Radiation by Stefan's Boltzmann Law Questions in Hindi

(D) दिया गया है: $\lambda_1 = 0.26 \mu m$, $\lambda_2 = 0.13 \mu m$.
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda T = \text{नियतांक}$.
इसलिए, $\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{0.13}{0.26} = \frac{1}{2}$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, उत्सर्जन क्षमता $E \propto T^4$ होती है।
अतः, उत्सर्जन क्षमता का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ होगा।
$\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$.
अतः, अनुपात $1:16$ है।

(A) दिया गया है: $\lambda_m = 289.8 \ nm = 289.8 \times 10^{-9} \ m$.
वीन नियतांक $b = 2898 \ \mu m \ K = 2898 \times 10^{-6} \ m \ K$.
स्टीफन नियतांक $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W m^{-2} K^{-4}$.
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = b$.
अतः, तारे का तापमान $T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2898 \times 10^{-6}}{289.8 \times 10^{-9}} = 10^4 \ K$.
विकिरण तीव्रता (उत्सर्जन शक्ति) $E$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $E = \sigma T^4$.
$E = (5.67 \times 10^{-8}) \times (10^4)^4$.
$E = 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{16}$.
$E = 5.67 \times 10^8 \ W/m^2$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, किसी पिंड द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma e A T^4$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गोले समान पदार्थ के हैं, इसलिए उनकी उत्सर्जकता $e$ समान है। गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है।
अतः, विकिरित शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{\sigma e (4 \pi r_1^2) T_1^4}{\sigma e (4 \pi r_2^2) T_2^4} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ होगा।
यहाँ $r_1 = 5 \ m$, $r_2 = 2 \ m$, $T_1 = 200 \ K$, और $T_2 = 250 \ K$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{5}{2} \right)^2 \left( \frac{200}{250} \right)^4$.
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{25}{4} \right) \left( \frac{4}{5} \right)^4 = \left( \frac{25}{4} \right) \left( \frac{256}{625} \right)$.
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{25}{625} \times \frac{256}{4} = \frac{1}{25} \times 64 = \frac{64}{25}$.

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका द्वारा प्रति सेकंड विकिरित ऊष्मीय ऊर्जा $(Q)$ का सूत्र है: $Q = \sigma A T^4$, जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है, $A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है, और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
चूँकि दोनों वस्तुओं $A$ और $B$ के पृष्ठीय क्षेत्रफल समान हैं $(A_A = A_B = A)$, इसलिए विकिरित ऊर्जा का अनुपात होगा:
$\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{\sigma A T_A^4}{\sigma A T_B^4} = \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^4$
तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलने पर:
$T_A = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_B = 177^{\circ} C = 177 + 273 = 450 \ K$
मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{Q_A}{Q_B} = \left(\frac{300}{450}\right)^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^4$
$\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{16}{81}$
अतः, $A$ और $B$ द्वारा प्रति सेकंड विकिरित ऊष्मीय ऊर्जा का अनुपात $16: 81$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका (black body) द्वारा प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा (शक्ति) उसके परम तापमान $(T)$ की चौथी घात के समानुपाती होती है:
$P \propto T^4$
मान लीजिए कि सूर्य का प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ है और प्राप्त होने वाली प्रारंभिक शक्ति $P_1$ है।
जब तापमान दोगुना हो जाता है, तो नया तापमान $T_2 = 2T$ होता है।
नई प्राप्त शक्ति $P_2$ इस प्रकार है:
$P_2 \propto (T_2)^4$
$P_2 \propto (2T)^4$
$P_2 \propto 16T^4$
इसलिए, नई शक्ति और प्रारंभिक शक्ति का अनुपात है:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{16T^4}{T^4} = 16$
अतः, पृथ्वी पर प्राप्त होने वाली ऊर्जा की दर $16$ गुना बढ़ जाएगी।

