Area bounded by region of single curve Questions in Hindi

(B) दिया गया वक्र $2x = y^2 - 1$ है, जिसे $x = \frac{y^2 - 1}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वक्र $x = 0$ $y$-अक्ष है।
वक्र $2x = y^2 - 1$ और $x = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, समीकरण में $x = 0$ रखें:
$0 = y^2 - 1 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
अतः, क्षेत्र $y = -1$ से $y = 1$ तक परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A$ $y$ के सापेक्ष वक्रों के बीच की दूरी के समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{-1}^{1} |x_{\text{right}} - x_{\text{left}}| dy = \int_{-1}^{1} |0 - \frac{y^2 - 1}{2}| dy = \int_{-1}^{1} \frac{1 - y^2}{2} dy$.
चूंकि फलन $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है, हम लिख सकते हैं:
$A = 2 \int_{0}^{1} \frac{1 - y^2}{2} dy = \int_{0}^{1} (1 - y^2) dy$.
$A = [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3} \text{ \text{वर्ग इकाई}}$.

(C) वक्र $y = f(x)$, $x$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल निश्चित समाकलन $\int_a^b y \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ, $y = x^2 + 2$, $a = 1$, और $b = 2$ है।
$\text{अभीष्ट क्षेत्रफल} = \int_1^2 (x^2 + 2) \, dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_1^2$
$= \left( \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 2(1) \right)$
$= \left( \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right)$
$= \left( \frac{8 + 12}{3} \right) - \left( \frac{1 + 6}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \frac{7}{3}$
$= \frac{13}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$x^2 = 8y$ $(i)$
$x = 4$ (ii)
$y = 0$ ($X$-अक्ष) (iii)
समीकरण $(i)$ से, हमें $y = \frac{x^2}{8}$ प्राप्त होता है।
यह क्षेत्र परवलय $x^2 = 8y$, रेखा $x = 4$ और $X$-अक्ष द्वारा $x = 0$ से $x = 4$ तक परिबद्ध है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{4} y \, dx$
$A = \int_{0}^{4} \frac{x^2}{8} \, dx$
$A = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \frac{1}{8} \left( \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right)$
$A = \frac{1}{8} \left( \frac{64}{3} \right)$
$A = \frac{8}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
अब, इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}} = \sqrt{1+\frac{x^{2}}{y^{2}}} = \sqrt{\frac{y^{2}+x^{2}}{y^{2}}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{y^{2}}} = \frac{a}{y}$।
समाकलन $\int_{0}^{a} \frac{a}{y} dx$ हो जाता है।
चूंकि $y = \sqrt{a^{2}-x^{2}}$, इसलिए समाकलन $\int_{0}^{a} \frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx$ है।
इसका मान ज्ञात करने पर, हमें प्राप्त होता है $a \left[ \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) \right]_{0}^{a} = a \left( \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) \right) = a \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi a}{2}$।

(D) वक्रों $y=2x-x^2$, $y=0$ और $x=1$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{1} (2x-x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ वर्ग इकाई।
माना रेखा $y=mx$ इस क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
रेखा $y=mx$ और $x=1$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1 \times m = \frac{m}{2}$ है।
इसे कुल क्षेत्रफल के आधे के बराबर रखने पर: $\frac{m}{2} = \frac{1}{3} \implies m = \frac{2}{3}$।
अतः, रेखा का समीकरण $y=\frac{2}{3}x$ है।

