Transverse Stationary Waves and Sonometer Questions in Gujarati

(D) કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ (તાર સમાન હોવાથી) અચળ રહેતા હોવાથી, $n \propto \frac{1}{l}$ થાય.
તેથી, $\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1}$.
અહીં $n_1 = 1 \ kHz$ અને $n_2 = 1.001 \ kHz$ આપેલ છે, તેથી $\frac{l_2}{l_1} = \frac{1}{1.001}$.
ઉષ્મીય પ્રસરણના સૂત્ર $l_2 = l_1(1 - \alpha \Delta t)$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $\Delta t = 30^{\circ} C - 10^{\circ} C = 20^{\circ} C$:
$\frac{l_1}{1.001} = l_1(1 - \alpha \times 20)$.
$1 - 20\alpha = \frac{1}{1.001} \approx 1 - 0.001$.
$20\alpha = 0.001$.
$\alpha = \frac{0.001}{20} = 0.5 \times 10^{-4} /^{\circ} C$.

(B) આપેલ છે, દોરીની લંબાઈ $l = 100 \,cm = 1 \,m$.
ત્રણ અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_1 = 120 \,Hz, f_2 = 200 \,Hz, f_3 = 280 \,Hz$ છે.
બંને છેડે જડિત દોરી માટે અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = n f_0$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે, જ્યાં $f_0$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0$ એ આપેલી આવૃત્તિઓનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ છે.
$f_0 = \text{GCD}(120, 200, 280) = 40 \,Hz$.
બંને છેડે જડિત દોરી માટે મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2l}$ છે.
તેથી, તરંગની ઝડપ $v = 2 l f_0$ થાય.
કિંમતો મૂકતા, $v = 2 \times 1 \,m \times 40 \,Hz = 80 \,m/s$.

(B) અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $160 \,Hz$, $240 \,Hz$ અને $400 \,Hz$ છે. આ આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $160:240:400$ છે, જેનું સાદું રૂપ $2:3:5$ થાય છે.
આ આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0$ ના હાર્મોનિક્સ છે, તેથી આપણે $f_n = n f_0$ લખી શકીએ, જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે.
$2:3:5$ ગુણોત્તર પરથી, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = 160/2 = 80 \,Hz$ મળે છે.
બંને છેડે જડેલી દોરી માટે મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_0 = \frac{v}{2L}$ છે.
કિંમતો $f_0 = 80 \,Hz$ અને $v = 160 \,m/s$ મૂકતા:
$80 = \frac{160}{2L}$
$80 = \frac{80}{L}$
$L = 1 \,m = 100 \,cm$.

(D) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$, જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે, $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આપેલ છે $f_1 = 300 \ Hz$, $L_1 = L$, અને $T_1 = T_1$. તેથી, $300 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$.
આપેલ છે $f_2 = 100 \ Hz$, $L_2 = 2L$, અને $T_2 = T_2$. તેથી, $100 = \frac{1}{2(2L)} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \frac{1}{4L} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{300}{100} = \frac{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}}{\frac{1}{4L} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}}$.
$3 = \frac{4L}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = 2 \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
$1.5 = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2.25 = \frac{T_1}{T_2}$, જે $\frac{9}{4} = \frac{T_1}{T_2}$ છે.
તેથી, $\frac{T_2}{T_1} = \frac{4}{9}$.

(D) કંપન કરતી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે, $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
શરૂઆતમાં, $f_1 = \frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$.
આપેલ છે કે લંબાઈ $25 \%$ ઘટાડવામાં આવે છે, તેથી નવી લંબાઈ $L_2 = L_1 - 0.25L_1 = 0.75L_1 = \frac{3}{4}L_1$.
નવી આવૃત્તિ $f_2$ એ $100 \%$ વધે છે, તેથી $f_2 = f_1 + 1.00f_1 = 2f_1$.
નવી સ્થિતિ માટે આવૃત્તિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $f_2 = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$.
$L_2$ અને $f_2$ ની કિંમત મૂકતા: $2f_1 = \frac{1}{2(\frac{3}{4}L_1)} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \frac{4}{6L_1} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \frac{2}{3L_1} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$.
$f_2$ ના સમીકરણને $f_1$ વડે ભાગતા: $\frac{2f_1}{f_1} = \frac{\frac{2}{3L_1} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}}{\frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}}$.
$2 = \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \frac{4}{3} \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $\frac{T_2}{T_1} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