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, परम तापमान $T$ पर एक निकाय द्वारा विकिरित ऊष्मा ऊर्जा की दर $P = \sigma A e T^{4}$ द्वारा दी जाती है।
जब $T_{1}$ परम तापमान पर स्थित एक निकाय को $T_{2}$ परम तापमान वाले एक घेरे में रखा जाता है, तो ऊष्मा विनिमय की शुद्ध दर $P_{net} = \sigma A e (T_{2}^{4} - T_{1}^{4})$ होती है।
यहाँ, परम तापमान $T_{1} = (t_{1} + 273) \ K$ और $T_{2} = (t_{2} + 273) \ K$ हैं।
चूंकि निकाय कक्ष से ऊष्मा अवशोषित कर रहा है, इसलिए ऊष्मा अवशोषण की दर उनके परम तापमानों की चौथी घात के अंतर के समानुपाती होती है।
अतः, अवशोषित ऊष्मा की दर $(t_{2} + 273)^{4} - (t_{1} + 273)^{4}$ के समानुपाती है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, $T$ तापमान पर एक कृष्णिका द्वारा $T_0$ तापमान वाले वातावरण में ऊष्मा हानि की दर $E \propto (T^4 - T_0^4)$ होती है।
दिए गए तापमान $T_1 = 327^{\circ} C = 600 \ K$, $T_2 = 427^{\circ} C = 700 \ K$ और $T_0 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ हैं।
ऊष्मा हानि की दरों का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$ है।
मान रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{(600)^4 - (300)^4}{(700)^4 - (300)^4}$.
$(100)^4$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{6^4 - 3^4}{7^4 - 3^4} = \frac{1296 - 81}{2401 - 81}$.
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{1215}{2320}$.
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{243}{464}$ प्राप्त होता है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = \text{नियतांक}$, जहाँ $\lambda_m$ वह तरंगदैर्ध्य है जिस पर ऊर्जा घनत्व अधिकतम होता है और $T$ परम तापमान है।
प्रारंभ में, $\lambda_1 = \lambda_0$, इसलिए $T_1 = \frac{C}{\lambda_0}$.
अंत में, $\lambda_2 = \frac{3\lambda_0}{2}$, इसलिए $T_2 = \frac{C}{\lambda_2} = \frac{C}{3\lambda_0/2} = \frac{2C}{3\lambda_0} = \frac{2}{3} T_1$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ है।
विकिरित शक्ति का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$ है।
मान रखने पर, $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{2/3 T_1}{T_1} \right)^4 = \left( \frac{2}{3} \right)^4 = \frac{16}{81}$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, किसी पिंड द्वारा विकिरित शक्ति $P = e \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, $e$ उत्सर्जकता है, $\sigma$ स्टीफन नियतांक है, $A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है और $T$ तापमान है।
$L$ लंबाई और $d$ व्यास (त्रिज्या $r = d/2$) वाले तार का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \pi r L = 2 \pi (d/2) L = \pi d L$ होता है।
शक्ति समीकरण में $A$ का मान रखने पर: $P = e \sigma (\pi d L) T^4$.
उत्सर्जकता $e$ के लिए हल करने पर: $e = \frac{P}{\sigma T^4 \pi d L}$.