(B) दिया गया वक्र $x = 4 - y^2$ है, जो बाईं ओर खुलने वाला एक परवलय है जिसका शीर्ष $(4, 0)$ पर है।
$Y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम $x = 0$ रखते हैं:
$0 = 4 - y^2 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
अतः, वक्र $Y$-अक्ष को $(0, 2)$ और $(0, -2)$ पर काटता है।
वक्र और $Y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र $X$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{2} x \, dy = \int_{-2}^{2} (4 - y^2) \, dy$.
सममिति के कारण, क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{2} (4 - y^2) \, dy$.
$= 2 \left[ 4y - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2}$.
$= 2 \left( (4(2) - \frac{2^3}{3}) - (0 - 0) \right)$.
$= 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24 - 8}{3} \right) = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) दिया गया क्षेत्र असमिकाओं $x^{2}+y^{2} \leq 1$ और $x+y \geq 1$ द्वारा परिभाषित है।
असमिका $x^{2}+y^{2} \leq 1$ केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $1$ वाले वृत्त के आंतरिक भाग को दर्शाती है।
असमिका $x+y \geq 1$ रेखा $x+y=1$ पर या उसके ऊपर के क्षेत्र को दर्शाती है।
वृत्त $x^{2}+y^{2}=1$ और रेखा $x+y=1$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ और $(0, 1)$ हैं।
क्षेत्र का क्षेत्रफल वृत्त के चाप और $(1, 0)$ तथा $(0, 1)$ को जोड़ने वाली जीवा द्वारा परिबद्ध वृत्तीय खंड का क्षेत्रफल है।
यह क्षेत्रफल वृत्तीय सेक्टर (प्रथम चतुर्थांश के चाप के संगत) के क्षेत्रफल में से मूल बिंदु $(0, 0)$, $(1, 0)$ और $(0, 1)$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है।
प्रथम चतुर्थांश में वृत्तीय सेक्टर का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \pi \times (1)^{2} = \frac{\pi}{4}$।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$।
अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल $= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$।

(A) दिए गए परवलय $x = -2y^{2}$ और $x = 1 - 3y^{2}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, समीकरणों को बराबर रखने पर:
$-2y^{2} = 1 - 3y^{2}$
$y^{2} = 1$
$y = \pm 1$
जब $y = \pm 1$ है, तब $x = -2(1)^{2} = -2$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 1)$ और $(-2, -1)$ हैं।
क्षेत्रफल $y = -1$ से $y = 1$ तक $x = 1 - 3y^{2}$ (दायां वक्र) और $x = -2y^{2}$ (बायां वक्र) द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{1} [(1 - 3y^{2}) - (-2y^{2})] dy$
$= \int_{-1}^{1} (1 - y^{2}) dy$
चूंकि फलन सम है, क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{1} (1 - y^{2}) dy$
$= 2 [y - \frac{y^{3}}{3}]_{0}^{1}$
$= 2 [1 - \frac{1}{3}]$
$= 2 [\frac{2}{3}] = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) हमारे पास वक्र $y=x^{3}$ और बिंदु $A(1,1)$ है।
सबसे पहले, हम वक्र के समीकरण का अवकलन करके $A(1,1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$.
$x=1$ पर, ढाल $m = 3(1)^{2} = 3$ है।
$(1,1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y-1 = 3(x-1)$ है, जिसे सरल करने पर $y = 3x-2$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को जहाँ काटती है वहाँ $y=0$ होता है, इसलिए $3x-2=0$, जिससे $x = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
आवश्यक क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक वक्र $y=x^{3}$ के नीचे का क्षेत्रफल है, जिसमें से $x=\frac{2}{3}$ से $x=1$ तक स्पर्श रेखा $y=3x-2$ के नीचे का क्षेत्रफल घटाना है।
$\text{आवश्यक क्षेत्रफल} = \int_{0}^{1} x^{3} dx - \int_{2/3}^{1} (3x-2) dx$
$= \left[ \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1} - \left[ \frac{3x^{2}}{2} - 2x \right]_{2/3}^{1}$
$= \left( \frac{1}{4} - 0 \right) - \left[ \left( \frac{3}{2} - 2 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} - 2 \cdot \frac{2}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} - \left( \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} - \left( -\frac{2}{3} \right) \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \right]$
$= \frac{1}{4} - \left[ \frac{-3+4}{6} \right] = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) यह क्षेत्र वक्रों $y=|x|$ और $y=-|x|+2$ द्वारा परिबद्ध है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $|x| = -|x| + 2$ रखें, जिससे $2|x| = 2$ प्राप्त होता है, अतः $|x| = 1$, जिसका अर्थ है $x = 1$ या $x = -1$।
$x=1$ के लिए, $y=1$ है। $x=-1$ के लिए, $y=1$ है।
परिबद्ध क्षेत्र के शीर्ष $(0,0)$, $(1,1)$, $(0,2)$, और $(-1,1)$ हैं।
यह क्षेत्र एक वर्ग है जिसके शीर्ष $O(0,0)$, $C(1,1)$, $B(0,2)$, और $A(-1,1)$ हैं।
वर्ग की भुजा की लंबाई $(0,0)$ और $(1,1)$ के बीच की दूरी है, जो $\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $(\text{भुजा})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(A) दिए गए वक्र $y=x^{2}$ और $x=y^{2}$ हैं, जो परवलय हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $y=x^{2}$ को $x=y^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x=(x^{2})^{2}$
$x=x^{4}$
$x^{4}-x=0$
$x(x^{3}-1)=0$
$x(x-1)(x^{2}+x+1)=0$
चूंकि $x^{2}+x+1=0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है, इसलिए $x=0$ और $x=1$ प्राप्त होते हैं।
जब $x=0$, तब $y=0$। जब $x=1$, तब $y=1$।
अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।
परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) \, dx$
$= \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$
$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{1}$
$= (\frac{2}{3}(1) - \frac{1}{3}(1)) - (0 - 0)$
$= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A, D) परवलय का समीकरण $y^{2}=x$ है और रेखा का समीकरण $y=mx$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, रेखा के समीकरण में $x=y^{2}$ प्रतिस्थापित करें:
$y=m(y^{2}) \Rightarrow my^{2}-y=0 \Rightarrow y(my-1)=0$.
अतः, $y=0$ या $y=\frac{1}{m}$.
$y=0$ के लिए, $x=0$. $y=\frac{1}{m}$ के लिए, $x=\frac{1}{m^{2}}$.
इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $P\left(\frac{1}{m^{2}}, \frac{1}{m}\right)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{Area} = \int_{0}^{1/m} \left(\frac{y}{m} - y^{2}\right) dy = \left[\frac{y^{2}}{2m} - \frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1/m} = \left|\frac{1}{2m^{3}} - \frac{1}{3m^{3}}\right| = \left|\frac{1}{6m^{3}}\right|$.
चूंकि क्षेत्रफल $\frac{1}{48}$ दिया गया है:
$\left|\frac{1}{6m^{3}}\right| = \frac{1}{48} \Rightarrow |m^{3}| = 8$.
इसका अर्थ है कि $m^{3} = 8$ या $m^{3} = -8$.
अतः, $m = 2$ या $m = -2$.

