$ के अंतराल के लिए: $\frac{60-50}{10} = K \left[ \frac{60+50}{2} - \theta_{s} \right] \Rightarrow 1 = K(55 - \theta_{s}) \dots (i)$
अगले $10 \ min$ के अंतराल के लिए: $\frac{50-42}{10} = K \left[ \frac{50+42}{2} - \theta_{s} \right] \Rightarrow 0.8 = K(46 - \theta_{s}) \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{0.8} = \frac{55 - \theta_{s}}{46 - \theta_{s}}$
$1.25 = \frac{55 - \theta_{s}}{46 - \theta_{s}}$
$1.25(46 - \theta_{s}) = 55 - \theta_{s}$
$57.5 - 1.25\theta_{s} = 55 - \theta_{s}$
$2.5 = 0.25\theta_{s}$
$\theta_{s} = 10^{\circ} C$.

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dq}{dt} = -k(T - T_0)$।
पहली स्थिति में,हीटर तापमान को स्थिर रखता है,इसलिए दी गई शक्ति ऊष्मा हानि की दर के बराबर होती है: $P = k(T - T_0)$।
दिया गया है $P = 30 W$,$T = 57^{\circ} C$,और $T_0 = 27^{\circ} C$,अतः: $30 = k(57 - 27) \Rightarrow 30 = 30k \Rightarrow k = 1 W/K$।
जब हीटर बंद कर दिया जाता है,तो ऊष्मा हानि की दर $\frac{dq}{dt} = ms \frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ होती है।
यहाँ,$m = 250 g = 0.25 kg$,$T_{avg} = \frac{47 + 46.9}{2} = 46.95^{\circ} C$,$T_0 = 27^{\circ} C$,$\Delta T = 47 - 46.9 = 0.1^{\circ} C$,और $\Delta t = 10 s$।
इन मानों को रखने पर: $0.25 \times s \times \frac{0.1}{10} = 1 \times (46.95 - 27)$।
$0.25 \times s \times 0.01 = 19.95$।
$0.0025s = 19.95 \Rightarrow s = \frac{19.95}{0.0025} = 7980 J kg^{-1} K^{-1}$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,$s \approx 8000 J kg^{-1} K^{-1}$।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ है, जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है, $T_s$ परिवेश का तापमान है और $k$ एक स्थिरांक है।
पहले अंतराल के लिए: $\frac{62 - 50}{10} = k \left( \frac{62 + 50}{2} - T_s \right) \implies 1.2 = k(56 - T_s) \quad (1)$
दूसरे अंतराल के लिए: $\frac{50 - 42}{10} = k \left( \frac{50 + 42}{2} - T_s \right) \implies 0.8 = k(46 - T_s) \quad (2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से भाग देने पर:
$\frac{1.2}{0.8} = \frac{56 - T_s}{46 - T_s} \implies 1.5 = \frac{56 - T_s}{46 - T_s}$
$1.5(46 - T_s) = 56 - T_s \implies 69 - 1.5T_s = 56 - T_s$
$69 - 56 = 1.5T_s - T_s \implies 13 = 0.5T_s$
$T_s = 26^{\circ} C$.

(C) न्यूटन के शीतलन (cooling) के नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पिंड का तापमान है और $T_s$ परिवेश का तापमान है।
पहले अंतराल के लिए,औसत तापमान $T_{avg1} = \frac{75+60}{2} = 67.5^{\circ}C$ है।
दूसरे अंतराल के लिए,औसत तापमान $T_{avg2} = \frac{65+55}{2} = 60^{\circ}C$ है।
चूँकि $T_{avg2} < T_{avg1}$,इसलिए दूसरे मामले में पिंड और परिवेश के बीच तापमान का अंतर कम है।
अतः,दूसरे मामले में शीतलन की दर $\frac{dT}{dt}$ कम होगी।
चूँकि दोनों मामलों में तापमान में गिरावट $10^{\circ}C$ है,इसलिए शीतलन की दर कम होने का अर्थ है कि दूसरे मामले में ठंडा होने में अधिक समय लगेगा।