(C) किसी पिंड द्वारा उत्सर्जित विकिरण की दर (शक्ति) $P$, स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $P = e \sigma A T^4$, जहाँ $e$ उत्सर्जकता है, $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है, $A$ सतह का क्षेत्रफल है और $T$ परम तापमान है।
कृष्णिका के लिए: $R = 1 \cdot \sigma A T^4$ (क्योंकि कृष्णिका के लिए $e = 1$ होता है)।
दूसरे पिंड के लिए: $P' = e' \sigma A' (T')^4$.
दिया गया है कि $e' = 0.2$, $A' = A$, और $T' = 3T$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P' = 0.2 \cdot \sigma A (3T)^4 = 0.2 \cdot \sigma A (81T^4) = 16.2 \cdot \sigma A T^4$.
चूंकि $R = \sigma A T^4$, इसलिए हमें $P' = 16.2R$ प्राप्त होता है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका (black body) द्वारा प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा (शक्ति) $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है, $A$ सतह का क्षेत्रफल है, और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
प्रारंभिक स्थिति: $P_1 = E = \sigma A T_1^4$, जहाँ $T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$।
अंतिम स्थिति: लंबाई और चौड़ाई को उनके प्रारंभिक मानों के $1/4$ तक कम कर दिया जाता है, इसलिए नया क्षेत्रफल $A' = (A/4) \times (1/4) = A/16$। नया तापमान $T_2 = 327 + 273 = 600 \text{ K}$।
नई शक्ति $P_2 = \sigma A' T_2^4 = \sigma (A/16) (600)^4$।
अनुपात लेने पर: $P_2 / P_1 = [\sigma (A/16) (600)^4] / [\sigma A (300)^4] = (1/16) \times (600/300)^4 = (1/16) \times 2^4 = 16/16 = 1$।
अतः, $P_2 = E$।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका (black body) से विकिरण की दर $E$ उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$.
सबसे पहले, तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_1 = 527 + 273 = 800 \text{ K}$
$T_2 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$
विकिरण की दरों का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$
मान रखने पर:
$\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{800}{400} \right)^4 = (2)^4 = 16$
अतः, अनुपात $16:1$ है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = \text{नियतांक}$, जहाँ $\lambda_m$ वह तरंगदैर्ध्य है जिस पर ऊर्जा घनत्व अधिकतम होता है और $T$ निरपेक्ष तापमान है।
प्रारंभ में, $\lambda_1 = \lambda$ और $T_1 = T$ है।
अंत में, $\lambda_2 = 2\lambda/3$ और $T_2 = T'$ है।
$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$ का उपयोग करने पर, हमें $\lambda T = (2\lambda/3) T'$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $T' = 3T/2$।
कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है, $P = \sigma A T^4$, जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है और $A$ सतह का क्षेत्रफल है।
प्रारंभ में, $P_1 = \sigma A T^4$ है।
अंत में, $P_2 = \sigma A (T')^4 = \sigma A (3T/2)^4 = \sigma A (81/16) T^4$ है।
अतः, विकिरित शक्ति का अनुपात $P_2/P_1 = (81/16) (\sigma A T^4) / (\sigma A T^4) = 81/16$ है।
इस प्रकार, विकिरित शक्ति में $81/16$ गुना की वृद्धि होगी।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $P$ प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा है, $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, $A$ सतह का क्षेत्रफल है और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
प्रारंभिक स्थिति: $P_1 = E$, $A_1 = A$, $T_1 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$.
अतः, $E = \sigma A (400)^4$.
अंतिम स्थिति: लंबाई और चौड़ाई को आधा कर दिया जाता है, इसलिए नया क्षेत्रफल $A_2 = (L/2) \times (B/2) = A/4$ है। नया तापमान $T_2 = 527 + 273 = 800 \text{ K}$ है।
$P_2 = \sigma A_2 T_2^4 = \sigma (A/4) (800)^4$.
अनुपात लेने पर: $P_2 / E = [\sigma (A/4) (800)^4] / [\sigma A (400)^4] = (1/4) \times (800/400)^4 = (1/4) \times (2)^4 = 16/4 = 4$.
इसलिए, $P_2 = 4E$.

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका (black body) द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा (शक्ति) $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है, $A$ सतह का क्षेत्रफल है, और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
प्रारंभिक स्थिति: $P_1 = E$, $A_1 = A$, $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
अतः, $E = \sigma A (300)^4$.
अंतिम स्थिति: लंबाई और चौड़ाई आधी कर दी जाती है, इसलिए $A_2 = (L/2) \times (B/2) = A/4$. तापमान $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$.
नई शक्ति $P_2 = \sigma A_2 T_2^4 = \sigma (A/4) (600)^4$.
अनुपात लेने पर: $P_2 / E = [\sigma (A/4) (600)^4] / [\sigma A (300)^4] = (1/4) \times (600/300)^4 = (1/4) \times (2)^4 = (1/4) \times 16 = 4$.
इसलिए, $P_2 = 4E$.

