Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Gujarati

(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપના $n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_{n, closed} = \frac{nv}{4L_{closed}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એકી પૂર્ણાંક $(1, 3, 5, ...)$ છે.
પાંચમા હાર્મોનિક માટે, $n = 5$, તેથી $f_{5, closed} = \frac{5v}{4L_{closed}}$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપના પ્રથમ હાર્મોનિક (મૂળભૂત આવૃત્તિ) ની આવૃત્તિ $f_{1, open} = \frac{v}{2L_{open}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંધ પાઇપનો પાંચમો હાર્મોનિક ખુલ્લી પાઇપના પ્રથમ હાર્મોનિક સાથે સુસંગત છે, તેથી $f_{5, closed} = f_{1, open}$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{5v}{4L_{closed}} = \frac{v}{2L_{open}}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{5}{4L_{closed}} = \frac{1}{2L_{open}}$.
લંબાઈના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{L_{closed}}{L_{open}} = \frac{5 \times 2}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
આ ગુણોત્તરને આપેલ ગુણોત્તર $\frac{5}{x}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 2$ મળે છે.

(B) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે, $n^{\text{th}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \left( \frac{v}{2L} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $L$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $v_3 = 3 \left( \frac{v}{2L} \right)$ અને $v_6 = 6 \left( \frac{v}{2L} \right)$.
પ્રશ્ન મુજબ, $v_6 - v_3 = 2200 \text{ Hz}$.
સમીકરણો મૂકતા: $6 \left( \frac{v}{2L} \right) - 3 \left( \frac{v}{2L} \right) = 2200$.
$3 \left( \frac{v}{2L} \right) = 2200$.
$v = 330 \text{ m/s}$ લેતા, $3 \left( \frac{330}{2L} \right) = 2200$.
$990 / (2L) = 2200$.
$2L = 990 / 2200 = 0.45 \text{ m}$.
$L = 0.225 \text{ m} = 225 \text{ mm}$.

(NONE) બંને છેડે ખુલ્લી પાઈપ માટે, $k^{th}$ હાર્મોનિકમાં $k+1$ નોડ્સ હોય છે.
$5^{th}$ હાર્મોનિક $(k=5)$ માટે, નોડ્સની સંખ્યા $n = 5 + 1 = 6$ થાય.
એક છેડે બંધ પાઈપ માટે, $p^{th}$ હાર્મોનિક (જ્યાં $p$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ) માં $\frac{p+1}{2}$ નોડ્સ હોય છે.
$9^{th}$ હાર્મોનિક $(p=9)$ માટે, નોડ્સની સંખ્યા $m = \frac{9+1}{2} = 5$ થાય.
તેથી, ગુણોત્તર $\frac{n}{m} = \frac{6}{5}$ થાય.

(C) ધારો કે બંને પાઇપની લંબાઈ $L$ છે।
ખુલ્લી પાઇપ માટે, $n$-મા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \cdot \frac{v}{2L}$ છે। પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક $(n=2)$ છે, તેથી $f_{open} = 2 \cdot \frac{v}{2L} = \frac{v}{L}$.
બંધ પાઇપ માટે, $n$-મા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = (2n-1) \cdot \frac{v}{4L}$ છે। પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક $(n=2)$ છે, તેથી $f_{closed} = 3 \cdot \frac{v}{4L}$.
બીટ આવૃત્તિ $|f_{open} - f_{closed}| = 3$ છે।
$|\frac{v}{L} - \frac{3v}{4L}| = 3$ implies $\frac{v}{4L} = 3$ implies $\frac{v}{L} = 12$.
હવે, ખુલ્લી પાઇપની નવી લંબાઈ $L' = \frac{L}{3}$ અને બંધ પાઇપની નવી લંબાઈ $L'' = 3L$ છે।
મૂળભૂત આવૃત્તિઓનો ઉપયોગ કરતા, જો આપણે મૂળભૂત આવૃત્તિઓ લઈએ તો: $f_{open} = \frac{v}{2L}$ અને $f_{closed} = \frac{v}{4L}$.
$|f_{open} - f_{closed}| = \frac{v}{4L} = 3$.
નવી આવૃત્તિઓ: $f'_{open} = \frac{v}{2(L/3)} = 3 \cdot \frac{v}{2L} = 3 \cdot 6 = 18$.
$f''_{closed} = \frac{v}{4(3L)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{v}{4L} = \frac{3}{3} = 1$.
બીટ્સની સંખ્યા $|18 - 1| = 17$ થશે.

(D) $L$ લંબાઈની બંધ પાઇપમાં, મૂળભૂત મોડ (પ્રથમ હાર્મોનિક) માં બંધ છેડા પર નિસ્પંદ બિંદુ અને ખુલ્લા છેડા પર પ્રસ્પંદ બિંદુ હોય છે.
મૂળભૂત મોડ માટે, પાઇપની લંબાઈ $L = \frac{\lambda}{4}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
ધ્વનિ તરંગને ખુલ્લા છેડાથી બંધ છેડા સુધી (અંતર $L$) પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{v}$ છે, જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = f\lambda$, તેથી $t = \frac{L}{f\lambda}$.
$L = \frac{\lambda}{4}$ મૂકતા, આપણને $t = \frac{\lambda/4}{f\lambda} = \frac{1}{4f}$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $f = \frac{1}{4t}$ મળે છે.