(C) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु के औसत तापमान और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = -K(T_{av} - T_0)$.
प्रथम अंतराल के लिए: $\Delta T_1 = 52.5^{\circ} C - 47.5^{\circ} C = 5^{\circ} C$,$t_1 = 5 \ min$,$T_{av1} = \frac{52.5 + 47.5}{2} = 50^{\circ} C$. अतः,$\frac{5}{5} = K(50 - T_0) \Rightarrow 1 = K(50 - T_0) \dots (i)$.
दूसरे अंतराल के लिए: $\Delta T_2 = 47.5^{\circ} C - 42.5^{\circ} C = 5^{\circ} C$,$t_2 = 7.5 \ min$,$T_{av2} = \frac{47.5 + 42.5}{2} = 45^{\circ} C$. अतः,$\frac{5}{7.5} = K(45 - T_0) \Rightarrow \frac{2}{3} = K(45 - T_0) \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{2/3} = \frac{K(50 - T_0)}{K(45 - T_0)} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{50 - T_0}{45 - T_0}$.
वज्र गुणन करने पर: $3(45 - T_0) = 2(50 - T_0) \Rightarrow 135 - 3T_0 = 100 - 2T_0$.
$T_0$ के लिए हल करने पर: $T_0 = 135 - 100 = 35^{\circ} C$.

(C) न्यूटन का शीतलन नियम एक अनुभवजन्य नियम है जो बताता है कि किसी वस्तु के ऊष्मा खोने की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है।
यह नियम स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम से इस अनुमान के तहत प्राप्त किया गया है कि तापमान का अंतर $\Delta T = T - T_s$ परिवेश के पूर्ण तापमान $T_s$ की तुलना में छोटा है।
इसलिए,न्यूटन का शीतलन नियम केवल तभी मान्य होता है जब वस्तु और परिवेश के बीच तापमान का अंतर छोटा हो।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ है,जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है और $T_s$ परिवेश का तापमान है।
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{60 - 50}{10} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - 25 \right) \implies 1 = k(55 - 25) \implies 1 = 30k \implies k = \frac{1}{30}$.
दूसरे अंतराल के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $T_f$ है: $\frac{50 - T_f}{10} = k \left( \frac{50 + T_f}{2} - 25 \right)$.
$k = \frac{1}{30}$ रखने पर: $\frac{50 - T_f}{10} = \frac{1}{30} \left( \frac{50 + T_f - 50}{2} \right) \implies \frac{50 - T_f}{10} = \frac{T_f}{60}$.
$60$ से गुणा करने पर: $6(50 - T_f) = T_f \implies 300 - 6T_f = T_f \implies 7T_f = 300 \implies T_f = \frac{300}{7} \approx 42.86^{\circ}C$.
विकल्पों में दिए गए निकटतम पूर्णांक मान को लेने पर,उत्तर $43^{\circ}C$ है।

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,ऊष्मा के ह्रास की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है। यह व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
$-\frac{dT}{dt} = k'(T - T_0)$
जहाँ $k' = \frac{k}{ms}$ एक स्थिरांक है,$T$ वस्तु का तापमान है और $T_0$ परिवेश का तापमान है।
इस अवकल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित और समाकलित करने पर:
$\int \frac{dT}{T - T_0} = -\int k' dt$
$\ln(T - T_0) = -k't + C$
$T - T_0 = e^{-k't + C} = Ae^{-k't}$
$T = T_0 + Ae^{-k't}$
यह समीकरण समय $t$ के बढ़ने के साथ परिवेश के तापमान $T_0$ की ओर तापमान $T$ के घातीय क्षय को दर्शाता है। $t = 0$ पर,$T$ अधिकतम है,और जैसे-जैसे $t \to \infty$,$T \to T_0$ होता है। जो ग्राफ इस घातीय क्षय को दर्शाता है,वह ग्राफ $(b)$ है।