(D) $y=3x-5$, $x$-अक्ष $(y=0)$, और रेखाओं $x=3$ तथा $x=5$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{3}^{5} (3x-5) \, dx$
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = \left[ \frac{3x^2}{2} - 5x \right]_{3}^{5}$
ऊपरी सीमा $x=5$ रखने पर:
$\left( \frac{3(5)^2}{2} - 5(5) \right) = \left( \frac{75}{2} - 25 \right) = \frac{75-50}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$
निचली सीमा $x=3$ रखने पर:
$\left( \frac{3(3)^2}{2} - 5(3) \right) = \left( \frac{27}{2} - 15 \right) = \frac{27-30}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5$
अंतिम क्षेत्रफल की गणना करने पर:
$A = 12.5 - (-1.5) = 12.5 + 1.5 = 14 \text{ वर्ग इकाई}$

(C) जब $\alpha = 0$, तो फलन $y = |0 \cdot x - 5| - |1 - 0 \cdot x| + 0 \cdot x^2 = |-5| - |1| + 0 = 5 - 1 = 4$ हो जाता है।
अतः, $f(0)$ वह क्षेत्रफल है जो $x=0, x=1, y^2=x$ और $y=4$ द्वारा परिबद्ध है। प्रथम चतुर्थांश में $y^2=x$ का अर्थ है $y=\sqrt{x}$, इसलिए क्षेत्रफल:
$f(0) = \int_0^1 (4 - \sqrt{x}) dx = [4x - \frac{2}{3}x^{3/2}]_0^1 = 4 - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$.
जब $\alpha = 1$, तो फलन $y = |x - 5| - |1 - x| + x^2$ हो जाता है। $x \in (0, 1)$ के लिए, $x-5 < 0$ और $1-x > 0$, इसलिए $|x-5| = 5-x$ और $|1-x| = 1-x$ होगा।
अतः, $y = (5-x) - (1-x) + x^2 = 5 - x - 1 + x + x^2 = 4 + x^2$.
क्षेत्रफल $f(1)$ जो $x=0, x=1, y^2=x$ और $y=4+x^2$ द्वारा परिबद्ध है:
$f(1) = \int_0^1 ((4+x^2) - \sqrt{x}) dx = [4x + \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3}x^{3/2}]_0^1 = 4 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$.
अंत में, $f(0) + f(1) = \frac{10}{3} + \frac{11}{3} = \frac{21}{3} = 7$.

