Relative Velocity (river boat, rain, wind) Questions in Hindi

(D) दो कणों के टकराने के लिए,समय $t$ पर उनकी स्थिति समान होनी चाहिए: $r_1 + v_1 t = r_2 + v_2 t$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $r_1 - r_2 = (v_2 - v_1) t$.
दिया गया है $r_1 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j})$ और $r_2 = (-5 \hat{i} - 3 \hat{j})$,तो सापेक्ष स्थिति सदिश $r_1 - r_2 = (3 - (-5)) \hat{i} + (5 - (-3)) \hat{j} = (8 \hat{i} + 8 \hat{j}) \text{ m}$ है।
सापेक्ष वेग $v_2 - v_1 = (a \hat{i} + 7 \hat{j}) - (4 \hat{i} + 3 \hat{j}) = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$ है।
$t = 2 \text{ s}$ के साथ टक्कर की स्थिति में इन मानों को रखने पर:
$8 \hat{i} + 8 \hat{j} = ((a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}) \times 2$.
$2$ से विभाजित करने पर: $4 \hat{i} + 4 \hat{j} = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$.
$\hat{i}$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $4 = a - 4$,जिससे $a = 8$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि शांत जल में नाव की गति $v_b$ है और धारा की गति $v_s$ है。
धारा के अनुकूल गति $v_b + v_s = \frac{16 \, km}{2 \, h} = 8 \, km/h$ है。
धारा के प्रतिकूल गति $v_b - v_s = \frac{16 \, km}{4 \, h} = 4 \, km/h$ है。
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(v_b + v_s) + (v_b - v_s) = 8 + 4$ प्राप्त होता है。
$2v_b = 12 \, km/h$。
अतः, शांत जल में नाव की गति $v_b = 6 \, km/h$ है。

(C) दिया गया है: ट्रेन की लंबाई, $l = 100 \,m$.
वस्तु को पार करने में लगा समय, $t = 7.2 \,s$.
विपरीत दिशा में गतिमान वस्तु का वेग, $v_o = 5 \,km/h = 5 \times \frac{5}{18} \,m/s = \frac{25}{18} \,m/s \approx 1.39 \,m/s$.
मान लीजिए ट्रेन का वेग $v_t = v$ है।
चूंकि वस्तुएं विपरीत दिशा में गति कर रही हैं, इसलिए सापेक्ष वेग $v_{\text{rel}} = v_t + v_o$ होगा।
वस्तु को पार करने के लिए तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर होती है, $l = v_{\text{rel}} \times t$.
$100 = (v + \frac{25}{18}) \times 7.2$.
$7.2$ से भाग देने पर: $\frac{100}{7.2} = v + \frac{25}{18}$.
$\frac{1000}{72} = v + \frac{25}{18} \Rightarrow \frac{125}{9} = v + \frac{25}{18}$.
$v = \frac{250}{18} - \frac{25}{18} = \frac{225}{18} = 12.5 \,m/s$.
$km/h$ में बदलने पर: $v = 12.5 \times \frac{18}{5} = 45 \,km/h$.

(C) माना बस की गति $v_B$ है और साइकिल चालक की गति $v_C = 20 \,km/h$ है।
माना दो क्रमिक बसों के बीच की दूरी $d$ है,जहाँ $d = v_B \times T$ है।
स्थिति $1$: बस $A$ से $B$ की ओर जा रही है (साइकिल चालक की समान दिशा में)।
साइकिल चालक के सापेक्ष बस की गति $(v_B - v_C)$ है।
बस द्वारा साइकिल चालक को पार करने का समय अंतराल $t_1 = 18 \,min = \frac{18}{60} \,h = 0.3 \,h$ है।
अतः,$d = (v_B - 20) \times 0.3 \dots (i)$।
स्थिति $2$: बस $B$ से $A$ की ओर जा रही है (साइकिल चालक की विपरीत दिशा में)।
साइकिल चालक के सापेक्ष बस की गति $(v_B + v_C)$ है।
बस द्वारा साइकिल चालक को पार करने का समय अंतराल $t_2 = 6 \,min = \frac{6}{60} \,h = 0.1 \,h$ है।
अतः,$d = (v_B + 20) \times 0.1 \dots (ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$(v_B - 20) \times 0.3 = (v_B + 20) \times 0.1$
$3(v_B - 20) = v_B + 20$
$3v_B - 60 = v_B + 20$
$2v_B = 80 \Rightarrow v_B = 40 \,km/h$।
अब,समीकरण $(ii)$ का उपयोग करके $d = v_B \times T$ में $v_B$ का मान रखने पर:
$v_B \times T = (v_B + 20) \times 0.1$
$40 \times T = (40 + 20) \times 0.1$
$40T = 60 \times 0.1 = 6$
$T = \frac{6}{40} \,h = \frac{3}{20} \,h$।