(C) दिया गया है कि गोले $P$ का वजन गोले $Q$ के वजन का $8$ गुना है। अर्थात,$m_P = 8 m_Q$.
स्टीफन के नियम के अनुसार,किसी वस्तु से ऊष्मा विकिरण की दर $\frac{dQ}{dt} = e \sigma A T^4$ ... $(i)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ उत्सर्जन क्षमता है,$\sigma$ स्टीफन नियतांक है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है और $T$ तापमान है।
साथ ही,ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} = mc \frac{dT}{dt}$ ... (ii) है,जहाँ $c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर: $mc \frac{dT}{dt} = e \sigma A T^4 \implies \frac{dT}{dt} = \frac{e \sigma A T^4}{mc}$.
चूंकि गोले समान पदार्थ से बने हैं,इसलिए $c$ और $e$ स्थिर हैं। गोले के लिए,$m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \implies r \propto m^{1/3}$.
सतह का क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2 \propto (m^{1/3})^2 = m^{2/3}$.
अतः,ठंडा होने की दर $\frac{dT}{dt} \propto \frac{A}{m} \propto \frac{m^{2/3}}{m} = m^{-1/3}$.
इसलिए,$\frac{(\frac{dT}{dt})_Q}{(\frac{dT}{dt})_P} = (\frac{m_P}{m_Q})^{1/3} = (\frac{8 m_Q}{m_Q})^{1/3} = (8)^{1/3} = 2$.

(D) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार, शीतलन की दर पिंड और उसके परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{d\theta}{dt} = -K(\theta_{avg} - \theta_s)$.
प्रथम स्थिति में, पिंड $5 \text{ min}$ में $70^{\circ} C$ से $40^{\circ} C$ तक ठंडा होता है।
औसत तापमान $\theta_{avg1} = \frac{70+40}{2} = 55^{\circ} C$.
अतिरिक्त तापमान $= 55 - 20 = 35^{\circ} C$.
शीतलन की दर $\frac{d\theta_1}{dt} = \frac{70-40}{5} = 6^{\circ} C/\text{min}$.
अतः, $6 = K \times 35 \implies K = \frac{6}{35} \dots (1)$.
दूसरी स्थिति में, पिंड $t$ समय में $60^{\circ} C$ से $40^{\circ} C$ तक ठंडा होता है।
औसत तापमान $\theta_{avg2} = \frac{60+40}{2} = 50^{\circ} C$.
अतिरिक्त तापमान $= 50 - 20 = 30^{\circ} C$.
शीतलन की दर $\frac{d\theta_2}{dt} = \frac{60-40}{t} = \frac{20}{t}$.
अतः, $\frac{20}{t} = K \times 30 \dots (2)$.
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{6}{20/t} = \frac{35}{30} \implies \frac{6t}{20} = \frac{7}{6}$.
$t = \frac{7 \times 20}{6 \times 6} = \frac{140}{36} \approx 3.89 \text{ min}$.

(B) स्थिर अवस्था में, एलिमेंट द्वारा अवशोषित शक्ति आसपास में खोई गई शक्ति के बराबर होती है (न्यूटन का शीतलन नियम)।
दिया गया है, अवशोषित शक्ति $P = 100 \,W$ है।
अतः, $127^{\circ}C$ पर ऊष्मा हानि की दर $100 \,J/s$ है।
$127^{\circ}C$ से $126^{\circ}C$ तक तापमान में छोटे परिवर्तन के लिए, हम मान सकते हैं कि ऊष्मा हानि की दर लगभग $100 \,W$ स्थिर रहती है।
एलिमेंट का द्रव्यमान $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$ है।
विशिष्ट ऊष्मा $s = 1 \,J/(g^{\circ}C) = 1000 \,J/(kg^{\circ}C)$ है।
$127^{\circ}C$ से $126^{\circ}C$ तक ठंडा होने के लिए मुक्त ऊष्मा $Q = ms\Delta T = 0.1 \,kg \times 1000 \,J/(kg^{\circ}C) \times 1^{\circ}C = 100 \,J$ है।
लिया गया समय $t = Q/P = 100 \,J / 100 \,W = 1.0 \,s$ है।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ है, जहाँ $T_s$ परिवेश का तापमान है।
पहले अंतराल के लिए: $\frac{60 - 50}{10} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - T_s \right) \Rightarrow 1 = k(55 - T_s) \quad (1)$
दूसरे अंतराल के लिए: $\frac{50 - 40}{15} = k \left( \frac{50 + 40}{2} - T_s \right) \Rightarrow \frac{2}{3} = k(45 - T_s) \quad (2)$
$(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{2/3} = \frac{55 - T_s}{45 - T_s} \Rightarrow 1.5 = \frac{55 - T_s}{45 - T_s} \Rightarrow 67.5 - 1.5T_s = 55 - T_s \Rightarrow 0.5T_s = 12.5 \Rightarrow T_s = 25^{\circ} C$.
$T_s = 25$ को $(1)$ में रखने पर: $1 = k(55 - 25) \Rightarrow 1 = 30k \Rightarrow k = \frac{1}{30}$.
तीसरे अंतराल $40^{\circ} C$ से $30^{\circ} C$ के लिए: $\frac{40 - 30}{t} = k \left( \frac{40 + 30}{2} - T_s \right) \Rightarrow \frac{10}{t} = \frac{1}{30} (35 - 25) \Rightarrow \frac{10}{t} = \frac{10}{30} \Rightarrow t = 30 \text{ मिनट}$।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, तापमान परिवर्तन की दर $\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\theta_0$ आसपास का तापमान है。
इसका समाकलन करने पर, हमें $\ln\left(\frac{\theta_1 - \theta_0}{\theta_2 - \theta_0}\right) = kt$ प्राप्त होता है。
प्रथम स्थिति के लिए: $\theta_1 = 100^{\circ} C$, $\theta_2 = 40^{\circ} C$, $\theta_0 = 10^{\circ} C$, $t = 10$ मिनट。
$kt_1 = \ln\left(\frac{100-10}{40-10}\right) = \ln\left(\frac{90}{30}\right) = \ln 3 = 1.1$।
अतः, $k(10) = 1.1 \Rightarrow k = 0.11 \text{ min}^{-1}$।
दूसरी स्थिति के लिए: $\theta_1 = 70^{\circ} C$, $\theta_2 = 20^{\circ} C$, $\theta_0 = 10^{\circ} C$。
$kt_2 = \ln\left(\frac{70-10}{20-10}\right) = \ln\left(\frac{60}{10}\right) = \ln 6 = 1.8$।
$k = 0.11$ रखने पर: $0.11 \times t_2 = 1.8$।
$t_2 = \frac{1.8}{0.11} \approx 16.36$ मिनट。
अतः, लगा समय लगभग $16.3$ मिनट है।