(C) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે, $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે。
શરૂઆતમાં, $L_1 = 0.4 \,m$, $f_1 = 250 \,Hz$, અને તણાવ $T_1 = T$ છે。
તેથી, $250 = \frac{1}{2 \times 0.4} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \quad ...(i)$
અંતે, $L_2 = 0.4 + 0.1 = 0.5 \,m$, અને નવો તણાવ $T_2 = T/4$ છે。
તેથી, $f_2 = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{T/4}{\mu}} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{f_2}{250} = \frac{\frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{T}{4\mu}}}{\frac{1}{2 \times 0.4} \sqrt{\frac{T}{\mu}}} = \frac{0.4}{0.5} \times \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5} = 0.4$
$f_2 = 250 \times 0.4 = 100 \,Hz$.

(C) કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ બધા ભાગો માટે સમાન હોવાથી, આવૃત્તિ $n$ એ ભાગની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(n \propto \frac{1}{l})$.
આપેલ છે કે મૂળભૂત આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 2 : 3$ છે.
તેથી, તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{n_1} : \frac{1}{n_2} : \frac{1}{n_3} = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = 6 : 3 : 2$ થશે.
તારની કુલ લંબાઈ $L = l_1 + l_2 + l_3 = 99 \ cm$ છે.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $= 6 + 3 + 2 = 11$.
દરેક ભાગની લંબાઈની ગણતરી:
$l_1 = \frac{6}{11} \times 99 = 54 \ cm$
$l_2 = \frac{3}{11} \times 99 = 27 \ cm$
$l_3 = \frac{2}{11} \times 99 = 18 \ cm$
આમ, લંબાઈઓ $54 \ cm, 27 \ cm, 18 \ cm$ છે.

(B) ધ્રુજારી પામતા તારની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી, $n \propto \frac{1}{l}$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $nl = \text{અચળ}$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે.
$l_1 = 100 \,cm$ લંબાઈ પર, તારની આવૃત્તિ $n_1 = n + 8$ છે (કારણ કે બીટ્સ સંભળાય છે).
$l_2 = 101 \,cm$ લંબાઈ પર, તારની આવૃત્તિ $n_2 = n - 8$ છે (જેમ લંબાઈ વધે તેમ આવૃત્તિ ઘટે છે).
$n_1 l_1 = n_2 l_2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(n + 8) \times 100 = (n - 8) \times 101$
$100n + 800 = 101n - 808$
$101n - 100n = 800 + 808$
$n = 1608 \,Hz$.

(C) દોરી માટે $n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$ છે.
$A$ ના પ્રથમ ઓવરટોન માટે $(n=2)$: $f_{A} = \frac{2}{2l_A} \sqrt{\frac{T}{\pi r_A^2 \rho}} = \frac{1}{l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$B$ ના બીજા ઓવરટોન માટે $(n=3)$: $f_{B} = \frac{3}{2l_B} \sqrt{\frac{T}{\pi r_B^2 \rho}} = \frac{3}{2l_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આપેલ છે કે $f_A = f_B$ અને $r_A = 2r_B$:
$\frac{1}{l_A (2r_B)} = \frac{3}{2l_B r_B}$.
સાદુરૂપ આપતા, $\frac{1}{2l_A} = \frac{3}{2l_B} \Rightarrow \frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{3}$.
આમ, લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_A : l_B = 1 : 3$ થાય.