(C) मान लीजिए कि ट्रेन की दिशा (उत्तर) धनात्मक है और तोते की दिशा (दक्षिण) ऋणात्मक है।
ट्रेन का वेग,$v_t = 10 \,ms^{-1}$ है।
तोते का वेग,$v_p = -5 \,ms^{-1}$ है।
ट्रेन के सापेक्ष तोते का आपेक्षिक वेग $v_{pt} = v_t - v_p$ द्वारा दिया जाता है।
$v_{pt} = 10 - (-5) = 15 \,ms^{-1}$ है।
ट्रेन की लंबाई $L = 150 \,m$ है।
तोते द्वारा ट्रेन के साथ-साथ उड़ने में लिया गया समय $t$,आपेक्षिक वेग के साथ ट्रेन की लंबाई को पार करने में लगा समय है।
$t = \frac{L}{v_{pt}} = \frac{150}{15} = 10 \,s$।

(A) माना एस्केलेटर की लंबाई $L$ है।
माना व्यक्ति की चलने की गति $v_p$ है और एस्केलेटर की गति $v_e$ है।
जब एस्केलेटर बंद होता है,तो व्यक्ति $L$ लंबाई को $t_1 = 90 \ s$ में तय करता है। अतः,$v_p = \frac{L}{90}$।
जब व्यक्ति चलते हुए एस्केलेटर पर खड़ा रहता है,तो वह $t_2 = 60 \ s$ में ऊपर पहुँच जाता है। अतः,$v_e = \frac{L}{60}$।
जब व्यक्ति चलते हुए एस्केलेटर पर चलकर ऊपर जाता है,तो उसकी प्रभावी गति $v_{eff} = v_p + v_e$ होती है।
लिया गया समय $t_3 = \frac{L}{v_p + v_e} = \frac{L}{\frac{L}{90} + \frac{L}{60}}$ द्वारा दिया जाता है।
$t_3 = \frac{1}{\frac{1}{90} + \frac{1}{60}} = \frac{90 \times 60}{90 + 60} = \frac{5400}{150} = 36 \ s$।

(D) माना एस्केलेटर की दूरी $D$ है।
बंद एस्केलेटर पर व्यक्ति के चलने की गति $v_p = \frac{D}{80}$ है।
चलते हुए एस्केलेटर की गति $v_e = \frac{D}{20}$ है।
जब व्यक्ति चलते हुए एस्केलेटर पर चलता है, तो उसकी प्रभावी गति $v_{eff} = v_p + v_e$ होती है।
$v_{eff} = \frac{D}{80} + \frac{D}{20} = \frac{D + 4D}{80} = \frac{5D}{80} = \frac{D}{16}$.
चलते हुए एस्केलेटर पर ऊपर जाने में लगा समय $t = \frac{D}{v_{eff}} = \frac{D}{D/16} = 16 \,s$ होगा।

(A) दोनों कारों के मिलने में लगा कुल समय इस प्रकार है:
$T = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कारों का सापेक्ष वेग}}$
यहाँ, दूरी $d = 36 \text{ km}$, कार $1$ की गति $v_1 = 54 \text{ kmh}^{-1}$, और कार $2$ की गति $v_2 = 36 \text{ kmh}^{-1}$ है।
चूंकि वे एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं, सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_1 + v_2 = 54 + 36 = 90 \text{ kmh}^{-1}$ होगा।
$T = \frac{36}{90} = 0.4 \text{ h}$.
पक्षी पूरी अवधि $T$ के दौरान $v_b = 36 \text{ kmh}^{-1}$ की गति से लगातार उड़ता है।
पक्षी द्वारा तय की गई कुल दूरी $= v_b \times T = 36 \times 0.4 = 14.4 \text{ km}$.
मीटर में बदलने पर: $14.4 \times 1000 = 14400 \text{ m}$.

(C) चौड़ाई वाली नदी को पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{V \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ तैराक द्वारा नदी के प्रवाह के लंबवत के साथ बनाया गया कोण है।
समय $t$ को न्यूनतम करने के लिए,हर $V \cos \theta$ को अधिकतम होना चाहिए।
यह तब होता है जब $\cos \theta$ अधिकतम हो,जो $\theta = 0^{\circ}$ पर होता है।
इसलिए,कम से कम समय में नदी को पार करने के लिए तैराक को नदी के प्रवाह के लंबवत तैरना चाहिए।

