Area bounded by region of multi curve Questions in Hindi

(B) चरण $1$: समीकरणों को $y^2 = \frac{9}{4}x$ और $x^2 = \frac{16}{3}y$ के रूप में लिखें, जिसका अर्थ है $y = \frac{3}{2}\sqrt{x}$ और $y = \frac{3}{16}x^2$।
चरण $2$: $y = \frac{3}{16}x^2$ को $4y^2 = 9x$ में प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $4(\frac{3}{16}x^2)^2 = 9x \Rightarrow 4(\frac{9}{256}x^4) = 9x \Rightarrow \frac{9}{64}x^4 = 9x \Rightarrow x^4 = 64x$।
चरण $3$: $x(x^3 - 64) = 0$ को हल करने पर $x = 0$ और $x = 4$ प्राप्त होता है। संगत $y$ मान $0$ और $3$ हैं।
चरण $4$: क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{4} (\frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{3}{16}x^2) dx$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $5$: $A = [\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{3}{16} \cdot \frac{x^3}{3}]_{0}^{4} = [x^{3/2} - \frac{x^3}{16}]_{0}^{4} = (4^{3/2} - \frac{4^3}{16}) = (8 - 4) = 4$ वर्ग इकाई।

(D) क्षेत्र $y = x^2$, $y = 8/x$, और $y = 1$ द्वारा परिबद्ध है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$1$. $y = x^2$ और $y = 1 \implies x = \pm 1$। चूँकि $xy \leq 8$ और $y \geq 1$, हम $x > 0$ लेते हैं, अतः $x = 1$।
$2$. $y = 8/x$ और $y = 1 \implies x = 8$।
$3$. $y = x^2$ और $y = 8/x \implies x^3 = 8 \implies x = 2$।
क्षेत्रफल $A = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx + \int_{2}^{8} (8/x - 1) dx$ है।
$A = [x^3/3 - x]_{1}^{2} + [8 \ln|x| - x]_{2}^{8}$।
$A = (8/3 - 2) - (1/3 - 1) + (8 \ln 8 - 8) - (8 \ln 2 - 2)$।
$A = (2/3) - (-2/3) + 8(3 \ln 2) - 8 - 8 \ln 2 + 2$।
$A = 4/3 + 24 \ln 2 - 8 - 8 \ln 2 + 2 = 16 \ln 2 - 14/3$।

(B) $1$. $x^2 + y^2 = 9$ और $y^2 = 8x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। $y^2 = 8x$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2 + 8x - 9 = 0 \implies (x+9)(x-1) = 0$। चूँकि $x \geq 0$, इसलिए $x = 1$। तब $y^2 = 8$, अतः $y = \pm 2\sqrt{2}$।
$2$. क्षेत्रफल $x$-अक्ष के परितः सममित है। क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{0}^{1} \sqrt{8x} \, dx + \int_{1}^{3} \sqrt{9-x^2} \, dx \right]$।
$3$. प्रथम समाकल: $2\sqrt{2} \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx = 2\sqrt{2} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{1} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$।
$4$. द्वितीय समाकल: $\int_{1}^{3} \sqrt{3^2 - x^2} \, dx = [\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{3})]_{1}^{3} = (0 + \frac{9}{2} \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{8} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{1}{3})) = \frac{9\pi}{4} - \sqrt{2} - \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{1}{3})$।
$5$. कुल क्षेत्रफल $= 2 [\frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{4} - \sqrt{2} - \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{1}{3})] = \frac{8\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{2} - 2\sqrt{2} - 9 \sin^{-1}(\frac{1}{3})$।

(B) चरण $1$: वक्रों का विश्लेषण करें। वक्र $y = |x| - 1$ शीर्ष $(0, -1)$ वाला एक $V$-आकार है। वक्र $y = -|x| + 1$ शीर्ष $(0, 1)$ वाला एक उल्टा $V$-आकार है।
चरण $2$: प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। $|x| - 1 = -|x| + 1$ रखने पर, हमें $2|x| = 2$ प्राप्त होता है, इसलिए $|x| = 1$, जिससे $x = 1$ और $x = -1$ मिलता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ और $(-1, 0)$ हैं।
चरण $3$: आकृति की पहचान करें। इन दो वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र एक वर्ग है जिसके शीर्ष $(0, 1), (1, 0), (0, -1),$ और $(-1, 0)$ हैं।
चरण $4$: क्षेत्रफल की गणना करें। वर्ग के विकर्णों की लंबाई $d_1 = 2$ (ऊर्ध्वाधर) और $d_2 = 2$ (क्षैतिज) है। वर्ग (या समचतुर्भुज) का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ वर्ग इकाई है।

