Fundamentals of Vectors Questions in Hindi

(C) माना कि दो सदिशों का परिमाण $A$ और $B$ है। दिया गया है कि उनका परिमाण समान है,इसलिए $A = B = x$ मान लें।
परिणामी सदिश का परिमाण $R$,सूत्र $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
प्रश्न के अनुसार,सदिशों के परिमाणों के गुणनफल का दोगुना परिणामी सदिश के वर्ग के बराबर है: $2(AB) = R^2$।
$A = x$ और $B = x$ रखने पर,हमें मिलता है $2(x \cdot x) = x^2 + x^2 + 2(x \cdot x) \cos \theta$।
इसे सरल करने पर $2x^2 = 2x^2 + 2x^2 \cos \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $2x^2$ घटाने पर,$0 = 2x^2 \cos \theta$ मिलता है।
चूंकि $x \neq 0$,इसलिए $\cos \theta = 0$ होना चाहिए।
अतः,$\theta = 90^{\circ}$।

(A) बल सदिश $\vec{F} = 4\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
बल का परिमाण $|\vec{F}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
क्षैतिज दिशा में बल का घटक $F_x = 4$ है।
कोण $\theta$ के लिए,$\cos \theta = \frac{F_x}{|\vec{F}|} = \frac{4}{5\sqrt{2}}$.
हर और अंश को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,$\cos \theta = \frac{4\sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right)$.

(C) माना परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ है।
दिया है कि $\vec{R} \perp \vec{A}$,अतः अदिश गुणनफल $\vec{A} \cdot \vec{R} = 0$ होगा।
$\vec{A} \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = 0 \implies A^2 + AB \cos \theta = 0 \implies AB \cos \theta = -A^2$ ... $(i)$
परिणामी सदिश का परिमाण $R = \frac{B}{2}$ दिया है,अतः $R^2 = \frac{B^2}{4}$ होगा।
सदिश योग के नियम के अनुसार,$R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$.
समीकरण $(i)$ का मान रखने पर:
$\frac{B^2}{4} = A^2 + B^2 + 2(-A^2) = B^2 - A^2$.
अतः $A^2 = B^2 - \frac{B^2}{4} = \frac{3B^2}{4}$,जिसका अर्थ है $A = \frac{\sqrt{3}}{2}B$.
अब $A$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$B(\frac{\sqrt{3}}{2}B) \cos \theta = -(\frac{\sqrt{3}}{2}B)^2$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} B^2 \cos \theta = -\frac{3}{4} B^2$.
$\cos \theta = -\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\theta = 150^{\circ}$।

(D) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के परिणामी $R$ का परिमाण सूत्र द्वारा दिया जाता है: $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$.
यह दिया गया है कि दोनों सदिशों के परिमाण समान हैं,मान लीजिए $A = B = x$.
यह भी दिया गया है कि परिणामी का परिमाण किसी भी सदिश के परिमाण के बराबर है,इसलिए $R = x$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $x = \sqrt{x^2 + x^2 + 2x^2 \cos \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 = 2x^2 + 2x^2 \cos \theta$.
$x^2$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए): $1 = 2 + 2 \cos \theta$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2 \cos \theta = 1 - 2 = -1$.
अतः,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
यह $\theta = 120^{\circ}$ के कोण के अनुरूप है।

(B) दिया गया सदिश $P = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ है।
माना दिशा सदिश $Q = \hat{i} + 2 \hat{j}$ है।
सदिश $P$ का सदिश $Q$ की दिशा में घटक प्रक्षेप सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P_{Q} = \frac{P \cdot Q}{|Q|}$.
सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करें: $P \cdot Q = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j}) = (3 \times 1) + (4 \times 2) = 3 + 8 = 11$.
इसके बाद,सदिश $Q$ का परिमाण ज्ञात करें: $|Q| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
अतः,अभीष्ट घटक $\frac{P \cdot Q}{|Q|} = \frac{11}{\sqrt{5}}$ है।

(B) किसी भी सदिश के लिए,दिक्-कोज्या (direction cosines) $\cos \alpha, \cos \beta$ और $\cos \gamma$ के रूप में परिभाषित होते हैं।
हम जानते हैं कि दिक्-कोज्या के लिए मूल सर्वसमिका $\cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + \cos ^2 \gamma = 1$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(1 - \sin ^2 \alpha) + (1 - \sin ^2 \beta) + (1 - \sin ^2 \gamma) = 1$.
$3 - (\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma) = 1$.
$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma = 2$.
अतः,$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta = 2 - \sin ^2 \gamma$.
चूंकि $\sin ^2 \gamma = 1 - \cos ^2 \gamma$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta = 2 - (1 - \cos ^2 \gamma) = 1 + \cos ^2 \gamma$.