(C) मान लीजिए $v_{CE}$ पृथ्वी के सापेक्ष कार का वेग है,$v_{RE}$ पृथ्वी के सापेक्ष बारिश का वेग है,और $v_{RC}$ कार के सापेक्ष बारिश का वेग है।
दिया गया है: $v_{CE} = 40 \text{ km h}^{-1}$।
बारिश ऊर्ध्वाधर रूप से गिरती है,इसलिए $v_{RE}$ ऊर्ध्वाधर दिशा में है।
कार की खिड़की पर बारिश के निशान ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 30^{\circ}$ का कोण बनाते हैं।
सापेक्ष वेग के सदिश त्रिभुज से,हमारे पास $\vec{v}_{RC} = \vec{v}_{RE} - \vec{v}_{CE}$ है।
इन सदिशों द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,कार के वेग $v_{CE}$ को दर्शाने वाली भुजा $\theta = 30^{\circ}$ कोण के सामने है।
इसलिए,$\sin \theta = \frac{v_{CE}}{v_{RC}}$।
$v_{RC}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$v_{RC} = \frac{v_{CE}}{\sin 30^{\circ}}$।
मान रखने पर,$v_{RC} = \frac{40}{0.5} = 80 \text{ km h}^{-1}$।

(A) मान लीजिए कि कारों $A$ और $B$ का वेग धनात्मक दिशा में $v_A = v_B = 30 \ km/h$ है।
मान लीजिए कि कार $C$ का वेग विपरीत दिशा में $v_C = -v$ है (जहाँ $v$ कार $C$ की गति है)।
कारों $A$ और $B$ के सापेक्ष कार $C$ का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_A - v_C = 30 - (-v) = 30 + v$ होगा।
कार $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d = 10 \ km$ है।
कार $C$ $8 \ minutes = \frac{8}{60} \ h = \frac{2}{15} \ h$ के अंतराल पर कार $B$ और फिर कार $A$ से मिलती है।
सूत्र $d = v_{rel} \times t$ का उपयोग करते हुए:
$10 = (30 + v) \times \frac{2}{15}$
$10 \times \frac{15}{2} = 30 + v$
$75 = 30 + v$
$v = 75 - 30 = 45 \ km/h$.

(C) मान लीजिए $d$ नदी की चौड़ाई है। तैराक स्थिर पानी में $v$ गति से तैरता है।
सबसे कम समय के लिए,तैराक को नदी के प्रवाह के लंबवत तैरना चाहिए। लिया गया समय $t = \frac{d}{v}$ है।
सबसे कम दूरी के लिए,तैराक को एक ऐसे कोण पर तैरना चाहिए कि परिणामी वेग नदी के किनारे के लंबवत हो। मान लीजिए धारा के लंबवत कोण $\alpha$ है। तब $\sin \alpha = \frac{v_{river}}{v} = \frac{v/2}{v} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\alpha = 30^{\circ}$।
धारा के विपरीत कोण $\theta = 90^{\circ} + \alpha = 120^{\circ}$ है।
सबसे कम दूरी के लिए लिया गया समय $t^{\prime} = \frac{d}{v \cos \alpha} = \frac{d}{v \sin \theta}$ है।
लिए गए समय का अनुपात $\frac{t}{t^{\prime}} = \frac{d/v}{d/(v \sin \theta)} = \sin \theta$ है।

(A) मान लीजिए $t=0$ पर जहाज $A$ की स्थिति $(0, 200)$ और जहाज $B$ की स्थिति $(0, 0)$ है।
जहाज $A$ का वेग $\vec{v}_A = -20 \hat{i} \ km h^{-1}$ है।
जहाज $B$ का वेग $\vec{v}_B = 10 \hat{j} \ km h^{-1}$ है।
सापेक्ष वेग $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = 20 \hat{i} + 10 \hat{j} \ km h^{-1}$ है।
सापेक्ष स्थिति $\vec{r}_{BA} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = -200 \hat{j} \ km$ है।
समय $t$ पर दूरी $d = |\vec{r}_{BA} + \vec{v}_{BA} t| = |20t \hat{i} + (10t - 200) \hat{j}|$ है।
$d^2 = (20t)^2 + (10t - 200)^2 = 500t^2 - 4000t + 40000$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम दूरी के लिए,$\frac{d(d^2)}{dt} = 1000t - 4000 = 0 \implies t = 4 \ h$।
न्यूनतम दूरी $d = \sqrt{500(4)^2 - 4000(4) + 40000} = \sqrt{32000} = 80 \sqrt{5} \ km$ है।

(D) मान लीजिए $\vec{v}_m$ व्यक्ति का वेग है,$\vec{v}_r$ बारिश का वेग है,और $\vec{v}_{rm}$ व्यक्ति के सापेक्ष बारिश का वेग है।
दिया गया है,$\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$.
जब व्यक्ति दौड़ रहा होता है,तो बारिश लंबवत गिरती हुई प्रतीत होती है,जिसका अर्थ है कि $\vec{v}_{rm}$ लंबवत है।
जब व्यक्ति रुक जाता है,तो बारिश क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ पर गिरती है,जिसका अर्थ है कि $\vec{v}_r$ क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है।
सदिश त्रिभुज से,$\vec{v}_r$ और लंबवत के बीच का कोण $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
$\vec{v}_m$,$\vec{v}_r$,और $\vec{v}_{rm}$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{|\vec{v}_m|}{|\vec{v}_{rm}|}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{|\vec{v}_{rm}|}$
$|\vec{v}_{rm}| = 5\sqrt{3} \text{ km/h}$.