(C) સોનોમીટર તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર સમાન હોવાથી $T$ (તણાવ) અને $m$ (એકમ લંબાઈ દીઠ દળ) અચળ છે, તેથી $n \propto \frac{1}{l}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 3 : 4$ આપેલ છે, તેથી લંબાઈનો ગુણોત્તર વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હશે:
$l_1 : l_2 : l_3 = \frac{1}{1} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$.
આ ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે $1, 3, 4$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $12$ વડે ગુણતા:
$l_1 : l_2 : l_3 = 12 : 4 : 3$.
ભાગોનો સરવાળો $12 + 4 + 3 = 19$ થાય છે.
તારની કુલ લંબાઈ $114 \ cm$ છે.
તેથી, લંબાઈઓ નીચે મુજબ છે:
$l_1 = \frac{12}{19} \times 114 = 12 \times 6 = 72 \ cm$
$l_2 = \frac{4}{19} \times 114 = 4 \times 6 = 24 \ cm$
$l_3 = \frac{3}{19} \times 114 = 3 \times 6 = 18 \ cm$.
આમ, લંબાઈઓ $72 \ cm, 24 \ cm, 18 \ cm$ છે.

(A) કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ માટેનું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
એક જ તાર માટે $L$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી, આપણને $f \propto \sqrt{T}$ મળે છે.
તેથી, આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર: $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $f_1 = 450 \,Hz$, $T_1 = 9 \,kg-wt$, અને $f_2 = 900 \,Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{900}{450} = \sqrt{\frac{T_2}{9}}$.
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{9}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{T_2}{9}$.
$T_2 = 4 \times 9 = 36 \,kg-wt$.

(C) આપેલ છે: $T_A = T_B$, $f_A = f_B$, $L_A = 80 \text{ cm}$, $L_B = x \text{ cm}$.
ઘનતાનો ગુણોત્તર: $\frac{d_A}{d_B} = 0.81$.
વ્યાસનો ગુણોત્તર: $\frac{D_A}{D_B} = 2$.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઘનતા} = \frac{\pi D^2}{4} \times d$.
તેથી, $\frac{\mu_A}{\mu_B} = \left(\frac{D_A}{D_B}\right)^2 \times \frac{d_A}{d_B} = (2)^2 \times 0.81 = 4 \times 0.81 = 3.24$.
તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
કારણ કે $f_A = f_B$ અને $T_A = T_B$, તેથી $L_A \sqrt{\mu_A} = L_B \sqrt{\mu_B}$.
$\frac{L_B}{L_A} = \sqrt{\frac{\mu_A}{\mu_B}} = \sqrt{3.24} = 1.8$.
$x = 80 \times 1.8 = 144 \text{ cm}$.

(D) સોનોમીટર તારની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $f$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી, $l \propto \sqrt{T}$ મળે.
તેથી, $\frac{l_{\text{air}}}{l_{\text{water}}} = \sqrt{\frac{T_{\text{air}}}{T_{\text{water}}}}$.
હવામાં તણાવ $T_{\text{air}} = mg$ છે. જ્યારે પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ ઉપરની તરફ લાગે છે, તેથી $T_{\text{water}} = mg - F_B$.
આપેલ વિશિષ્ટ ઘનતા $\sigma = 8$ છે, એટલે કે લોખંડની ઘનતા $\rho = 8 \rho_w$. ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_w g = \frac{m}{\rho} \rho_w g = \frac{m}{8 \rho_w} \rho_w g = \frac{mg}{8}$.
તેથી, $T_{\text{water}} = mg - \frac{mg}{8} = \frac{7}{8} mg = \frac{7}{8} T_{\text{air}}$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{l_{\text{air}}}{l_{\text{water}}} = \sqrt{\frac{T_{\text{air}}}{\frac{7}{8} T_{\text{air}}}} = \sqrt{\frac{8}{7}}$.
આપેલ છે કે $l_{\text{air}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \times 1 \ m = \frac{1}{\sqrt{7}} \ m$.
તેથી $l_{\text{water}} = l_{\text{air}} \times \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \times \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \ m$.