(A) छायांकित क्षेत्र $x = 2\pi$ से $x = \frac{9\pi}{4}$ तक $y = \sin x$ और $x = \frac{9\pi}{4}$ से $x = \frac{5\pi}{2}$ तक $y = \cos x$ द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार दिया गया है:
$A = \int_{2\pi}^{\frac{9\pi}{4}} \sin x \, dx + \int_{\frac{9\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} \cos x \, dx$
$A = [-\cos x]_{2\pi}^{\frac{9\pi}{4}} + [\sin x]_{\frac{9\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}}$
$A = -(\cos \frac{9\pi}{4} - \cos 2\pi) + (\sin \frac{5\pi}{2} - \sin \frac{9\pi}{4})$
$A = -(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$A = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$A = 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$ वर्ग इकाई।

(C) चरण $1$: $y = kx$ को $y^2 = 4kx$ में प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
$(kx)^2 = 4kx \implies k^2x^2 - 4kx = 0 \implies kx(kx - 4) = 0$।
अतः, $x = 0$ और $x = \frac{4}{k}$।
चरण $2$: क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{4/k} (\sqrt{4kx} - kx) \, dx = \frac{2}{3}$।
चरण $3$: समाकलन करने पर: $2\sqrt{k} \int_{0}^{4/k} x^{1/2} \, dx - k \int_{0}^{4/k} x \, dx = \frac{2}{3}$।
$2\sqrt{k} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{4/k} - k [\frac{x^2}{2}]_{0}^{4/k} = \frac{2}{3}$।
$\frac{32}{3k} - \frac{8}{k} = \frac{2}{3} \implies \frac{8}{3k} = \frac{2}{3}$।
चरण $4$: $k$ के लिए हल करने पर, $2k = 8 \implies k = 4$।

(B) चरण $1$: समीकरणों को $y^2 = \frac{9}{4}x$ और $x^2 = \frac{16}{3}y$ के रूप में लिखें।
चरण $2$: पहले समीकरण में $y = \frac{3x^2}{16}$ प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $(\frac{3x^2}{16})^2 = \frac{9}{4}x \implies \frac{9x^4}{256} = \frac{9}{4}x \implies x^4 = 64x$।
चरण $3$: $x(x^3 - 64) = 0$ को हल करने पर $x = 0$ और $x = 4$ प्राप्त होता है। संगत $y$ मान $0$ और $3$ हैं।
चरण $4$: क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{4} (\sqrt{\frac{9}{4}x} - \frac{3x^2}{16}) dx$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $5$: $A = \int_{0}^{4} (\frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{3}{16}x^2) dx = [\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{3}{16} \cdot \frac{x^3}{3}]_{0}^{4} = [x^{3/2} - \frac{x^3}{16}]_{0}^{4}$।
चरण $6$: $A = (4^{3/2} - \frac{4^3}{16}) = (8 - 4) = 4 \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) चरण $1$: प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। वक्र $y = 2x^2$ है। दी गई रेखाएं $x = 1$ और $y = 4$ हैं। $x = 1$ पर, $y = 2(1)^2 = 2$। $y = 4$ पर, $2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}$।
चरण $2$: क्षेत्रफल $x=1$ से $x=\sqrt{2}$ तक रेखा $y=4$ के नीचे के क्षेत्रफल में से वक्र $y=2x^2$ के नीचे का क्षेत्रफल घटाकर प्राप्त होता है।
चरण $3$: क्षेत्रफल $A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) \, dx$।
चरण $4$: समाकलन करने पर: $A = [4x - \frac{2x^3}{3}]_{1}^{\sqrt{2}}$।
चरण $5$: सीमाएं रखने पर: $A = (4\sqrt{2} - \frac{2(\sqrt{2})^3}{3}) - (4(1) - \frac{2(1)^3}{3}) = (4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) - (4 - \frac{2}{3}) = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{10}{3} = \frac{8\sqrt{2} - 10}{3}$।