(B) हम जानते हैं कि दो सदिशों $A$ और $B$ के परिणामी $R$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
यहाँ,$R$ अधिकतम तब होता है जब $\cos \theta$ अधिकतम हो।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 0^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
सूत्र में $\theta = 0^{\circ}$ रखने पर:
$R_{\max} = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB(1)} = \sqrt{(A+B)^2} = A + B$.
अतः,परिणामी सदिश तब अधिकतम होता है जब दो सदिशों के बीच का कोण $0^{\circ}$ हो।

(A) बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_A = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ है।
बिंदु $B$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_B = 6 \hat{i} + 6 \hat{j} + 9 \hat{k}$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{d}$ स्थिति में परिवर्तन द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{d} = \vec{r}_B - \vec{r}_A$.
$\vec{d} = (6 - 2) \hat{i} + (6 - 2) \hat{j} + (9 - 3) \hat{k}$.
$\vec{d} = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} + 6 \hat{k}$.

(D) एक सदिश $\vec{A} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}$ इकाई सदिश होता है यदि उसका परिमाण $1$ हो, अर्थात $|\vec{A}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = 1$.
दिया गया सदिश $0.5 \hat{i} + 0.8 \hat{j} + c \hat{k}$ है।
अतः, $\sqrt{(0.5)^2 + (0.8)^2 + c^2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $(0.5)^2 + (0.8)^2 + c^2 = 1^2$.
$0.25 + 0.64 + c^2 = 1$.
$0.89 + c^2 = 1$.
$c^2 = 1 - 0.89 = 0.11$.
इस प्रकार, $c = \sqrt{0.11}$।

(B) यदि किसी सदिश का परिमाण $1$ है, तो वह एक इकाई सदिश कहलाता है।
दिया गया है $\vec{U} = 0.9\hat{i} - 0.2\hat{j} + m\hat{k}$।
$\vec{U}$ का परिमाण $|\vec{U}| = \sqrt{(0.9)^2 + (-0.2)^2 + m^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह एक इकाई सदिश है, इसलिए $|\vec{U}| = 1$, अतः $|\vec{U}|^2 = 1$।
$(0.9)^2 + (-0.2)^2 + m^2 = 1$।
$0.81 + 0.04 + m^2 = 1$।
$0.85 + m^2 = 1$।
$m^2 = 1 - 0.85 = 0.15$।
$m = \sqrt{0.15}$।

(B) दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ समान दिशा में होते हैं यदि वे एक-दूसरे के समांतर हों, जिसका अर्थ है कि $\vec{A} = k\vec{B}$ किसी धनात्मक अदिश $k$ के लिए।
दिया गया है $\vec{A} = 6\hat{i} + 9\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - p\hat{k}$।
$\vec{A}$ और $\vec{B}$ के घटकों की तुलना करने पर:
$6 = k(2) \implies k = 3$
$9 = k(3) \implies k = 3$
$-1 = k(-p) \implies -1 = 3(-p) \implies -1 = -3p$
$p = 1/3$
अतः,'$p$' का मान $1/3$ है।

(C) ज्योति तीव्रता का $SI$ आधार मात्रक $\text{कैंडेला}$ $(cd)$ है।
$\text{एम्पियर}$ विद्युत धारा का मात्रक है।
$\text{कूलम्ब}$ विद्युत आवेश का मात्रक है।
$\text{ओम}$ विद्युत प्रतिरोध का मात्रक है।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{mv}$।
दिया गया है:
प्लांक नियतांक $(h)$ = $6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$।
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m)$ = $9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$।
इलेक्ट्रॉन का वेग $(v)$ = $2.2 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.1 \times 10^{-31}) \times (2.2 \times 10^6)}$।
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{20.02 \times 10^{-25}}$।
$\lambda = 0.33096 \times 10^{-9} \text{ m}$।
$\lambda = 3.31 \times 10^{-10} \text{ m}$।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार, स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ और संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$ का गुणनफल इस प्रकार है: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
चूंकि $\Delta p = m_e \cdot \Delta v$, समीकरण होगा: $\Delta x \cdot m_e \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4\pi}$.
वेग में अनिश्चितता $(\Delta v)$ के लिए सूत्र: $\Delta v \geq \frac{h}{4\pi \cdot m_e \cdot \Delta x}$.
दिया गया है: $\Delta x = 50 \text{ pm} = 50 \times 10^{-12} \text{ m}$, $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$, $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}$, $\pi = 3.142$.
मान रखने पर: $\Delta v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.142 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 50 \times 10^{-12}}$.
गणना करने पर: $\Delta v \approx 1.16 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$.
दिए गए विकल्पों में से सबसे निकटतम उत्तर $0.98 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ है।