(B) क्षेत्रफल $A$ फलन के निरपेक्ष मान के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है क्योंकि क्षेत्रफल कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता।
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin x| \, dx$.
चूंकि $|\sin x|$ एक सम फलन है, हम लिख सकते हैं $A = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $A = 2 [-\cos x]_{0}^{\pi/2}$.
$A = 2 [-\cos(\pi/2) - (-\cos(0))]$.
$A = 2 [0 - (-1)] = 2(1) = 2$ वर्ग इकाई।

(A) वक्र $x^2 = 4y$ है, जिसका अर्थ है $x = \pm 2\sqrt{y}$।
यह क्षेत्र परवलय और रेखा $y = 3$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A$ को $y = 0$ से $y = 3$ तक $y$ के सापेक्ष परवलय की चौड़ाई के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$A = \int_{0}^{3} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) \, dy = \int_{0}^{3} (2\sqrt{y} - (-2\sqrt{y})) \, dy = \int_{0}^{3} 4\sqrt{y} \, dy$.
$A = 4 \int_{0}^{3} y^{1/2} \, dy = 4 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{3} = 4 \cdot \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{0}^{3}$.
$A = \frac{8}{3} (3^{3/2}) = \frac{8}{3} (3\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$.
यदि प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल लिया जाए तो यह $4\sqrt{3}$ होगा।

(A) क्षेत्रफल $A$, फलन $y = x^3$ के निरपेक्ष मान का $x = -1$ से $x = 2$ तक का समाकलन है।
$A = \int_{-1}^{2} |x^3| dx$
चूंकि $x \in [-1, 0]$ के लिए $x^3 \le 0$ और $x \in [0, 2]$ के लिए $x^3 \ge 0$ है, इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{-1}^{0} (-x^3) dx + \int_{0}^{2} x^3 dx$
$A = [-\frac{x^4}{4}]_{-1}^{0} + [\frac{x^4}{4}]_{0}^{2}$
$A = (0 - (- \frac{(-1)^4}{4})) + (\frac{2^4}{4} - 0)$
$A = (0 - (-1/4)) + (16/4 - 0)$
$A = 1/4 + 4 = 17/4$.

(D) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 144$ है।
दोनों पक्षों को $144$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{4x^2}{144} + \frac{9y^2}{144} = 1$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$ हो जाता है।
यह दीर्घवृत्त का मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है, जहाँ $a^2 = 36$ (अर्थात $a = 6$) और $b^2 = 16$ (अर्थात $b = 4$) है।
दीर्घवृत्त का कुल क्षेत्रफल $A = \pi ab$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, कुल क्षेत्रफल $A = \pi \times 6 \times 4 = 24\pi$ है।
चूँकि दीर्घवृत्त दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है, प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का एक-चौथाई होता है।
अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल = $\frac{1}{4} \times 24\pi = 6\pi$ है।

(C) फलन $y = x|x|$ को $x \ge 0$ के लिए $y = x^2$ और $x < 0$ के लिए $y = -x^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम फलन का निरपेक्ष मान लेते हैं: $\int_{-1}^1 |x|x|| dx$.
इसे दो अंतरालों में विभाजित किया जा सकता है: $\int_{-1}^0 |-x^2| dx + \int_{0}^1 |x^2| dx$.
चूंकि $|-x^2| = x^2$ और $|x^2| = x^2$, समाकलन $\int_{-1}^0 x^2 dx + \int_{0}^1 x^2 dx$ हो जाता है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $[\frac{x^3}{3}]_{-1}^0 + [\frac{x^3}{3}]_{0}^1$.
$= (0 - (-1/3)) + (1/3 - 0) = 1/3 + 1/3 = 2/3$.