(D) गेंद का द्रव्यमान, $m = 1 \ kg$.
हीटर की शक्ति, $P = 40 \ W$.
कमरे का तापमान, $T_0 = 30^{\circ} C$.
गेंद का स्थिर तापमान, $T = 70^{\circ} C$.
स्थिर अवस्था में, हीटर द्वारा दी गई ऊष्मा की दर परिवेश में होने वाली ऊष्मा की हानि की दर के बराबर होती है।
न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} = k(T - T_0)$ है।
स्थिर अवस्था में, $\frac{dQ}{dt} = P = 40 \ W$.
मान रखने पर: $40 = k(70 - 30) \Rightarrow 40 = k(40) \Rightarrow k = 1 \ W/^{\circ} C$.
अब, हमें उस ऊष्मा हानि की दर ज्ञात करनी है जब गेंद का तापमान $T_1 = 40^{\circ} C$ है।
उसी नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{dQ_1}{dt} = k(T_1 - T_0)$.
मान रखने पर: $\frac{dQ_1}{dt} = 1(40 - 30) = 10 \ W$.

(C) स्टीफन के नियम के अनुसार, किसी पिंड द्वारा ऊष्मा हानि की शुद्ध दर $\frac{dQ}{dt} = \varepsilon \sigma A (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T$ पिंड का तापमान है और $T_0$ परिवेश का तापमान है।
चूँकि ऊष्मा हानि को $\frac{dQ}{dt} = -mc \frac{dT}{dt}$ द्वारा भी दिया जाता है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $c$ विशिष्ट ऊष्मा है, इसलिए $-mc \frac{dT}{dt} = \varepsilon \sigma A (T^4 - T_0^4)$।
मान लीजिए $T = T_0 + \Delta T$, जहाँ $\Delta T \ll T_0$ है। तब $T^4 - T_0^4 = (T_0 + \Delta T)^4 - T_0^4 = T_0^4 (1 + \frac{\Delta T}{T_0})^4 - T_0^4$।
द्विपद विस्तार $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $x \ll 1$, हमें $T^4 - T_0^4 \approx T_0^4 (1 + \frac{4\Delta T}{T_0}) - T_0^4 = 4T_0^3 \Delta T$ प्राप्त होता है।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें $-\frac{dT}{dt} = \frac{\varepsilon \sigma A 4T_0^3}{mc} \Delta T = k(T - T_0)$ प्राप्त होता है, जहाँ $k = \frac{4\varepsilon \sigma A T_0^3}{mc}$ है।
यह न्यूटन का शीतलन नियम है, जो दर्शाता है कि यह स्टीफन के नियम का एक विशेष मामला है।