(D) फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ समीकरण $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $c$ प्रकाश की गति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि ऊर्जा तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(E \propto \frac{1}{\lambda})$।
दृश्य प्रकाश के रंगों में, लाल रंग की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक $(\approx 700 \ nm)$ होती है।
चूंकि लाल रंग की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है, इसलिए दृश्य स्पेक्ट्रम के अन्य रंगों की तुलना में इसकी ऊर्जा सबसे कम होती है।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E$ समीकरण $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $c$ प्रकाश की गति है और $\lambda$ तरंगदैर्घ्य है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि ऊर्जा $E$, तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(E \propto \frac{1}{\lambda})$।
इसलिए, जिस प्रकाश की तरंगदैर्घ्य सबसे कम होगी, उसकी ऊर्जा सबसे अधिक होगी।
दी गई तरंगदैर्घ्यों की तुलना करने पर: $410 \text{ nm}$ (बैंगनी), $470 \text{ nm}$ (नीला), $580 \text{ nm}$ (पीला) और $750 \text{ nm}$ (लाल)।
सबसे कम तरंगदैर्घ्य $410 \text{ nm}$ है, जो बैंगनी प्रकाश के लिए है।
अतः, बैंगनी प्रकाश की ऊर्जा सबसे अधिक है।

(D) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंग संख्या के लिए रिडबर्ग सूत्र इस प्रकार है: $\bar{\nu} = R_H (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
पाश्चन श्रेणी के लिए, संक्रमण $n_1 = 3$ ऊर्जा स्तर पर होता है।
सबसे कम ऊर्जा वाला संक्रमण उसके ठीक अगले ऊर्जा स्तर यानी $n_2 = 4$ से होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{\nu} = R_H (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2})$
$\bar{\nu} = R_H (\frac{1}{9} - \frac{1}{16})$
$\bar{\nu} = R_H (\frac{16 - 9}{144})$
$\bar{\nu} = R_H (\frac{7}{144}) \text{ cm}^{-1}$।

(A) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र है: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लाइमन श्रेणी के लिए, संक्रमण मूल अवस्था में होता है, इसलिए $n_1 = 1$ है।
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए, संक्रमण उच्चतम संभव ऊर्जा स्तर से होना चाहिए, अर्थात $n_2 = \infty$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R_H (1 - 0) = R_H$।
अतः, $\lambda = \frac{1}{R_H} = \frac{1}{109677 \text{ cm}^{-1}}$।
गणना करने पर: $\lambda \approx 9.117 \times 10^{-6} \text{ cm} = 911.7 \times 10^{-8} \text{ cm}$।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ J}$।
$H$-परमाणु के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है।
पहली कक्षा $(n = 1)$ के लिए, $E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1^2}{1^2} = -2.18 \times 10^{-18} \text{ J}$।
दूसरी कक्षा $(n = 2)$ के लिए, $E_2 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1^2}{2^2} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1}{4} \text{ J}$।
$E_2 = -0.545 \times 10^{-18} \text{ J}$।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$
$m = 9.10938 \times 10^{-31} \text{ kg}$
$v = 2.19 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.10938 \times 10^{-31}) \times (2.19 \times 10^6)}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{19.9495 \times 10^{-25}}$
$\lambda \approx 0.33214 \times 10^{-9} \text{ m}$
$\lambda \approx 332.14 \times 10^{-12} \text{ m}$
चूंकि $1 \text{ pm} = 10^{-12} \text{ m}$, इसलिए तरंगदैर्ध्य लगभग $332 \text{ pm}$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -\frac{2.18 \times 10^{-18} \text{ J}}{n^2}$.
$n = 2$ के अनुरूप स्थिर अवस्था के लिए, हम सूत्र में $n$ का मान रखेंगे:
$E_2 = -\frac{2.18 \times 10^{-18} \text{ J}}{(2)^2}$
$E_2 = -\frac{2.18 \times 10^{-18} \text{ J}}{4}$
$E_2 = -0.545 \times 10^{-18} \text{ J}$
$E_2 = -5.45 \times 10^{-19} \text{ J}$.
अतः, $n = 2$ अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $-5.45 \times 10^{-19} \text{ J}$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल में, $n$-वीं कक्षा की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = \frac{E_1}{n^2}$, जहाँ $E_1$ मूल अवस्था $(n=1)$ की ऊर्जा है।
दिया गया है कि मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -E \text{ J}$ है।
तीसरी स्थिर कक्षा के लिए, $n = 3$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $E_3 = \frac{E_1}{3^2} = \frac{-E}{9} \text{ J}$।
अतः, तीसरी स्थिर कक्षा की ऊर्जा $-E/9 \text{ J}$ है।