(D) तय की जाने वाली कुल दूरी $2d$ है ($d$ दूरी धारा के विपरीत और $d$ दूरी धारा की दिशा में)।
स्थिर पानी में, व्यक्ति $2v$ की गति से तैरता है। $2d$ दूरी तय करने में लिया गया समय $t_0 = \frac{2d}{2v} = \frac{d}{v}$ है।
धारा की दिशा में तैरते समय, प्रभावी गति $v_{down} = v_m + v_r = 2v + v = 3v$ होती है। लिया गया समय $t_1 = \frac{d}{3v}$ है।
धारा के विपरीत तैरते समय, प्रभावी गति $v_{up} = v_m - v_r = 2v - v = v$ होती है। लिया गया समय $t_2 = \frac{d}{v}$ है।
कुल लिया गया समय $t = t_1 + t_2 = \frac{d}{3v} + \frac{d}{v} = \frac{d + 3d}{3v} = \frac{4d}{3v}$ है।
अतः, अनुपात $\frac{t}{t_0} = \frac{4d/3v}{d/v} = \frac{4}{3}$ है।

(A) माना बस की गति $V$ है और व्यक्ति की गति $V_o$ है। दो लगातार बसों के बीच की दूरी $d = V \cdot T$ है।
जब व्यक्ति बस की दिशा में चलता है, तो सापेक्ष गति $V - V_o$ होती है। बसों के उसके पास से गुजरने के बीच का समय अंतराल $t_1 = \frac{d}{V - V_o} = \frac{VT}{V - V_o}$ है।
इससे $V - V_o = \frac{VT}{t_1} \quad \dots (1)$ प्राप्त होता है।
जब व्यक्ति विपरीत दिशा में चलता है, तो सापेक्ष गति $V + V_o$ होती है। बसों के उसके पास से गुजरने के बीच का समय अंतराल $t_2 = \frac{d}{V + V_o} = \frac{VT}{V + V_o}$ है।
इससे $V + V_o = \frac{VT}{t_2} \quad \dots (2)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(V - V_o) + (V + V_o) = \frac{VT}{t_1} + \frac{VT}{t_2}$
$2V = VT \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \right)$
$2 = T \left( \frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2} \right)$
$T = \frac{2 t_1 t_2}{t_1 + t_2}$

(C) मान लीजिए कि दोनों ट्रेनों की कुल लंबाई $L$ है। चूंकि वे विपरीत दिशाओं में चल रही हैं, इसलिए उनका सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_1 + v_2$ है।
दिया गया है कि उन्हें एक-दूसरे को पार करने में $4 \ s$ का समय लगता है:
$L = (v_1 + v_2) \times 4$ --- $(i)$
जब ट्रेन $A$ की गति $50 \%$ बढ़ाई जाती है, तो ट्रेन $A$ की नई गति $v_1' = v_1 + 0.5 v_1 = 1.5 v_1 = \frac{3}{2} v_1$ हो जाती है।
नया सापेक्ष वेग $v_{rel}' = \frac{3}{2} v_1 + v_2$ है।
दिया गया है कि उन्हें एक-दूसरे को पार करने में $3 \ s$ का समय लगता है:
$L = (\frac{3}{2} v_1 + v_2) \times 3$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$4(v_1 + v_2) = 3(\frac{3}{2} v_1 + v_2)$
$4 v_1 + 4 v_2 = 4.5 v_1 + 3 v_2$
$v_2 = 0.5 v_1$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{0.5} = \frac{2}{1}$.

(A) मान लीजिए $t$ समय पर, $A$ की स्थिति $\overrightarrow{r}_A = (0 + 0t)\hat{i} + (0 + 2t)\hat{j} = 2t\hat{j}$ है।
मान लीजिए $t$ समय पर, $B$ की स्थिति $\overrightarrow{r}_B = (0 + 2t)\hat{i} + (10 + 0t)\hat{j} = 2t\hat{i} + 10\hat{j}$ है।
सापेक्ष स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}_{AB} = \overrightarrow{r}_B - \overrightarrow{r}_A = 2t\hat{i} + (10 - 2t)\hat{j}$ है।
दूरी का वर्ग $D^2 = |\overrightarrow{r}_{AB}|^2 = (2t)^2 + (10 - 2t)^2$ है।
$D^2 = 4t^2 + 100 + 4t^2 - 40t = 8t^2 - 40t + 100$।
न्यूनतम दूरी के लिए, $\frac{d(D^2)}{dt} = 0$ लेने पर।
$16t - 40 = 0$।
$t = \frac{40}{16} = 2.5 \text{ s}$।
चूंकि $\frac{d^2(D^2)}{dt^2} = 16 > 0$ है, इसलिए $t = 2.5 \text{ s}$ पर दूरी न्यूनतम होगी।

