Area bounded by region of single curve Questions in Hindi

(D) क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{4\pi} x |\sin(\frac{x}{2})| dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $x \in [0, 2\pi]$ के लिए $\sin(\frac{x}{2}) \ge 0$ और $x \in [2\pi, 4\pi]$ के लिए $\sin(\frac{x}{2}) \le 0$ है, इसलिए:
$A = \int_{0}^{2\pi} x \sin(\frac{x}{2}) dx + \int_{2\pi}^{4\pi} x (-\sin(\frac{x}{2})) dx$।
खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u=x, dv=\sin(\frac{x}{2})dx$:
$\int x \sin(\frac{x}{2}) dx = -2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})$।
प्रथम समाकल का मान: $[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{0}^{2\pi} = (-2(2\pi)(-1) + 0) - (0) = 4\pi$।
द्वितीय समाकल का मान: $-[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{2\pi}^{4\pi} = -[(-2(4\pi)(1) + 0) - (-2(2\pi)(-1) + 0)] = -[-8\pi - 4\pi] = 12\pi$।
कुल क्षेत्रफल $A = 4\pi + 12\pi = 16\pi$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया समीकरण $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $y^2 = 4(1 - x^2)$, जिसका अर्थ है $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$।
यह एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का समीकरण है जहाँ $a = 1$ और $b = 2$ है।
वक्र $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ दीर्घवृत्त के ऊपरी आधे भाग को दर्शाता है।
पूर्ण दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi ab = \pi(1)(2) = 2\pi$ है।
वक्र और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल दीर्घवृत्त के ऊपरी आधे भाग का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2\pi = \pi \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) क्षेत्र $y = x^3$, $y = 8$ और $x = 0$ द्वारा परिबद्ध है।
$x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करने पर, हमें $x = y^{1/3}$ प्राप्त होता है।
$y = x^3$ और $y = 8$ का प्रतिच्छेदन $x^3 = 8$ पर होता है, जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$, $y = 0$ से $y = 8$ तक $y$ के सापेक्ष $x$ का समाकलन है:
$A = \int_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
$A = \left[ \frac{y^{4/3}}{4/3} \right]_{0}^{8}$
$A = \frac{3}{4} [8^{4/3} - 0^{4/3}]$
$A = \frac{3}{4} [(2^3)^{4/3}] = \frac{3}{4} [2^4] = \frac{3}{4} \times 16 = 12$ वर्ग इकाई।

(C) क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{0}^{2} 2^{kx} dx = \frac{2}{\ln 2}$ द्वारा दिया गया है।
सूत्र $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$ का उपयोग करते हुए, $\int_{0}^{2} 2^{kx} dx = \left[ \frac{2^{kx}}{k \ln 2} \right]_{0}^{2}$ प्राप्त होता है।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{k \ln 2} (2^{2k} - 2^0) = \frac{2}{\ln 2}$।
$\frac{2^{2k} - 1}{k} = 2$।
$2^{2k} - 1 = 2k$।
निरीक्षण द्वारा, यदि $k = 1/2$ है, तो $2^{2(1/2)} - 1 = 2^1 - 1 = 1$ और $2k = 2(1/2) = 1$ है।
चूंकि $1 = 1$, इसलिए $k$ का मान $\frac{1}{2}$ है।

(A) वक्र का समीकरण $x^2 = by$ है, जिसका अर्थ है $x = \sqrt{b} \sqrt{y}$ (क्योंकि यह प्रथम चतुर्थांश में है)।
क्षेत्रफल $A$, $y = 1$ से $y = 4$ तक $y$ के सापेक्ष $x$ का समाकलन है:
$A = \int_{1}^{4} \sqrt{b} \sqrt{y} \, dy = 28$
$\sqrt{b} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy = 28$
$\sqrt{b} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = 28$
$\sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}] = 28$
$\sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [8 - 1] = 28$
$\sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} \cdot 7 = 28$
$\sqrt{b} = \frac{28 \cdot 3}{14} = 2 \cdot 3 = 6$
$b = 6^2 = 36$।

(D) क्षेत्रफल $A$ को समाकलन $\int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
चूंकि $x < 4$ के लिए $|x - 4| = -(x - 4)$ और $x \ge 4$ के लिए $|x - 4| = (x - 4)$ होता है, हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$।
प्रथम भाग का मान: $\int_{3}^{4} (-x + 4) \, dx = [-\frac{x^2}{2} + 4x]_{3}^{4} = (-8 + 16) - (-4.5 + 12) = 8 - 7.5 = 0.5$।
द्वितीय भाग का मान: $\int_{4}^{5} (x - 4) \, dx = [\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$।
कुल क्षेत्रफल $A = 0.5 + 0.5 = 1$ वर्ग इकाई।