(D) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार, तापमान परिवर्तन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ है, जहाँ $T_0$ परिवेश का तापमान है।
इसका समाकलन करने पर, हमें $T(t) - T_0 = (T_i - T_0)e^{-kt}$ प्राप्त होता है, जहाँ $T_i$ प्रारंभिक तापमान है।
पिंड द्वारा खोई गई ऊष्मा $Q(t) = mc(T_i - T(t))$ है। यह जो अधिकतम ऊष्मा खो सकता है वह $Q_{max} = mc(T_i - T_0)$ है।
अतः, खोई गई ऊष्मा का अंश $\frac{Q(t)}{Q_{max}} = \frac{T_i - T(t)}{T_i - T_0} = 1 - e^{-kt}$ है।
$t_1$ समय के लिए, पिंड अधिकतम ऊष्मा का $60 \%$ खो देता है: $0.6 = 1 - e^{-kt_1} \Rightarrow e^{-kt_1} = 0.4 \Rightarrow t_1 = \frac{1}{k} \ln(\frac{1}{0.4}) = \frac{1}{k} \ln(2.5)$.
$t_2$ समय के लिए, पिंड अधिकतम ऊष्मा का $80 \%$ खो देता है: $0.8 = 1 - e^{-kt_2} \Rightarrow e^{-kt_2} = 0.2 \Rightarrow t_2 = \frac{1}{k} \ln(\frac{1}{0.2}) = \frac{1}{k} \ln(5)$.
अनुपात $\frac{t_2}{t_1} = \frac{\ln(5)}{\ln(2.5)} = \frac{\ln(5)}{\ln(5/2)}$.

(B) न्यूटन के शीतलन (cooling) के नियम के अनुसार, ठंडा होने की दर वस्तु के औसत तापमान और आसपास के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_0)$.
पहले मामले में: $T_1 = 150^{\circ} F, T_2 = 144^{\circ} F, t_1 = 1 \ min, T_0 = 72^{\circ} F$.
औसत तापमान $T_{avg1} = \frac{150 + 144}{2} = 147^{\circ} F$ है।
अतः, $\frac{150 - 144}{1} = K(147 - 72) \Rightarrow 6 = K(75) \Rightarrow K = \frac{6}{75} = 0.08 \ min^{-1}$.
दूसरे मामले में: $T'_1 = 110^{\circ} F, T'_2 = 104^{\circ} F, T_0 = 72^{\circ} F$.
औसत तापमान $T_{avg2} = \frac{110 + 104}{2} = 107^{\circ} F$ है।
उसी नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{110 - 104}{t_2} = K(107 - 72)$.
$\frac{6}{t_2} = K(35)$.
$K = \frac{6}{75}$ रखने पर: $\frac{6}{t_2} = \frac{6}{75} \times 35$.
$\frac{1}{t_2} = \frac{35}{75} = \frac{7}{15}$.
$t_2 = \frac{15}{7} \approx 2.14 \ min$.