(A) कण $A$ का वेग $x$-अक्ष के अनुदिश नियत है: $\vec{V}_A = 1 \hat{i} \,m/s$।
$y$-अक्ष के अनुदिश गति कर रहे कण $B$ के लिए, स्थिति $y = ct^2$ है।
कण $B$ का वेग $\vec{V}_B = \frac{dy}{dt} \hat{j} = 2ct \hat{j}$ है।
$t = 1 \,s$ और $c = 1 \,m/s^2$ पर, कण $B$ का वेग $\vec{V}_B = 2(1)(1) \hat{j} = 2 \hat{j} \,m/s$ है।
कण $B$ के सापेक्ष कण $A$ का आपेक्षिक वेग $\vec{V}_{AB} = \vec{V}_A - \vec{V}_B = 1 \hat{i} - 2 \hat{j} \,m/s$ है।
चाल आपेक्षिक वेग का परिमाण है: $|\vec{V}_{AB}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \,m/s$।

(A) दिया गया है:
लड़के का वेग, $\overrightarrow{v_b} = 4 \ m \ s^{-1}$ और बारिश का वेग, $\overrightarrow{v_r} = 8 \ m \ s^{-1}$।
लड़के के सापेक्ष बारिश का वेग $\overrightarrow{v_{rb}} = \overrightarrow{v_r} - \overrightarrow{v_b}$ है।
मान लीजिए ऊर्ध्वाधर दिशा $y$-अक्ष है और क्षैतिज दिशा $x$-अक्ष है।
बारिश के वेग के घटक: $v_{rx} = v_r \sin(45^{\circ}) = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \ m \ s^{-1}$ और $v_{ry} = v_r \cos(45^{\circ}) = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \ m \ s^{-1}$।
जब लड़का पश्चिम से पूर्व की ओर दौड़ता है $(\overrightarrow{v_b} = 4 \hat{i})$:
$\overrightarrow{v_{rb}} = (4\sqrt{2} - 4) \hat{i} - 4\sqrt{2} \hat{j}$।
$\tan \theta = \frac{|v_{rb,x}|}{|v_{rb,y}|} = \frac{4\sqrt{2} - 4}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$।
जब लड़का पूर्व से पश्चिम की ओर दौड़ता है $(\overrightarrow{v_b} = -4 \hat{i})$:
$\overrightarrow{v_{rb}} = (4\sqrt{2} + 4) \hat{i} - 4\sqrt{2} \hat{j}$।
$\tan \alpha = \frac{|v_{rb,x}|}{|v_{rb,y}|} = \frac{4\sqrt{2} + 4}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$।
इसलिए, अनुपात $\frac{\tan \theta}{\tan \alpha} = \frac{(\sqrt{2} - 1)/\sqrt{2}}{(\sqrt{2} + 1)/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2 + 1 - 2\sqrt{2}}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2$।

(B) मान लीजिए कि व्यक्ति का वेग $\vec{v}_m = 6 \hat{i} \text{ km/h}$ है और बारिश का वेग $\vec{v}_r = -6\sqrt{3} \hat{j} \text{ km/h}$ है।
खुद को बचाने के लिए, व्यक्ति को छाता व्यक्ति के सापेक्ष बारिश के आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$ की दिशा में रखना चाहिए।
$\vec{v}_{rm} = -6\sqrt{3} \hat{j} - 6 \hat{i} \text{ km/h}$।
ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\alpha$ का मान $\tan \alpha = \frac{|v_m|}{|v_r|} = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$, इसलिए $\alpha = 30^{\circ}$ है।
अतः, व्यक्ति को अपना छाता ऊर्ध्वाधर के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर रखना चाहिए।

(B) मान लीजिए कार $A$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है और उसका वेग $\vec{V}_A = 25 \hat{j} \ km/hr$ है। मान लीजिए कार $B$ बिंदु $(0, 50)$ पर है और उसका वेग $\vec{V}_B = -25 \hat{i} \ km/hr$ है।
$B$ के सापेक्ष $A$ का आपेक्षिक वेग $\vec{V}_{AB} = \vec{V}_A - \vec{V}_B = 25 \hat{j} - (-25 \hat{i}) = 25 \hat{i} + 25 \hat{j} \ km/hr$ है।
आपेक्षिक वेग का परिमाण $|\vec{V}_{AB}| = \sqrt{25^2 + 25^2} = 25\sqrt{2} \ km/hr$ है।
आपेक्षिक स्थिति सदिश $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = (0 - 0)\hat{i} + (0 - 50)\hat{j} = -50 \hat{j} \ km$ है।
निकटतम पहुँचने की दूरी तक पहुँचने में लगा समय $t = -\frac{\vec{r}_{AB} \cdot \vec{V}_{AB}}{|\vec{V}_{AB}|^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$t = -\frac{(-50 \hat{j}) \cdot (25 \hat{i} + 25 \hat{j})}{(25\sqrt{2})^2} = -\frac{-1250}{1250} = 1 \ hr$.
अतः, लगा समय $60 \ min$ है।