(A) ધારો કે ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2L}$ છે.
ખુલ્લી પાઇપનો પ્રથમ ઓવરટોન $f_{o1} = 2f_o$ છે.
સમાન લંબાઈ $L$ ધરાવતી બંધ પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4L} = \frac{f_o}{2}$ છે.
બંધ પાઇપનો બીજો ઓવરટોન $f_{c2} = 5f_c = 5 \left( \frac{f_o}{2} \right) = 2.5f_o$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, $f_{c2} - f_{o1} = 100 \text{ Hz}$.
કિંમતો મૂકતા: $2.5f_o - 2f_o = 100 \text{ Hz}$.
$0.5f_o = 100 \text{ Hz}$.
$f_o = 200 \text{ Hz}$.

(B) ધારો કે પાઇપની કુલ લંબાઈ $L$ છે. બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે.
જ્યારે પાઇપને પાણીમાં એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે તેની લંબાઈનો $\frac{2}{3}$ ભાગ પાણીમાં હોય, ત્યારે પાણીની ઉપર રહેલા હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L' = L - \frac{2}{3}L = \frac{1}{3}L$ થાય છે.
આ હવાના સ્તંભ હવે એક છેડે બંધ (પાણીની સપાટી) અને બીજા છેડે ખુલ્લી પાઇપ તરીકે કાર્ય કરે છે.
એક છેડે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f' = \frac{v}{4L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $L' = \frac{1}{3}L$ મૂકતા, આપણને $f' = \frac{v}{4(\frac{1}{3}L)} = \frac{3v}{4L}$ મળે છે.
કારણ કે $f = \frac{v}{2L}$, આપણે $v = 2Lf$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત $f'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $f' = \frac{3(2Lf)}{4L} = \frac{6f}{4} = \frac{3}{2}f$ મળે છે.

(D) ધારો કે ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2L}$ છે.
ખુલ્લી પાઇપનો બીજો ઓવરટોન $f_{o,2} = 3f_o = 3 \times \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4L}$ છે.
બંધ પાઇપનો ત્રીજો ઓવરટોન એ $7^{th}$ હાર્મોનિક છે, જે $f_{c,3} = 7f_c = 7 \times \frac{v}{4L}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, $f_{c,3} - f_{o,2} = 150 \text{ Hz}$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{7v}{4L} - \frac{3v}{2L} = 150$.
$\frac{7v - 6v}{4L} = 150 \implies \frac{v}{4L} = 150 \text{ Hz}$.
કારણ કે $f_o = \frac{v}{2L} = 2 \times \frac{v}{4L}$, તેથી $f_o = 2 \times 150 = 300 \text{ Hz}$.

(B) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે, અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના ચોથા ભાગનો એકી ગુણાંક હોય.
અનુનાદ માટેની શરત $L = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ છે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$
પ્રથમ, $v = f \lambda$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધો, જ્યાં $v = 332$ m/s અને $f = 415$ Hz.
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{332}{415} = 0.8$ m = $80$ cm.
હવે, $\lambda = 80$ cm ને અનુનાદની શરતમાં મૂકતા:
$L = (2n - 1) \frac{80}{4} = (2n - 1) \times 20$ cm.
$n = 1$ માટે, $L = 20$ cm.
$n = 2$ માટે, $L = 60$ cm.
$n = 3$ માટે, $L = 100$ cm.
આ કિંમતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, $40$ cm એ $20$ cm નો એકી ગુણાંક નથી, તેથી તે અનુનાદમાં નથી.

(D) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે, હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $f_n = (2n + 1)f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$ એ ઓવરટોન નંબર દર્શાવે છે.
ચોથા ઓવરટોન માટે, $n = 4$ છે.
આવૃત્તિ $f_4 = (2(4) + 1)f_0 = 9f_0$ થશે.
$n$-માં ઓવરટોનમાં કંપન કરતી બંધ પાઇપમાં નિસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યાનું સામાન્ય સૂત્ર $x = n + 1$ છે.
$n = 4$ મૂકતા, આપણને $x = 4 + 1 = 5$ મળે છે.
$n$-માં ઓવરટોનમાં કંપન કરતી બંધ પાઇપમાં પ્રસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યાનું સામાન્ય સૂત્ર $y = n + 1$ છે.
$n = 4$ મૂકતા, આપણને $y = 4 + 1 = 5$ મળે છે.
તેથી, $x$ અને $y$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $5$ અને $5$ છે.