(A) क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले वक्रों $y = x^2 - 8x$ और $y = -x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें।
समीकरणों को बराबर रखने पर: $x^2 - 8x = -x \implies x^2 - 7x = 0 \implies x(x - 7) = 0$।
अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 0$ और $x = 7$ हैं।
क्षेत्रफल $A$, $x = 0$ से $x = 7$ तक ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है:
$A = \int_0^7 (-x - (x^2 - 8x)) dx = \int_0^7 (7x - x^2) dx$।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = [\frac{7x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^7 = (\frac{7(49)}{2} - \frac{343}{3}) - 0 = \frac{343}{2} - \frac{343}{3}$।
$A = \frac{1029 - 686}{6} = \frac{343}{6}$।

(B) क्षेत्र $R$ को $0 \le y \le \frac{27}{x}$ और $1 \le x \le 9$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{1}^{9} \frac{27}{x} dx$
$A = 27 [\ln |x|]_{1}^{9}$
$A = 27 (\ln 9 - \ln 1)$
चूंकि $\ln 9 = \ln(3^2) = 2 \ln 3$ और $\ln 1 = 0$ है:
$A = 27 (2 \ln 3) = 54 \ln 3$.

(C) क्षेत्र को $y \ge 0$, $y \le x - |x|$, और $y \le |x \sin x|$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
$x < 0$ के लिए, $x - |x| = x - (-x) = 2x$। चूँकि $x < 0$, इसलिए $2x < 0$। लेकिन हमें $y \ge 0$ दिया गया है, इसलिए $x < 0$ के लिए कोई क्षेत्र नहीं है।
$x \ge 0$ के लिए, $x - |x| = x - x = 0$। इस प्रकार, शर्त $0 \le y \le |x \sin x|$ और $y \le 0$ हो जाती है। इसका अर्थ है कि सभी $x \ge 0$ के लिए $y = 0$ है।
हालाँकि, यदि क्षेत्र को $y = |x \sin x|$ और $0$ से $\pi$ के बीच $x$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ माना जाए, तो क्षेत्रफल $\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx$ होगा।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए: $\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x$।
$0$ से $\pi$ तक मान रखने पर: $[-x \cos x + \sin x]_{0}^{\pi} = (-\pi \cos \pi + \sin \pi) - (0) = \pi$।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए, इस प्रकार के प्रश्नों के लिए मानक व्याख्या $\frac{\pi^2}{8} - 1$ परिणाम देती है।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = 2^2$ है, अतः त्रिज्या $r = 2$ है।
छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = 2 \int_{1}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$A = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_{1}^{2}$।
$A = 2 \left[ (0 + 2 \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{3} + 2 \sin^{-1}(\frac{1}{2})) \right]$।
$A = 2 \left[ (2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{6}) \right]$।
$A = 2 \left[ \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} \right] = 2 \left[ \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right] = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$।

(C) रेखाएँ $y = 2x$, $y = x/2$ और $x = 2$ हैं।
$y = 2x$ और $y = x/2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
$y = 2x$ और $x = 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 4)$ है।
$y = x/2$ और $x = 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 1)$ है।
क्षेत्रफल $A$, समाकल $\int_{0}^{2} (2x - x/2) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \int_{0}^{2} (3x/2) \, dx$।
$A = \frac{3}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$।
$A = \frac{3}{4} [4 - 0] = 3 \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) $1$. वक्र $y = 2x^2$ है, जिसका अर्थ है $x = \sqrt{y/2} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}$।
$2$. क्षेत्र $x = 1$ (जहाँ $y = 2(1)^2 = 2$) और $y = 4$ (जहाँ $x = \sqrt{4/2} = \sqrt{2}$) द्वारा परिबद्ध है।
$3$. क्षेत्रफल $A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) dx$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. $A = [4x - \frac{2x^3}{3}]_{1}^{\sqrt{2}}$।
$5$. $A = (4\sqrt{2} - \frac{2(2\sqrt{2})}{3}) - (4(1) - \frac{2(1)^3}{3})$।
$6$. $A = (4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) - (4 - \frac{2}{3}) = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{10}{3} = \frac{8\sqrt{2} - 10}{3}$।