(A) दिया गया है कि, कार $A$ का वेग $\vec{v}_A = 30 \hat{i} \text{ km/h}$ (पूर्व की ओर) है।
कार $B$ के लिए, वेग $\vec{v}_B = 30 \hat{j} \text{ km/h}$ (उत्तर की ओर) है।
कार $A$ के सापेक्ष कार $B$ का वेग, आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ है।
$\vec{v}_{BA} = 30 \hat{j} - 30 \hat{i} \text{ km/h}$।
$\vec{v}_{BA}$ का परिमाण $|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{(-30)^2 + (30)^2} = \sqrt{900 + 900} = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2} \approx 42 \text{ km/h}$ है।
दिशा $\tan \theta = \frac{v_{y}}{v_{x}} = \frac{30}{-30} = -1$ द्वारा प्राप्त होती है। यह धनात्मक $x$-अक्ष (पूर्व) से $135^{\circ}$ का कोण है।
चूंकि सदिश दूसरे चतुर्थांश (ऋणात्मक $x$, धनात्मक $y$) में है, इसलिए यह पश्चिम के $45^{\circ}$ उत्तर में है।

(D) आदमी नदी की धारा के लंबवत तैरकर नदी पार करता है। जमीन के सापेक्ष आदमी का वेग स्थिर जल में उसके वेग और नदी के वेग का सदिश योग है। हालाँकि, नदी को पार करने में लगा समय केवल उसके वेग के नदी के प्रवाह के लंबवत घटक पर निर्भर करता है।
चूंकि आदमी धारा के लंबवत तैरता है, इसलिए नदी के लंबवत उसका वेग घटक $v_y = 4 \ km/h$ है।
नदी की चौड़ाई $d = 1 \ km$ है।
नदी को पार करने में लगा समय इस प्रकार है:
$t = \frac{d}{v_y} = \frac{1 \ km}{4 \ km/h} = 0.25 \ h$
इसे मिनटों में बदलने पर:
$t = 0.25 \times 60 \ min = 15 \ min$.

(C) दी गई स्थिति चित्र में दिखाई गई है。
कार $A$ का वेग ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है:
$\vec{v}_A = -120 \hat{i} \text{ km/h}$
कार $B$ का वेग ऋणात्मक $y$-अक्ष की दिशा में है:
$\vec{v}_B = -50 \hat{j} \text{ km/h}$
कार $A$ के सापेक्ष कार $B$ का आपेक्षिक वेग इस प्रकार है:
$\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$
$\vec{v}_{BA} = (-50 \hat{j}) - (-120 \hat{i})$
$\vec{v}_{BA} = 120 \hat{i} - 50 \hat{j}$
आपेक्षिक गति, आपेक्षिक वेग सदिश का परिमाण है:
$|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{(120)^2 + (-50)^2}$
$|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{14400 + 2500}$
$|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{16900}$
$|\vec{v}_{BA}| = 130 \text{ km/h}$

(C) दी गई स्थिति को चित्र में दर्शाया गया है।
नदी का वेग, $v_r = 3 \,m/s$.
पानी के सापेक्ष नाव का वेग, $v_b = 15 \,m/s$.
नदी की चौड़ाई, $d = AB = 200 \,m$.
हमें क्षैतिज विस्थापन (ड्रिफ्ट), $BC$ की गणना करनी है।
नाव द्वारा नदी को पार करने में लगा समय:
$t = \frac{d}{v_b} = \frac{200}{15} = \frac{40}{3} \,s$.
नदी के प्रवाह के कारण नाव द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी:
$BC = v_r \times t = 3 \times \frac{40}{3} = 40 \,m$.