(A) चरण $1$: समीकरण $2x - y + 1 = 0$ से $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करें। हमें $2x = y - 1$ प्राप्त होता है, इसलिए $x = \frac{y - 1}{2}$।
चरण $2$: वक्र $x = f(y)$, $y$-अक्ष, और रेखाओं $y = c$ तथा $y = d$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A = \int_{c}^{d} |x| \, dy$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $3$: सीमाएं $y = -1$ से $y = 3$ प्रतिस्थापित करें: $A = \int_{-1}^{3} |\frac{y - 1}{2}| \, dy$।
चरण $4$: व्यंजक $\frac{y - 1}{2}$, $y = 1$ पर चिन्ह बदलता है। अतः, $A = \int_{-1}^{1} -(\frac{y - 1}{2}) \, dy + \int_{1}^{3} (\frac{y - 1}{2}) \, dy$।
चरण $5$: समाकलनों की गणना करें: $\frac{1}{2} [-( \frac{y^2}{2} - y )]_{-1}^{1} + \frac{1}{2} [ \frac{y^2}{2} - y ]_{1}^{3} = \frac{1}{2} [-( (\frac{1}{2} - 1) - (\frac{1}{2} + 1) )] + \frac{1}{2} [ (\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1) ] = \frac{1}{2} [ -(-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}) ] + \frac{1}{2} [ \frac{3}{2} - (-\frac{1}{2}) ] = \frac{1}{2} [2] + \frac{1}{2} [2] = 1 + 1 = 2$ वर्ग इकाई।

(D) क्षेत्रफल $A$, $x = -2$ से $x = 4$ तक $|y|$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन है।
$A = \int_{-2}^{4} |x| \, dx$
चूँकि $x < 0$ के लिए $|x| = -x$ और $x \ge 0$ के लिए $|x| = x$ होता है, हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{-2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{4} x \, dx$
$A = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$A = (0 - (-\frac{(-2)^2}{2})) + (\frac{4^2}{2} - 0)$
$A = (0 - (-2)) + (8 - 0)$
$A = 2 + 8 = 10 \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) क्षेत्रफल $A = \int_{-2}^{1} |x^3 + ax| \, dx$ द्वारा दिया गया है।
चूँकि $y = x^3 + ax = x(x^2 + a)$ और $a > 0$ है, वक्र अंतराल $[-2, 1]$ में केवल $x = 0$ पर $x$-अक्ष को काटता है।
$x \in [-2, 0]$ के लिए, $x^3 + ax \le 0$, अतः $|x^3 + ax| = -(x^3 + ax)$।
$x \in [0, 1]$ के लिए, $x^3 + ax \ge 0$, अतः $|x^3 + ax| = x^3 + ax$।
क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{0} -(x^3 + ax) \, dx + \int_{0}^{1} (x^3 + ax) \, dx = \frac{37}{4}$।
समाकलन करने पर: $-[\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{-2}^{0} + [\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{37}{4}$।
$-(0 - (4 + 2a)) + (\frac{1}{4} + \frac{a}{2}) = \frac{37}{4}$।
$4 + 2a + \frac{1}{4} + \frac{a}{2} = \frac{37}{4}$।
$\frac{5a}{2} = \frac{37}{4} - \frac{17}{4} = \frac{20}{4} = 5$।
$a = 2$।

(A) चरण $1$: $y = 0$ रखकर $X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
$2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0$।
अतः, $x = 0$ और $x = 2$।
चरण $2$: क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $3$: समाकलन का मान निकालें: $\left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$।
चरण $4$: सीमाएं प्रतिस्थापित करें: $\left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - (0 - 0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) दिया गया वक्र $y = 4x^2$ है, जिसे $x$ के पदों में $x = \sqrt{\frac{y}{4}} = \frac{\sqrt{y}}{2}$ लिखा जा सकता है।
प्रथम चतुर्थांश में $Y$-अक्ष और रेखाओं $y = 2$ तथा $y = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{2}^{4}$।
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}] = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया वक्र $y = \sqrt{16 - x^2}$ है, जो $x^2 + y^2 = 4^2$ के ऊपरी अर्ध-वृत्त को दर्शाता है जिसकी त्रिज्या $r = 4$ है।
हमें $x = 0$ और $x = 4$ के बीच $X$-अक्ष के ऊपर परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
यह क्षेत्र $r = 4$ वाले वृत्त का एक-चौथाई भाग है।
पूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi(4)^2 = 16\pi$ है।
अतः अभीष्ट क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{4} \times 16\pi = 4\pi$ वर्ग इकाई है।

(B) दिया गया वक्र $y^2 = x^3$ है, जिसे हम $x = y^{2/3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
वक्र, $y$-अक्ष और रेखाओं $y = 1$ तथा $y = 8$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ निम्न समाकल द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{1}^{8} x \, dy = \int_{1}^{8} y^{2/3} \, dy$
$y^{2/3}$ का $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$A = \left[ \frac{y^{(2/3) + 1}}{(2/3) + 1} \right]_{1}^{8} = \left[ \frac{y^{5/3}}{5/3} \right]_{1}^{8} = \left[ \frac{3}{5} y^{5/3} \right]_{1}^{8}$
निश्चित समाकल का मान ज्ञात करने पर:
$A = \frac{3}{5} [8^{5/3} - 1^{5/3}]$
चूँकि $8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$ और $1^{5/3} = 1$:
$A = \frac{3}{5} [32 - 1] = \frac{3}{5} \times 31 = \frac{93}{5} \text{ वर्ग इकाई}$।