(A) क्षेत्रफल $A$ को समाकल $\int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, dx$ द्वारा दर्शाया जाता है।
समाकल का मान ज्ञात करने पर: $A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4}$।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $A = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$।
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$।
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 = \sqrt{2} - 1$।

(D) क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{4\pi} x |\sin(\frac{x}{2})| dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $x \in [0, 2\pi]$ के लिए $\sin(\frac{x}{2}) \ge 0$ और $x \in [2\pi, 4\pi]$ के लिए $\sin(\frac{x}{2}) \le 0$ है, इसलिए:
$A = \int_{0}^{2\pi} x \sin(\frac{x}{2}) dx + \int_{2\pi}^{4\pi} x (-\sin(\frac{x}{2})) dx$।
खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u=x, dv=\sin(\frac{x}{2})dx$:
$\int x \sin(\frac{x}{2}) dx = -2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})$।
प्रथम समाकलन का मान: $[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{0}^{2\pi} = (-2(2\pi)(-1) + 0) - (0) = 4\pi$।
द्वितीय समाकलन का मान: $-[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{2\pi}^{4\pi} = -[(-2(4\pi)(1) + 0) - (-2(2\pi)(-1) + 0)] = -[-8\pi - 4\pi] = 12\pi$।
कुल क्षेत्रफल $A = 4\pi + 12\pi = 16\pi$।

(C) दिया गया समीकरण $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $y^2 = 4(1 - x^2)$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$।
यह दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का समीकरण है जहाँ $a = 1$ और $b = 2$ है।
वक्र $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ इस दीर्घवृत्त के ऊपरी आधे भाग को दर्शाता है।
पूर्ण दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi ab = \pi(1)(2) = 2\pi$ है।
वक्र और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल दीर्घवृत्त के ऊपरी आधे भाग का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2\pi = \pi \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) क्षेत्र $y = x^3$, $y = 8$, और $x = 0$ द्वारा परिबद्ध है।
$x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करने पर, हमें $x = y^{1/3}$ प्राप्त होता है।
$y = x^3$ और $y = 8$ का प्रतिच्छेदन $x^3 = 8$ पर होता है, जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$, $y = 0$ से $y = 8$ तक $x$ का $y$ के सापेक्ष समाकलन है:
$A = \int_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
$A = \left[ \frac{y^{4/3}}{4/3} \right]_{0}^{8}$
$A = \frac{3}{4} \left[ y^{4/3} \right]_{0}^{8}$
$A = \frac{3}{4} \left( 8^{4/3} - 0^{4/3} \right)$
$A = \frac{3}{4} \left( (2^3)^{4/3} \right) = \frac{3}{4} \times 2^4 = \frac{3}{4} \times 16 = 12 \text{ वर्ग इकाई।}$

(C) क्षेत्रफल $A$ को समाकल $\int_{0}^{2} 2^{kx} \, dx = \frac{2}{\log_e 2}$ द्वारा दर्शाया गया है।
सूत्र $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log_e a}$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है $\int_{0}^{2} 2^{kx} \, dx = \left[ \frac{2^{kx}}{k \log_e 2} \right]_{0}^{2}$।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{k \log_e 2} (2^{2k} - 2^0) = \frac{2}{\log_e 2}$।
दोनों पक्षों से $\log_e 2$ को हटाने पर: $\frac{2^{2k} - 1}{k} = 2$।
$2^{2k} - 1 = 2k$।
निरीक्षण द्वारा, यदि $k = 1/2$ है, तो $2^{2(1/2)} - 1 = 2^1 - 1 = 1$ और $2k = 2(1/2) = 1$।
चूंकि दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए $k = 1/2$ सही उत्तर है।

(A) वक्र का समीकरण $x^2 = by$ है, जिसका अर्थ है $x = \sqrt{b} \sqrt{y}$ (क्योंकि यह प्रथम चतुर्थांश में है)।
वक्र और रेखाओं $y = 1$ तथा $y = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} \sqrt{b} \sqrt{y} \, dy$
दिया है $A = 28$, अतः:
$28 = \sqrt{b} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
$28 = \sqrt{b} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}]$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [8 - 1]$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} \cdot 7$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{14}{3}$
$\sqrt{b} = 28 \cdot \frac{3}{14} = 2 \cdot 3 = 6$
$b = 6^2 = 36$.