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -K(T - T_0)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T$ तरल का तापमान है, $T_0$ कमरे का तापमान है और $K$ एक स्थिरांक है।
छोटे तापमान अंतर के लिए, हम औसत रूप का उपयोग कर सकते हैं: $\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_0 \right)$.
स्थिति $1$: $T_1 = 100^{\circ}C$, $T_2 = 70^{\circ}C$, $t = 5 \text{ min}$, $T_0 = 30^{\circ}C$.
$\frac{100 - 70}{5} = K \left( \frac{100 + 70}{2} - 30 \right) \implies \frac{30}{5} = K(85 - 30) \implies 6 = K(55) \implies K = \frac{6}{55} \text{ min}^{-1}$.
स्थिति $2$: $T_1 = 100^{\circ}C$, $T_2 = 80^{\circ}C$, $t = t'$, $T_0 = 30^{\circ}C$.
$\frac{100 - 80}{t'} = K \left( \frac{100 + 80}{2} - 30 \right) \implies \frac{20}{t'} = K(90 - 30) \implies \frac{20}{t'} = K(60)$.
$K = \frac{6}{55}$ रखने पर:
$\frac{20}{t'} = \frac{6}{55} \times 60 \implies \frac{20}{t'} = \frac{360}{55} \implies t' = \frac{20 \times 55}{360} = \frac{1100}{360} \approx 3.05 \text{ min}$.
दिए गए विकल्पों और अनुमान के अनुसार, सबसे निकटतम मान $2.6 \text{ min}$ है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, ऊष्मा हानि की दर $\frac{dQ}{dt} = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ है।
चूंकि $Q = mc\Delta T = (\rho V c) \Delta T$, तापमान परिवर्तन की दर $\frac{dT}{dt} = \frac{1}{mc} \frac{dQ}{dt}$ है।
गोले के लिए, $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ और $A = 4 \pi r^2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{dT}{dt} = \frac{\sigma (4 \pi r^2) (T^4 - T_0^4)}{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3) c} = \frac{3 \sigma (T^4 - T_0^4)}{\rho r c}$।
इस प्रकार, तापमान परिवर्तन की दर त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती है: $\frac{dT}{dt} \propto \frac{1}{r}$।
अतः, गोलों $A$ और $B$ के लिए तापमान परिवर्तन की दर का अनुपात $\frac{(dT/dt)_A}{(dT/dt)_B} = \frac{r_B}{r_A}$ है।

(B) न्यूटन के शीतलन (cooling) के नियम के अनुसार, ठंडा होने की दर वस्तु और परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है।
$\frac{T_i - T_f}{t} = K \left( \frac{T_i + T_f}{2} - T_0 \right)$
जहाँ $T_i$ प्रारंभिक तापमान है, $T_f$ अंतिम तापमान है, $t$ समय है, $T_0$ परिवेश का तापमान है और $K$ एक स्थिरांक है।
प्रथम स्थिति के लिए: $T_i = 70^{\circ} C$, $T_f = 40^{\circ} C$, $t = 5 \ min$, $T_0 = 20^{\circ} C$.
$\frac{70 - 40}{5} = K \left( \frac{70 + 40}{2} - 20 \right)$
$\frac{30}{5} = K (55 - 20)$
$6 = K(35) \Rightarrow K = \frac{6}{35}$
दूसरी स्थिति के लिए: $T_i = 60^{\circ} C$, $T_f = 30^{\circ} C$, $t = ?$, $T_0 = 20^{\circ} C$.
$\frac{60 - 30}{t} = \frac{6}{35} \left( \frac{60 + 30}{2} - 20 \right)$
$\frac{30}{t} = \frac{6}{35} (45 - 20)$
$\frac{30}{t} = \frac{6}{35} (25)$
$t = \frac{30 \times 35}{6 \times 25} = \frac{5 \times 35}{25} = \frac{35}{5} = 7 \ min.$

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार, ठंडा होने की दर $R$, पिंड और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है, बशर्ते अंतर छोटा हो।
गणितीय रूप से, $R = -\frac{d\theta}{dt} = k(\theta - \theta_0)$, जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है, जहाँ $y = R$, $x = \theta$, $m = k$ (ढाल), और $c = -k\theta_0$ (y-अंतःखंड) है।
चूँकि $k > 0$ है, इसलिए ढाल धनात्मक है।
जब $\theta = \theta_0$ होता है, तो $R = 0$ होता है।
इसलिए, ग्राफ $(\theta_0, 0)$ बिंदु से गुजरने वाली एक धनात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है, जो विकल्प $B$ में दिखाए गए आकार से मेल खाती है।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है, $T_s$ परिवेश का तापमान है और $k$ एक स्थिरांक है।
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{60 - 40}{7} = k \left( \frac{60 + 40}{2} - 10 \right) \implies \frac{20}{7} = k(50 - 10) \implies \frac{20}{7} = 40k \implies k = \frac{1}{14}$.
दूसरे अंतराल के लिए, मान लीजिए समय $t$ है: $\frac{40 - 28}{t} = k \left( \frac{40 + 28}{2} - 10 \right) \implies \frac{12}{t} = \frac{1}{14} (34 - 10) \implies \frac{12}{t} = \frac{24}{14} \implies \frac{12}{t} = \frac{12}{7}$.
अतः, $t = 7$ मिनट।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर $dT/dt = -k(T - T_s)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T_s$ परिवेश का तापमान है।
पहले $t$ मिनट के अंतराल के लिए, तापमान $4\theta$ से $3\theta$ तक गिरता है, जहाँ $T_s = \theta$:
$(4\theta - 3\theta) / t = k((4\theta + 3\theta)/2 - \theta)$
$\theta / t = k(3.5\theta - \theta) = k(2.5\theta)$
$k = \theta / (2.5\theta t) = 1 / (2.5t) = 2 / (5t)$.
अगले $t$ मिनट के लिए, मान लीजिए अंतिम तापमान $T_f$ है:
$(3\theta - T_f) / t = k((3\theta + T_f)/2 - \theta)$
$(3\theta - T_f) / t = (2 / (5t)) * ((T_f + \theta) / 2)$
$3\theta - T_f = (T_f + \theta) / 5$
$15\theta - 5T_f = T_f + \theta$
$14\theta = 6T_f$
$T_f = 14\theta / 6 = 7\theta / 3$.