(A) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે, $T$ એ તણાવ છે અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
પ્રારંભિક આવૃત્તિ: $n_1 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$.
નવી લંબાઈ: $l' = l - 0.40l = 0.6l$.
નવો તણાવ: $T' = T + 0.44T = 1.44T$.
નવી આવૃત્તિ: $n_2 = \frac{1}{2l'} \sqrt{\frac{T'}{m}} = \frac{1}{2(0.6l)} \sqrt{\frac{1.44T}{m}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n_2}{n_1} = \frac{\frac{1}{2(0.6l)} \sqrt{\frac{1.44T}{m}}}{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}} = \frac{l}{0.6l} \times \sqrt{\frac{1.44T}{T}} = \frac{1}{0.6} \times \sqrt{1.44} = \frac{1.2}{0.6} = 2$.
તેથી, અંતિમ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(B) લંબાઈ $l$, ત્રિજ્યા $r$, ઘનતા $\rho$ અને તણાવ $T$ ધરાવતી દોરી માટે $p$-મો હાર્મોનિક (અથવા $(p-1)$-મો ઓવરટોન) ની આવૃત્તિ $f = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{p}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દોરી $A$ માટે, પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક $(p=2)$ છે:
$f_A = \frac{2}{2l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
દોરી $B$ માટે, બીજો ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક $(p=3)$ છે:
$f_B = \frac{3}{2l_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આપેલ છે કે $f_A = f_B$ અને $r_A = 2r_B$:
$\frac{1}{l_A r_A} = \frac{3}{2l_B r_B}$.
$r_A = 2r_B$ મૂકતા:
$\frac{1}{l_A (2r_B)} = \frac{3}{2l_B r_B}$.
$\frac{1}{2l_A} = \frac{3}{2l_B}$.
$\frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{3}$.
આમ, લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_A : l_B = 1 : 3$ છે.

(D) ખેંચાયેલી દોરીની આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે, જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે, $T$ એ તણાવ છે અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આના પરથી, આપણને સંબંધ $n \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = n$ અને અંતિમ આવૃત્તિ $n_2 = 2n$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l_1 = l$ અને અંતિમ લંબાઈ $l_2 = \frac{3}{4}l$ છે.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n}{2n} = \frac{\frac{3}{4}l}{l} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{9}{16} \frac{T_1}{T_2}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{9}{16} \times 4 = \frac{9}{4}$.
આમ, તણાવને $\frac{9}{4}$ ના અવયવ દ્વારા બદલવો જોઈએ.

(A) બંને છેડે જડિત દોરીની આવૃત્તિનું સૂત્ર $v = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $n$ એ હાર્મોનિક નંબર છે, $L$ એ લંબાઈ છે, $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{M}{L}$.
સૂત્રમાં $\mu$ ની કિંમત મૂકતા:
$v = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{M/L}} = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{TL}{M}} = \frac{n}{2} \sqrt{\frac{T}{ML}}$.
આમ, સાચું સૂત્ર $v = \frac{n}{2} \sqrt{\frac{T}{ML}}$ છે.

(B) ખેંચાયેલા તાર માટે $n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે, $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \rho \cdot A = \rho \cdot \pi r^2$, જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
તેથી, $f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}} = \frac{n}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
પ્રથમ તાર માટે: $n_1 = 2$ (પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક છે), $r_1 = 2r_2$, $L_1 = L_1$.
$f_{1, \text{overtone}} = \frac{2}{2L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}} = \frac{1}{L_1 (2r_2)} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
બીજા તાર માટે: $n_2 = 3$ (બીજો ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક છે), $r_2 = r_2$, $L_2 = L_2$.
$f_{2, \text{overtone}} = \frac{3}{2L_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
આપેલ છે કે $f_{1, \text{overtone}} = f_{2, \text{overtone}}$:
$\frac{1}{2L_1 r_2} = \frac{3}{2L_2 r_2}$.
$\frac{1}{L_1} = \frac{3}{L_2} \text{ implies } \frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{3}$.