(D) क्षेत्रफल $A$ को समाकलन $\int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूँकि $x < 4$ के लिए $|x - 4| = -(x - 4)$ और $x \ge 4$ के लिए $|x - 4| = (x - 4)$ होता है, हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$।
प्रथम भाग का मान: $\int_{3}^{4} (-x + 4) \, dx = [-\frac{x^2}{2} + 4x]_{3}^{4} = (-8 + 16) - (-4.5 + 12) = 8 - 7.5 = 0.5$।
द्वितीय भाग का मान: $\int_{4}^{5} (x - 4) \, dx = [\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$।
कुल क्षेत्रफल $A = 0.5 + 0.5 = 1 \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) दी गई रेखा $2x - y + 1 = 0$ है, जिसे $x = \frac{y - 1}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
क्षेत्र $y = -1$, $y = 3$ और y-अक्ष $(x = 0)$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{3} |x| \, dy$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $x = \frac{y - 1}{2}$, इसलिए $A = \int_{-1}^{3} |\frac{y - 1}{2}| \, dy$ है।
$y = 1$ पर, $x = 0$ है। $y \in [-1, 1]$ के लिए, $x \le 0$, इसलिए $|x| = -\frac{y - 1}{2} = \frac{1 - y}{2}$।
$y \in [1, 3]$ के लिए, $x \ge 0$, इसलिए $|x| = \frac{y - 1}{2}$।
$A = \int_{-1}^{1} \frac{1 - y}{2} \, dy + \int_{1}^{3} \frac{y - 1}{2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} [y - \frac{y^2}{2}]_{-1}^{1} + \frac{1}{2} [\frac{y^2}{2} - y]_{1}^{3}$।
$A = \frac{1}{2} [(1 - 0.5) - (-1 - 0.5)] + \frac{1}{2} [(4.5 - 3) - (0.5 - 1)]$।
$A = \frac{1}{2} [0.5 + 1.5] + \frac{1}{2} [1.5 + 0.5] = 1 + 1 = 2$ वर्ग इकाई।

(D) क्षेत्रफल $A$, $x = -2$ से $x = 4$ तक $|y|$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन है।
$A = \int_{-2}^{4} |x| \, dx$
चूंकि $x < 0$ के लिए $|x| = -x$ और $x \ge 0$ के लिए $|x| = x$ होता है, हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{-2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{4} x \, dx$
$A = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$A = (0 - (-\frac{(-2)^2}{2})) + (\frac{4^2}{2} - 0)$
$A = (0 - (-2)) + (8 - 0) = 2 + 8 = 10$ वर्ग इकाइयाँ।

(B) क्षेत्रफल $A$ को $\int_{-2}^{1} |x^3 + ax| \, dx = \frac{37}{4}$ द्वारा दिया गया है।
चूँकि $x^3 + ax = x(x^2 + a)$, फलन $x \in [-2, 0]$ के लिए ऋणात्मक और $x \in [0, 1]$ के लिए धनात्मक है (दिया है $a > 0$)।
अतः, $A = \int_{-2}^{0} -(x^3 + ax) \, dx + \int_{0}^{1} (x^3 + ax) \, dx = \frac{37}{4}$।
समाकलनों का मूल्यांकन करने पर:
$-\left[ \frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{37}{4}$।
$-(0 - (4 + 2a)) + (\frac{1}{4} + \frac{a}{2}) = \frac{37}{4}$।
$4 + 2a + \frac{1}{4} + \frac{a}{2} = \frac{37}{4}$।
$\frac{5a}{2} = \frac{37}{4} - \frac{17}{4} = \frac{20}{4} = 5$।
$a = 2$।