(D) श्यानता तरल पदार्थों (द्रव और गैसों) का वह गुण है जो प्रवाह के प्रति प्रतिरोध प्रदान करता है।
$(A)$ लुब्रिकेंट तेलों का ग्रेडेशन उनकी श्यानता पर निर्भर करता है।
$(B)$ रक्त प्रवाह का वेग और श्यानता का उपयोग हृदय संबंधी स्वास्थ्य को इंगित करने के लिए किया जाता है।
$(C)$ साबुन की सफाई क्रिया में पृष्ठ तनाव को कम करना और गंदगी को हटाने के लिए माध्यम की श्यानता को बदलना शामिल है।
$(D)$ पुरानी इमारतों में कांच की खिड़कियों का नीचे से मोटा होना एक आम गलतफहमी है; कांच एक अक्रिस्टलीय ठोस है, न कि अतिशीतित द्रव (supercooled liquid), और यह घटना श्यानता से संबंधित नहीं है।

(D) $n$-type अर्धचालक प्राप्त करने के लिए, $Ge$ (जर्मेनियम) जैसे चतुर्संयोजक (tetravalent) अर्धचालक में एक पंचसंयोजक (pentavalent) अशुद्धि (समूह $15$ का तत्व) मिलाई जाती है।
$P$ (फास्फोरस), $As$ (आर्सेनिक), और $Sb$ (एंटीमनी) सभी समूह $15$ के तत्व हैं और इनका उपयोग $n$-type अर्धचालक बनाने के लिए डोपेंट के रूप में किया जा सकता है।
$B$ (बोरोन) एक त्रिसंयोजक (trivalent) तत्व (समूह $13$) है। $Ge$ में त्रिसंयोजक अशुद्धि मिलाने से $p$-type अर्धचालक प्राप्त होता है, न कि $n$-type अर्धचालक।
इसलिए, $B$ वह डोपेंट है जिसका उपयोग $n$-type अर्धचालक प्राप्त करने के लिए नहीं किया जाता है।

(B, D) चुंबकीय पदार्थों को बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के प्रति उनकी प्रतिक्रिया के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है:
$1$. अनुचुंबकीय पदार्थ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र द्वारा दुर्बल रूप से आकर्षित होते हैं।
$2$. प्रतिचुंबकीय पदार्थ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र द्वारा दुर्बल रूप से प्रतिकर्षित होते हैं।
$3$. लौह-चुंबकीय पदार्थ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र द्वारा प्रबल रूप से आकर्षित होते हैं।
इन तथ्यों की दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर:
- विकल्प $(A)$ सत्य है।
- विकल्प $(B)$ असत्य है क्योंकि प्रतिचुंबकीय पदार्थ प्रतिकर्षित होते हैं, आकर्षित नहीं।
- विकल्प $(C)$ सत्य है।
- विकल्प $(D)$ असत्य है क्योंकि प्रतिचुंबकीय पदार्थ प्रबल रूप से आकर्षित नहीं होते; वे दुर्बल रूप से प्रतिकर्षित होते हैं।
अतः, $(B)$ और $(D)$ दोनों कथन गलत हैं।

(D) $n$-प्रकार का अर्धचालक बनाने के लिए, जर्मेनियम $(Ge)$ जैसे नैज अर्धचालक में एक पंचसंयोजी (pentavalent) अशुद्धि (आवर्त सारणी के समूह $15$ का तत्व) मिलाना आवश्यक है।
$B$ (बोरोन), $In$ (इंडियम), और $Ga$ (गैलियम) त्रिसंयोजी (trivalent) तत्व (समूह $13$) हैं, जिनका उपयोग $p$-प्रकार के अर्धचालक बनाने के लिए किया जाता है।
$P$ (फास्फोरस) एक पंचसंयोजी तत्व (समूह $15$) है, जो जर्मेनियम में डोपिंग करने पर एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करता है, जिससे $n$-प्रकार का अर्धचालक बनता है।
अतः, सही डोपेंट $P$ है।

(C) ऑप्टिकल फाइबर संचार प्रणाली में, ऑप्टिकल संकेतों को प्रवर्धित (amplify) करने के लिए अर्बियम-डोप्ड फाइबर एम्पलीफायर $(EDFA)$ का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। सिलिका फाइबर कोर में अर्बियम $(Er)$ आयनों को डोप किया जाता है। जब इन आयनों को विशिष्ट तरंग दैर्ध्य (आमतौर पर $980 \ nm$ या $1480 \ nm$) पर प्रकाश के साथ पंप किया जाता है, तो वे उत्तेजित अवस्था में पहुंच जाते हैं और $1550 \ nm$ तरंग दैर्ध्य पर प्रेरित उत्सर्जन (stimulated emission) के माध्यम से ऑप्टिकल गेन प्रदान करते हैं, जो ऑप्टिकल फाइबर के लिए कम-हानि वाली विंडो है। इसलिए, सही तत्व अर्बियम $(Er)$ है।