(A) બંને છેડે જડિત સોનોમીટરના તાર માટે, $n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f_1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
સોનોમીટરના તારમાં, હાર્મોનિક્સ $1^{st}$ (મૂળભૂત), $2^{nd}$, $3^{rd}$, $4^{th}$ વગેરે હોય છે.
ઓવરટોન એ મૂળભૂત આવૃત્તિ કરતા વધારે આવૃત્તિઓ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$1^{st}$ ઓવરટોન = $2^{nd}$ હાર્મોનિક $(n=2)$
$2^{nd}$ ઓવરટોન = $3^{rd}$ હાર્મોનિક $(n=3)$
$3^{rd}$ ઓવરટોન = $4^{th}$ હાર્મોનિક $(n=4)$
$n^{th}$ હાર્મોનિક માટે, નિસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા $(n+1)$ અને પ્રસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા $n$ હોય છે.
$4^{th}$ હાર્મોનિક $(n=4)$ માટે:
નિસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા = $4 + 1 = 5$
પ્રસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા = $4$
તેથી, તેમાં $5$ નિસ્પંદ બિંદુઓ અને $4$ પ્રસ્પંદ બિંદુઓ હોય છે.

(B) સોનોમીટર વાયરની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
અહીં $T$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી, $f \propto \frac{1}{L}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L_1 = L$ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = 50 \text{ Hz}$ છે.
નવી લંબાઈ $L_2 = L + 0.25L = 1.25L = \frac{5}{4}L$ થશે.
નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2$ માટે, $\frac{f_2}{f_1} = \frac{L_1}{L_2} = \frac{L}{1.25L} = \frac{1}{1.25} = 0.8$ મળે.
તેથી, $f_2 = 0.8 \times 50 \text{ Hz} = 40 \text{ Hz}$.
બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f'_n = 2f_n$ છે.
પ્રારંભિક બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f'_1 = 2 \times 50 = 100 \text{ Hz}$.
નવી બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f'_2 = 2 \times 40 = 80 \text{ Hz}$.
આવૃત્તિમાં થતો ફેરફાર $\Delta f' = 80 - 100 = -20 \text{ Hz}$ છે.
ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta f'}{f'_1} \times 100 = \frac{-20}{100} \times 100 = -20\%$.
આમ, આવૃત્તિમાં $20\%$ નો ઘટાડો થાય છે.

(C) કંપન કરતા તારની આવૃત્તિ $f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ લૂપ્સ (એન્ટિનોડ્સ) ની સંખ્યા છે, $L$ એ લંબાઈ છે, $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
ટ્યુનિંગ ફોર્ક સમાન હોવાથી, આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે.
તેમજ, $L$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી, $n \propto \sqrt{T}$ થાય.
તણાવ $T = Mg$ હોવાથી, $n \propto \sqrt{M}$ થાય, એટલે કે $n^2 \propto M$.
પ્રથમ કિસ્સામાં: $n_1 = 4$ અને $M_1 = 1 \text{ kg}$.
બીજા કિસ્સામાં: $n_2 = 2$ અને $M_2 = M$.
તેથી, $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{M_1}{M_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4^2}{2^2} = \frac{1}{M}$.
$\frac{16}{4} = \frac{1}{M} \implies 4 = \frac{1}{M}$.
આમ, $M = 4 \text{ kg}$.

(C) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આ સંબંધ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1$ છે અને અંતિમ આવૃત્તિ $f_2 = f_1 + 0.40f_1 = 1.4f_1$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T_1$ છે અને અંતિમ તણાવ $T_2$ છે.
$f \propto \sqrt{T}$ હોવાથી, $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.4f_1}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \implies 1.4 = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1.4)^2 = \frac{T_2}{T_1} \implies 1.96 = \frac{T_2}{T_1}$.
આમ, $T_2 = 1.96T_1$.
તણાવમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100\% = (1.96 - 1) \times 100\% = 0.96 \times 100\% = 96\%$ છે.