(A) $1$. क्षेत्र $y = x^2$, $y = 8/x$, और $y = 1$ द्वारा परिबद्ध है।
$2$. प्रतिच्छेदन बिंदु: $x^2 = 1 \implies x = 1$, $8/x = 1 \implies x = 8$, और $x^2 = 8/x \implies x = 2$।
$3$. क्षेत्रफल $A = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx + \int_{2}^{8} (8/x - 1) dx$ है।
$4$. $\int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx = [x^3/3 - x]_{1}^{2} = 4/3$।
$5$. $\int_{2}^{8} (8/x - 1) dx = [8 \ln|x| - x]_{2}^{8} = 16 \ln 2 - 6$।
$6$. कुल क्षेत्रफल $= 16 \ln 2 - 14/3$।

(A) चरण $1$: $x^2 + y^2 = 9$ और $y^2 = 8x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। $y^2 = 8x$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2 + 8x - 9 = 0 \implies (x+9)(x-1) = 0$। चूँकि $x \geq 0$, इसलिए $x = 1$। तब $y^2 = 8$, अतः $y = \pm 2\sqrt{2}$।
चरण $2$: क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{0}^{1} \sqrt{8x} \, dx + \int_{1}^{3} \sqrt{9-x^2} \, dx \right]$।
चरण $3$: प्रथम समाकल की गणना: $2 \int_{0}^{1} 2\sqrt{2} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{2} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_0^1 = \frac{8\sqrt{2}}{3}$।
चरण $4$: द्वितीय समाकल की गणना: $2 [\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2} + \frac{9}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{3})]_1^3 = 2 [(\frac{3}{2}(0) + \frac{9}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{8} + \frac{9}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{3}))] = 2 [\frac{9\pi}{4} - \sqrt{2} - \frac{9}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{3})] = \frac{9\pi}{2} - 2\sqrt{2} - 9\sin^{-1}(\frac{1}{3})$।
चरण $5$: कुल क्षेत्रफल $= \frac{8\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{2} - 2\sqrt{2} - 9\sin^{-1}(\frac{1}{3})$।

(B) चरण $1$: वक्रों की पहचान करें। वक्र $y = |x| - 1$ शीर्ष $(0, -1)$ के साथ एक $V$-आकार दर्शाता है। वक्र $y = -|x| + 1$ शीर्ष $(0, 1)$ के साथ एक उल्टा $V$-आकार दर्शाता है।
चरण $2$: प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। $|x| - 1 = -|x| + 1$ रखने पर, हमें $2|x| = 2$ प्राप्त होता है, इसलिए $|x| = 1$, जिसका अर्थ है $x = 1$ या $x = -1$। $x = 1$ पर, $y = 0$। $x = -1$ पर, $y = 0$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ और $(-1, 0)$ हैं।
चरण $3$: परिबद्ध क्षेत्र एक वर्ग (या समचतुर्भुज) है जिसके शीर्ष $(0, 1), (1, 0), (0, -1),$ और $(-1, 0)$ हैं।
चरण $4$: विकर्णों $d_1$ और $d_2$ वाले समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ होता है। यहाँ, $d_1$ (ऊर्ध्वाधर) $= 1 - (-1) = 2$ और $d_2$ (क्षैतिज) $= 1 - (-1) = 2$ है।
चरण $5$: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ वर्ग इकाई।

(A) छायांकित क्षेत्र $x = 2\pi$ से $x = \frac{9\pi}{4}$ तक $y = \sin x$ द्वारा और $x = \frac{9\pi}{4}$ से $x = \frac{5\pi}{2}$ तक $y = \cos x$ द्वारा परिबद्ध है।
प्रतिच्छेदन बिंदु वह है जहाँ $\sin x = \cos x$, अर्थात $\tan x = 1$, इसलिए $x = \frac{9\pi}{4}$ है।
क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार है:
$A = \int_{2\pi}^{9\pi/4} \sin x \, dx + \int_{9\pi/4}^{5\pi/2} \cos x \, dx$
$A = [-\cos x]_{2\pi}^{9\pi/4} + [\sin x]_{9\pi/4}^{5\pi/2}$
$A = -(\cos(9\pi/4) - \cos(2\pi)) + (\sin(5\pi/2) - \sin(9\pi/4))$
$A = -(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$A = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$ वर्ग इकाई।