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = \text{नियतांक}$, जहाँ $\lambda_m$ अधिकतम ऊर्जा के संगत तरंगदैर्ध्य है और $T$ परम तापमान है।
प्रारंभ में, $\lambda_1 = \lambda$, इसलिए $T_1 = \frac{C}{\lambda}$.
अंत में, $\lambda_2 = \frac{2\lambda}{3}$, इसलिए $T_2 = \frac{C}{2\lambda/3} = \frac{3C}{2\lambda} = \frac{3}{2} T_1$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ होती है।
अतः, नई शक्ति $P_2$ और प्रारंभिक शक्ति $P_1$ का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$ है।
मान रखने पर, $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{3/2 T_1}{T_1} \right)^4 = \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{81}{16}$.

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, ऊष्मा हानि की दर $R = \frac{dQ}{dt} \propto (T_b^4 - T_s^4)$ होती है।
प्रथम स्थिति में, $T_b = 3T$ और $T_s = T$:
$R_1 = k ((3T)^4 - T^4) = k (81T^4 - T^4) = 80kT^4$.
द्वितीय स्थिति में, $T_b = 2T$ और $T_s = T$:
$R_2 = k ((2T)^4 - T^4) = k (16T^4 - T^4) = 15kT^4$.
अब, अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{15kT^4}{80kT^4} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}$.
अतः, $R_2 = \frac{3}{16}R_1$.

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, एक कृष्ण पिंड द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है, $A$ सतह का क्षेत्रफल है, और $T$ परम तापमान है।
गोलाकार पिंड के लिए, सतह का क्षेत्रफल $A = 4\pi R^2$ होता है।
अतः, विकिरित शक्ति $P = \sigma (4\pi R^2) T^4$ है।
यह दिया गया है कि दोनों पिंड समान शक्ति का विकिरण करते हैं, इसलिए $P_1 = P_2$ है।
अतः, $\sigma (4\pi R_1^2) T_1^4 = \sigma (4\pi R_2^2) T_2^4$ होगा।
समीकरण को सरल करने पर, हमें $R_1^2 T_1^4 = R_2^2 T_2^4$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $R_1 T_1^2 = R_2 T_2^2$ प्राप्त होता है।
$R_1/R_2$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $\frac{R_1}{R_2} = (\frac{T_2}{T_1})^2$ प्राप्त होता है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका द्वारा ऊर्जा उत्सर्जन की दर (शक्ति $P$) उसके परम तापमान $(T)$ के चतुर्थ घात (केल्विन में) के समानुपाती होती है।
$P \propto T^4$
यहाँ दिया गया तापमान $827^{\circ}\text{C}$ है।
इसे केल्विन $(T)$ में बदलने पर:
$T = 827 + 273 = 1100 \text{ K}$
अतः, ऊर्जा उत्सर्जन की दर $(1100)^4$ के समानुपाती है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, ऊष्मा हानि की शुद्ध दर $P = \sigma A e (T^4 - T_0^4)$ है।
दिया गया है:
गोले का प्रारंभिक तापमान $T_1 = 600 \text{ K}$.
वातावरण का तापमान $T_0 = 200 \text{ K}$.
ठंडे होने की दर $R \propto (T_1^4 - T_0^4)$.
अतः, $R = k(600^4 - 200^4)$.
जब तापमान गिरकर $T_2 = 400 \text{ K}$ हो जाता है, तो नई दर $R' = k(400^4 - 200^4)$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{R'}{R} = \frac{400^4 - 200^4}{600^4 - 200^4} = \frac{(400^2 - 200^2)(400^2 + 200^2)}{(600^2 - 200^2)(600^2 + 200^2)}$
$= \frac{120000 \times 200000}{320000 \times 400000} = \frac{240}{1280} = \frac{3}{16}$.
अतः, $R' = \frac{3}{16}R$.