(B) माना बारिश का वेग $\vec{v}_r$ है। बारिश के वेग का क्षैतिज घटक $v_{rx} = v_r \sin(30^{\circ})$ और ऊर्ध्वाधर घटक $v_{ry} = v_r \cos(30^{\circ})$ है।
दिया गया है कि बारिश $40 \ m/s$ की गति से ऊर्ध्वाधर से $30^{\circ}$ के कोण पर गिर रही है, इसलिए $v_r = 40 \ m/s$ है।
अतः, $v_{rx} = 40 \sin(30^{\circ}) = 40 \times 0.5 = 20 \ m/s$ और $v_{ry} = 40 \cos(30^{\circ}) = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \ m/s$ है।
कार बारिश के क्षैतिज घटक की विपरीत दिशा में $v_c = 40 \ m/s$ की गति से चल रही है।
माना कार का वेग $\vec{v}_c = 40 \hat{i} \ m/s$ है। कार के सापेक्ष बारिश का वेग $\vec{v}_{rc} = \vec{v}_r - \vec{v}_c$ है।
माना बारिश का क्षैतिज घटक ऋणात्मक $x$-दिशा में है, $\vec{v}_r = -20 \hat{i} - 20\sqrt{3} \hat{j}$ है।
तब $\vec{v}_{rc} = (-20 \hat{i} - 20\sqrt{3} \hat{j}) - (40 \hat{i}) = -60 \hat{i} - 20\sqrt{3} \hat{j}$ होगा।
ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\alpha$ का मान $\tan(\alpha) = \frac{|v_{rc,x}|}{|v_{rc,y}|} = \frac{60}{20\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ द्वारा प्राप्त होता है।
इसलिए, $\alpha = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$ है।

(A) दिया गया है, ऊर्ध्वाधर दिशा में वर्षा की गति, $v_r = 30 \,m/s$ है।
व्यक्ति की गति, $v_m = 10 \,m/s$ (पश्चिम की ओर) है।
व्यक्ति के सापेक्ष वर्षा का आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$ है।
चूंकि व्यक्ति पश्चिम की ओर गति कर रहा है, इसलिए आपेक्षिक वेग सदिश $\vec{v}_{rm}$ ऊर्ध्वाधर के सापेक्ष पश्चिम दिशा की ओर झुका होगा।
माना ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ है।
सदिश त्रिभुज से, $\tan \theta = \frac{v_m}{v_r} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$ है।
अतः, $\theta = \tan^{-1}(1/3)$ पश्चिम दिशा की ओर।

(B) दिया गया है:
नदी की चौड़ाई $(w) = 200 \ m$
नदी का वेग $(v_r) = 2 \ m/s$
नदी के सापेक्ष तैराक का वेग $(v_{sr}) = 1 \ m/s$
नदी को कम से कम समय में पार करने के लिए, तैराक को नदी के प्रवाह के लंबवत तैरना चाहिए।
नदी पार करने में लगा समय $t = \frac{w}{v_{sr}} = \frac{200 \ m}{1 \ m/s} = 200 \ s$ है।
इस समय के दौरान, तैराक नदी के प्रवाह के साथ नीचे की ओर बह जाता है।
नीचे की ओर तय की गई दूरी $(d) = v_r \times t$ द्वारा दी जाती है।
$d = 2 \ m/s \times 200 \ s = 400 \ m$.
अतः, तैराक शुरुआती बिंदु के ठीक विपरीत बिंदु से $400 \ m$ की दूरी पर दूसरे किनारे पर पहुँचता है।

$(\text{A})$ मान लीजिए $\vec{v}_{r,g}$ जमीन के सापेक्ष बारिश का वेग है, $\vec{v}_{m,g}$ जमीन के सापेक्ष आदमी का वेग है, और $\vec{v}_{r,m}$ आदमी के सापेक्ष बारिश का वेग है।
जब आदमी स्थिर होता है, तो बारिश ऊर्ध्वाधर के साथ $30^{\circ}$ पर गिरती है। अतः, $\vec{v}_{r,g}$ का क्षैतिज घटक $v_{r,g} \sin 30^{\circ}$ है और ऊर्ध्वाधर घटक $v_{r,g} \cos 30^{\circ}$ है।
जब आदमी $v_{m,g} = 10 \,km/h$ की गति से दौड़ता है, तो बारिश लंबवत रूप से गिरती हुई प्रतीत होती है। इसका मतलब है कि सापेक्ष वेग $\vec{v}_{r,m} = \vec{v}_{r,g} - \vec{v}_{m,g}$ का क्षैतिज घटक शून्य होना चाहिए।
इसलिए, $\vec{v}_{r,g}$ का क्षैतिज घटक आदमी के वेग के बराबर होना चाहिए:
$v_{r,g} \sin 30^{\circ} = v_{m,g}$
$v_{r,g} \times (1/2) = 10 \,km/h$
$v_{r,g} = 20 \,km/h$.

(B) कण $A$ का वेग $\vec{v}_A = 10 \hat{i} \ m/s$ है।
कण $B$ के वेग को घटकों में विभाजित किया जा सकता है। इसका परिमाण $X$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर $20 \ m/s$ है:
$\vec{v}_B = (20 \cos 60^{\circ}) \hat{i} + (20 \sin 60^{\circ}) \hat{j}$
$\vec{v}_B = (20 \times 0.5) \hat{i} + (20 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) \hat{j} = 10 \hat{i} + 10 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$.
$A$ के सापेक्ष $B$ का आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ है।
$\vec{v}_{BA} = (10 \hat{i} + 10 \sqrt{3} \hat{j}) - (10 \hat{i}) = 10 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$.
यह परिणाम दर्शाता है कि $10 \sqrt{3} \ m/s$ परिमाण का वेग धनात्मक $Y$-अक्ष की दिशा में है, जो $X$-अक्ष के लंबवत है।

