Surface Energy Questions in Gujarati

(A) ધારો કે મૂળ ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને $1000$ નાના ટીપાંમાંથી દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી: $1000 \times (4/3 \pi r^3) = 4/3 \pi R^3$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $1000r^3 = R^3$ મળે, તેથી $R = 10r$ અથવા $r = R/10$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $u_i = T \times 4\pi R^2$ છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
અંતિમ કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જા $u_f = 1000 \times (T \times 4\pi r^2)$ છે.
$r = R/10$ મૂકતા: $u_f = 1000 \times T \times 4\pi (R/10)^2 = 1000 \times T \times 4\pi (R^2/100) = 10 \times (T \times 4\pi R^2) = 10 u_i$.
આમ, $u_f/u_i = 10$.
આપેલ છે કે $u_f/u_i = 10/x$, તેથી $10 = 10/x$, જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $1000$ નાના ટીપાંનું કુલ કદ $1$ મોટા ટીપાંના કદ જેટલું હોય છે:
$1000 \cdot (\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$
$1000 r^3 = R^3 \implies R = 10r$.
ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા $U = T \cdot A$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
$1$ મોટા ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા: $U_{large} = T \cdot 4\pi R^2 = T \cdot 4\pi (10r)^2 = 100 T \cdot 4\pi r^2$.
$1000$ નાના ટીપાંની કુલ પૃષ્ઠ ઉર્જા: $U_{small_total} = 1000 \cdot (T \cdot 4\pi r^2) = 1000 T \cdot 4\pi r^2$.
$1$ મોટા ટીપાં અને $1000$ નાના ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{U_{large}}{U_{small_total}} = \frac{100 T \cdot 4\pi r^2}{1000 T \cdot 4\pi r^2} = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10}$.
આમ, ગુણોત્તર $1 : 10$ છે.

(A) મોટા ટીપાંનું કદ એ '$n$' નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે.
$V_{large} = n \times V_{small}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n r^3 \implies n = \frac{R^3}{r^3}$
જરૂરી ઉર્જા એ પૃષ્ઠફળમાં થતા વધારા અને પૃષ્ઠતાણ '$T$' ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
$E = T \times (\text{અંતિમ પૃષ્ઠફળ} - \text{પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ})$
$E = T \times (n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$
$n = \frac{R^3}{r^3}$ કિંમત મૂકતા:
$E = 4\pi T (\frac{R^3}{r^3} \times r^2 - R^2)$
$E = 4\pi T (\frac{R^3}{r} - R^2)$
$E = 4\pi T R^2 (\frac{R}{r} - 1)$

(C) $r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે થતું કાર્ય $W_1 = T \times \Delta A \times 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોવાથી, ક્ષેત્રફળ $2 \times (4\pi r^2)$ થાય છે.
$W_1 = T \times 8\pi r^2 = 450 \text{ erg}$.
જ્યારે ત્રિજ્યા વધારીને $3r$ કરવામાં આવે, ત્યારે નવું કાર્ય $W_2 = T \times 8\pi (3r)^2 = T \times 8\pi (9r^2) = 9 \times (T \times 8\pi r^2)$ થાય.
$W_1$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $W_2 = 9 \times 450 = 4050 \text{ erg}$ મળે છે.
જરૂરી વધારાનું કાર્ય $W_{\text{add}} = W_2 - W_1 = 4050 - 450 = 3600 \text{ erg}$ છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર છે.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોવાથી, કુલ પૃષ્ઠફળ $A = 2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ થાય છે.
આમ, $W = T \times 8\pi r^2$.
$R$ ત્રિજ્યાના પ્રથમ પરપોટા માટે, $W_1 = 8\pi R^2 T_1$.
$2R$ ત્રિજ્યાના બીજા પરપોટા માટે, $W_2 = 8\pi (2R)^2 T_2 = 32\pi R^2 T_2$.
જ્યારે દ્રાવણને ગરમ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પૃષ્ઠતાણ $T$ ઘટે છે, તેથી $T_2 < T_1$.
ગુણોત્તર $\frac{W_2}{W_1} = \frac{32\pi R^2 T_2}{8\pi R^2 T_1} = 4 \times \frac{T_2}{T_1}$ છે.
જેহেতু $T_2 < T_1$, તેથી ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} < 1$ થાય, જે સૂચવે છે કે $\frac{W_2}{W_1} < 4$.
તેથી, જરૂરી કાર્ય એ પ્રથમ પરપોટા માટે જરૂરી કાર્યના $4$ ગણા કરતા થોડું ઓછું હશે.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી, $1000$ નાના ટીપાંનું કદ મોટા ટીપાના કદ જેટલું થાય:
$1000 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$1000 r^3 = R^3$
$R = 10r$
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $(E_i)$ = $1000 \times (4 \pi r^2 T)$, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $(E_f)$ = $4 \pi R^2 T = 4 \pi (10r)^2 T = 400 \pi r^2 T$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા અને પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_f}{E_i} = \frac{400 \pi r^2 T}{1000 \times 4 \pi r^2 T} = \frac{400}{4000} = \frac{1}{10}$.

(C) સાબુના પરપોટાને વિસ્તૃત કરવા માટે થયેલ કાર્ય $(W)$ નું સૂત્ર: $W = T \times \Delta A$, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર છે.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોવાથી, કુલ પૃષ્ઠફળ $A = 2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ થાય.
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \text{ cm}$, તેથી પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_1 = 8\pi \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = 8 \text{ cm}^2$.
અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \text{ cm}$, તેથી અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_2 = 8\pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = 8\pi \times \frac{9}{\pi} = 72 \text{ cm}^2$.
પૃષ્ઠફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 72 - 8 = 64 \text{ cm}^2$.
થયેલ કાર્ય $W = T \times \Delta A = 25 \times 64 = 1600 \text{ erg}$.