(A) બંને છેડે જડિત સોનોમીટરના તારમાં, $n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f_1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
$n^{th}$ હાર્મોનિક એ $(n-1)^{th}$ ઓવરટોનને અનુરૂપ છે.
અહીં તાર ત્રીજા ઓવરટોનમાં કંપન કરે છે, તેથી $n-1 = 3$, જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.
$n^{th}$ હાર્મોનિક માટે, રચાતા લૂપ્સની સંખ્યા $n = 4$ છે.
એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા લૂપ્સની સંખ્યા જેટલી જ હોય છે, જે $4$ છે.
બંને છેડે જડિત તારમાં નોડ્સની સંખ્યા $n+1 = 4+1 = 5$ થાય છે.
તેથી, એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા $4$ અને નોડ્સની સંખ્યા $5$ છે.

(A) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ તારમાં તણાવ છે.
જ્યારે ગોળો હવામાં લટકતો હોય, ત્યારે તણાવ $T_1 = Mg$ હોય છે, તેથી $n_1 \propto \sqrt{Mg}$.
જ્યારે ગોળાને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે, ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ ઉપરની તરફ લાગે છે, તેથી અસરકારક વજન (તણાવ) $T_2 = Mg - V\rho_w g = Mg(1 - \frac{V\rho_w}{M}) = Mg(1 - \frac{\rho_w}{\rho_m})$ થાય છે, જ્યાં $\rho_m$ એ ધાતુની ઘનતા છે અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
આમ, $n_2 \propto \sqrt{Mg(1 - \frac{\rho_w}{\rho_m})}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{\rho_w}{\rho_m}}} = \sqrt{\frac{\rho_m}{\rho_m - \rho_w}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{\rho_m}{\rho_m - \rho_w}$.
ધારો કે સાપેક્ષ ઘનતા $\sigma = \frac{\rho_m}{\rho_w}$ છે. તો $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{\sigma}{\sigma - 1}$.
$n_1^2(\sigma - 1) = n_2^2 \sigma \implies \sigma(n_1^2 - n_2^2) = n_1^2$.
તેથી, $\sigma = \frac{n_1^2}{n_1^2 - n_2^2}$.

(B) સોનોમીટર વાયરની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે $n \propto \frac{1}{L}$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $f$ છે. વાયરની આવૃત્તિ $n = \frac{k}{L}$ છે.
કિસ્સો $1$: $L_1 = 33 \text{ cm}$, બીટ્સ = $5$. તેથી, $n_1 = f \pm 5 = \frac{k}{33}$.
કિસ્સો $2$: $L_2 = 32 \text{ cm}$, બીટ્સ = $5$. તેથી, $n_2 = f \pm 5 = \frac{k}{32}$.
જેમ $L$ ઘટે છે, તેમ $n$ વધે છે. તેથી, $n_2 > n_1$.
જો $n_1 = f - 5$ અને $n_2 = f + 5$ હોય, તો $\frac{k}{32} = f + 5$ અને $\frac{k}{33} = f - 5$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $k(\frac{1}{32} - \frac{1}{33}) = 10 \Rightarrow k(\frac{1}{1056}) = 10 \Rightarrow k = 10560$.
હવે, $f - 5 = \frac{10560}{33} = 320 \Rightarrow f = 325 \text{ Hz}$.

(C) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$, જ્યાં $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2) \rho = \pi (d/2)^2 \rho = \frac{\pi d^2 \rho}{4}$.
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $\mu$ ની કિંમત મૂકતા: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\frac{\pi d^2 \rho}{4}}} = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
પ્રથમ તાર માટે: $n_A = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
બીજા તાર માટે: $n_B = \frac{1}{(2L)(3d)} \sqrt{\frac{2T}{\pi (2\rho)}} = \frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
ગુણોત્તર લેતા $n_B : n_A = \frac{\frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}}{\frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}} = \frac{1}{6}$.
આમ, $n_B : n_A$ નો ગુણોત્તર $1 : 6$ છે.