(C) दिया गया है: नदी की चौड़ाई $d = 200 \ m$, नदी का वेग $v_R = 18 \ km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5 \ m/s$, शांत जल में नाव का वेग $v_{BR} = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$.
नदी को न्यूनतम समय में पार करने के लिए, नाव को नदी के प्रवाह के लंबवत दिशा में चलना चाहिए।
नदी को एक बार पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_{BR}} = \frac{200}{10} = 20 \ s$ है।
राउंड ट्रिप (जाने और वापस आने) के लिए, कुल समय $T = 20 + 20 = 40 \ s$ है।
इस समय के दौरान, नाव नदी के प्रवाह के साथ नीचे की ओर बहती है। नदी के किनारे के सापेक्ष नाव का वेग $v_R = 5 \ m/s$ है।
नदी के किनारे के अनुदिश विस्थापन $x = v_R \times T = 5 \times 40 = 200 \ m$ है।

(C) मान लीजिए कार $A$ का वेग $v_A = 100 \text{ km/h}$ और कार $B$ का वेग $v_B = 80 \text{ km/h}$ है।
$B$ के सापेक्ष $A$ का आपेक्षिक वेग $v_{AB} = v_A - v_B = 100 - 80 = 20 \text{ km/h}$ है।
इसे $\text{m/s}$ में बदलने पर, हमें $20 \times (5/18) = 5.55 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कार $B$ के सापेक्ष पत्थर का वेग $v$ है। चूंकि पत्थर $A$ की ओर फेंका जाता है, जमीन के सापेक्ष इसका वेग $v_{sg} = v + v_B$ होगा।
कार $A$ के सापेक्ष पत्थर का वेग $v_{sa} = v_{sg} - v_A = (v + v_B) - v_A = v - (v_A - v_B) = v - 20 \text{ km/h}$ है।
यह दिया गया है कि $A$ के सापेक्ष पत्थर की गति $5 \text{ m/s}$ है, जो $5 \times (18/5) = 18 \text{ km/h}$ के बराबर है।
अतः, $|v - 20| = 18$ है।
चूंकि पत्थर को कार $A$ (जो आगे है) से टकराना है, इसलिए $v$ का मान $20 \text{ km/h}$ से अधिक होना चाहिए।
इसलिए, $v - 20 = 18$, जिससे $v = 38 \text{ km/h}$ प्राप्त होता है।

(C) नदी को सीधे $AB$ पथ के अनुदिश पार करने के लिए, नाव को $AB$ रेखा के साथ $\theta$ कोण पर धारा के विपरीत दिशा में जाना चाहिए ताकि $V_B$ का नदी की दिशा में घटक पानी की गति $V_W$ को संतुलित कर सके।
माना $\theta$ रेखा $AB$ के साथ बना कोण है। अतः, $V_B \sin \theta = V_W$.
दिया गया है $V_B = 2V_W$, इसलिए $2V_W \sin \theta = V_W$, जिसका अर्थ है $\sin \theta = 1/2$, अर्थात $\theta = 30^\circ$.
नदी पार करने के लिए नाव का प्रभावी वेग $V_{eff} = V_B \cos \theta$ है।
$\theta = 30^\circ$ रखने पर, $V_{eff} = V_B \cos 30^\circ = V_B (\sqrt{3}/2)$.
$D$ दूरी तय करने में लगा समय $t = D / V_{eff}$ है।
अतः, $t = D / (V_B \sqrt{3} / 2) = 2D / (V_B \sqrt{3})$.

(A) मान लीजिए कि $B$ पर स्थित लड़का $y$-अक्ष पर गति करता है और $A$ पर स्थित लड़का $x$-अक्ष पर गति करता है।
$t$ समय के बाद, $B$ से लड़के की स्थिति $(0, V_1 t)$ है।
सापेक्ष विस्थापन को ध्यान में रखते हुए, $A$ से लड़के की स्थिति $(a, Vt)$ है।
वैकल्पिक रूप से, सापेक्ष वेग दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए:
$A$ पर स्थित लड़के के पास $y$-दिशा में $V_1$ वेग का घटक होना चाहिए ताकि वह $B$ पर स्थित लड़के से मेल खा सके, और $a$ दूरी तय करने के लिए $x$-दिशा में $V_x$ वेग का घटक होना चाहिए।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $V^2 = V_x^2 + V_1^2$, इसलिए $V_x = \sqrt{V^2 - V_1^2}$।
$a$ दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{a}{V_x} = \frac{a}{\sqrt{V^2 - V_1^2}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $t = [\frac{a^2}{(V^2 - V_1^2)}]^{1/2}$ प्राप्त होता है।