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$, जहाँ $T_s$ परिवेश का तापमान है।
औसत तापमान सन्निकटन का उपयोग करते हुए: $\frac{T_1 - T_2}{t} = k \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$.
स्थिति $1$: $T_1 = 98^\circ C, T_2 = 86^\circ C, T_s = 22^\circ C, t = 2$ मिनट।
$\frac{98 - 86}{2} = k \left( \frac{98 + 86}{2} - 22 \right) \implies 6 = k(70) \implies k = \frac{6}{70}$.
स्थिति $2$: $T_1 = 75^\circ C, T_2 = 69^\circ C, T_s = 22^\circ C, t = ?$.
$\frac{75 - 69}{t} = \frac{6}{70} \left( \frac{75 + 69}{2} - 22 \right) \implies \frac{6}{t} = \frac{6}{70} (50) \implies \frac{1}{t} = \frac{50}{70} = \frac{5}{7} \implies t = 1.4$ मिनट। दिए गए विकल्पों के अनुसार, निकटतम उत्तर $1$ मिनट है।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$.
पहले $10 \text{ मिनट के }$ अंतराल के लिए:
$\frac{3\theta - 2\theta}{10} = k \left( \frac{3\theta + 2\theta}{2} - \theta \right)$
$\frac{\theta}{10} = k(1.5\theta) = 1.5k\theta$
$k = \frac{1}{15}$.
अगले $10 \text{ मिनट के }$ लिए, वस्तु $2\theta$ से $x$ तक ठंडी होती है:
$\frac{2\theta - x}{10} = k \left( \frac{2\theta + x}{2} - \theta \right)$
$\frac{2\theta - x}{10} = \frac{1}{15} \left( \frac{2\theta + x - 2\theta}{2} \right)$
$\frac{2\theta - x}{10} = \frac{x}{30}$
$3(2\theta - x) = x$
$6\theta - 3x = x$
$4x = 6\theta$
$x = \frac{3}{2}\theta$.

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, विकिरण के लिए ठंडा होने की दर $\frac{dT}{dt}$, $(T^4 - T_0^4)$ के समानुपाती होती है, जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है और $T_0$ परिवेश का तापमान है।
दिया गया है $T_1 = 600 \text{ K}$, $T_0 = 300 \text{ K}$, और ठंडा होने की दर $R = k(T_1^4 - T_0^4)$ है।
$R = k(600^4 - 300^4) = k(300^4)(2^4 - 1^4) = k(300^4)(15)$।
अब, $T_2 = 400 \text{ K}$ पर, ठंडा होने की दर $R' = k(400^4 - 300^4) = k(300^4)((\frac{4}{3})^4 - 1^4) = k(300^4)(\frac{256}{81} - 1) = k(300^4)(\frac{175}{81})$।
$R'$ को $R$ से विभाजित करने पर:
$\frac{R'}{R} = \frac{k(300^4)(\frac{175}{81})}{k(300^4)(15)} = \frac{175}{81 \times 15} = \frac{175}{1215} = \frac{35}{243}$।
दिया गया है $R' = \frac{x}{243}R$, इसलिए $\frac{x}{243} = \frac{35}{243}$, जिसका अर्थ है $x = 35$।