(D) $L_0$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે, $n$ માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = (n+1) \frac{v}{2L_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાંચમા ઓવરટોન $(n=5)$ માટે, આવૃત્તિ $f_{5, \text{open}} = (5+1) \frac{v}{2L_0} = \frac{6v}{2L_0} = \frac{3v}{L_0}$ થાય.
$L_c$ લંબાઈની એક છેડે બંધ પાઇપ માટે, $n$ માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_n = (2n+1) \frac{v}{4L_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાંચમા ઓવરટોન $(n=5)$ માટે, આવૃત્તિ $f_{5, \text{closed}} = (2 \times 5 + 1) \frac{v}{4L_c} = \frac{11v}{4L_c}$ થાય.
આવૃત્તિઓ સમાન હોવાથી, $f_{5, \text{open}} = f_{5, \text{closed}}$.
તેથી, $\frac{3v}{L_0} = \frac{11v}{4L_c}$.
ગુણોત્તર $\frac{L_0}{L_c}$ શોધતા, આપણને $\frac{L_0}{L_c} = \frac{3 \times 4}{11} = \frac{12}{11}$ મળે છે.

(C) એક છેડે બંધ $L$ લંબાઈની ઓર્ગન પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $\nu = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
જ્યારે પાઇપને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક ભાગની લંબાઈ $L' = \frac{L}{2}$ થાય છે.
એક ભાગ એક છેડે બંધ રહે છે, તેથી તેની મૂળભૂત આવૃત્તિ $\nu_1 = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(L/2)} = \frac{2v}{4L} = 2\nu$ થાય છે.
બીજો ભાગ હવે બંને છેડે ખુલ્લો છે, તેથી તેની મૂળભૂત આવૃત્તિ $\nu_2 = \frac{v}{2L'} = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 4 \times (\frac{v}{4L}) = 4\nu$ થાય છે.
આમ, મળતી આવૃત્તિઓ $2\nu$ અને $4\nu$ છે.

(B) $L_c$ લંબાઈની બંધ પાઇપ માટે, $n$ માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_c = (2n + 1) \frac{v}{4L_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ ઓવરટોનનો ક્રમ છે. ત્રીજા ઓવરટોન $(n = 3)$ માટે, $f_c = (2 \times 3 + 1) \frac{v}{4L_c} = \frac{7v}{4L_c}$ થાય.
$L_0$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે, $n$ માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_0 = (n + 1) \frac{v}{2L_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ત્રીજા ઓવરટોન $(n = 3)$ માટે, $f_0 = (3 + 1) \frac{v}{2L_0} = \frac{4v}{2L_0} = \frac{2v}{L_0}$ થાય.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે, તેથી $\frac{7v}{4L_c} = \frac{2v}{L_0}$ થાય.
ગુણોત્તર $L_c : L_0$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા, આપણને $\frac{L_c}{L_0} = \frac{7}{4 \times 2} = \frac{7}{8}$ મળે છે.
આમ, ગુણોત્તર $L_c : L_0$ એ $7:8$ છે.

(D) એક છેડે ખુલ્લી રેઝોનન્સ ટ્યુબ માટે, રેઝોનન્સની શરત $L + e = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ હવાના સ્તંભની લંબાઈ છે, $e$ એ અંતિમ સુધારો છે, અને $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
પ્રથમ રેઝોનન્સ $(n=1)$ માટે: $L_1 + e = \frac{\lambda}{4}$.
આપેલ છે કે $L_1 = 18$ cm અને $e = 1.1$ cm, તેથી $18 + 1.1 = \frac{\lambda}{4} \implies 19.1 = \frac{\lambda}{4} \implies \lambda = 76.4$ cm.
બીજા રેઝોનન્સ $(n=2)$ માટે: $L_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$.
કિંમતો મૂકતા: $L_2 + 1.1 = 3 \times 19.1$.
$L_2 + 1.1 = 57.3$.
$L_2 = 57.3 - 1.1 = 56.2$ cm.

(A) એક છેડે બંધ નળી માટે, જ્યારે હવાનો સ્તંભ $\frac{\lambda}{4}$ નો એકી ગુણાંક હોય ત્યારે અનુનાદ થાય છે.
ધારો કે બે સૌથી ટૂંકી લંબાઈ $l_1$ અને $l_2$ છે.
$l_1 = \frac{\lambda}{4}$
$l_2 = \frac{3\lambda}{4}$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$l_2 - l_1 = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$
તેથી, $\lambda = 2(l_2 - l_1)$.
હવામાં ધ્વનિની ઝડપ $v = n\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$v = n \times 2(l_2 - l_1) = 2n(l_2 - l_1)$.

(B) બંને છેડે જડિત તાર માટે $n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \cdot f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f_1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે તાર $P$ માં હાર્મોનિકમાં $320 \text{ Hz}$ પર અનુનાદિત થાય છે, તેથી $f_P = P \cdot f_1 = 320 \text{ Hz}$.
ક્રમિક મોડમાં પછીની ઉચ્ચ આવૃત્તિ $(P+1)$ માં હાર્મોનિક છે, જે $f_{P+1} = (P+1) \cdot f_1 = 400 \text{ Hz}$ તરીકે આપેલ છે.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $(P+1)f_1 - P f_1 = 400 - 320$.
આનાથી $f_1 = 80 \text{ Hz}$ મળે છે.
$f_1$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $P \cdot 80 = 320$.
તેથી, $P = 320 / 80 = 4$.