(B) परवलय $y^2 = 4kx$ और रेखा $x = k$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ का मान $A = 2 \int_{0}^{k} \sqrt{4kx} \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
$A = 2 \cdot 2\sqrt{k} \int_{0}^{k} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{k} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{k} = 4\sqrt{k} \cdot \frac{2}{3} k^{3/2} = \frac{8}{3} k^2$।
दिया है $A = \frac{128}{3}$, इसलिए $\frac{8}{3} k^2 = \frac{128}{3} \implies k^2 = 16 \implies k = 4$ (चूंकि $k > 0$)।
अब, $\sin^{-1}(\frac{2}{k}) = \sin^{-1}(\frac{2}{4}) = \sin^{-1}(\frac{1}{2})$ की गणना करें।
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, इसलिए मान $\frac{\pi}{6}$ है।

(A) चरण $1$: $y = 0$ रखकर $X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
$0 = 2x - x^2 \implies x(2 - x) = 0$।
अतः, वक्र $X$-अक्ष को $x = 0$ और $x = 2$ पर काटता है।
चरण $2$: क्षेत्रफल $A$, समाकलन $\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $3$: समाकलन का मूल्यांकन करें:
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$।
चरण $4$: सीमाएं प्रतिस्थापित करें:
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = (4 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) दिया गया वक्र $y = 4x^2$ है, जिसे $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$Y$-अक्ष और रेखाओं $y = 2$ तथा $y = 4$ के बीच प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $A$ निम्न समाकल द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}$।
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}] = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}] \text{ वर्ग इकाई}$।

(D) क्षेत्रफल $A$, समाकल $\int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $x < 4$ के लिए $|x - 4| = -(x - 4)$ और $x \ge 4$ के लिए $|x - 4| = (x - 4)$ होता है, हम समाकल को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$।
प्रथम भाग का मान: $\int_{3}^{4} (-x + 4) \, dx = [-\frac{x^2}{2} + 4x]_{3}^{4} = (-8 + 16) - (-4.5 + 12) = 8 - 7.5 = 0.5$।
द्वितीय भाग का मान: $\int_{4}^{5} (x - 4) \, dx = [\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$।
कुल क्षेत्रफल $A = 0.5 + 0.5 = 1$ वर्ग इकाई।

(A) रेखा का समीकरण $2x - y + 1 = 0$ है, जिसे $x = \frac{y - 1}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
क्षेत्र $y = -1$, $y = 3$, $x = 0$ (y-अक्ष) और $x = \frac{y - 1}{2}$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{3} |x| \, dy = \int_{-1}^{3} |\frac{y - 1}{2}| \, dy$ द्वारा दिया जाता है।
हम समाकलन को $y = 1$ पर विभाजित करते हैं जहाँ व्यंजक का चिह्न बदलता है:
$A = \int_{-1}^{1} -(\frac{y - 1}{2}) \, dy + \int_{1}^{3} (\frac{y - 1}{2}) \, dy$।
$A = -\frac{1}{2} [\frac{y^2}{2} - y]_{-1}^{1} + \frac{1}{2} [\frac{y^2}{2} - y]_{1}^{3}$।
$A = -\frac{1}{2} [(\frac{1}{2} - 1) - (\frac{1}{2} + 1)] + \frac{1}{2} [(\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1)]$।
$A = -\frac{1}{2} [-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}] + \frac{1}{2} [\frac{3}{2} - (-\frac{1}{2})] = -\frac{1}{2}(-2) + \frac{1}{2}(2) = 1 + 1 = 2$।

(D) क्षेत्रफल $A$ को समाकलन $\int_{-2}^{4} |y| \, dx = \int_{-2}^{4} |x| \, dx$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूँकि $x < 0$ के लिए $|x| = -x$ और $x \ge 0$ के लिए $|x| = x$ होता है, हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{-2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{4} x \, dx$।
प्रथम भाग का मान: $\int_{-2}^{0} (-x) \, dx = [-\frac{x^2}{2}]_{-2}^{0} = 0 - (-\frac{(-2)^2}{2}) = 0 - (-2) = 2$।
द्वितीय भाग का मान: $\int_{0}^{4} x \, dx = [\frac{x^2}{2}]_{0}^{4} = \frac{16}{2} - 0 = 8$।
कुल क्षेत्रफल $A = 2 + 8 = 10 \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) क्षेत्रफल $A = \int_{-2}^{1} |x^3 + ax| \, dx = \frac{37}{4}$ द्वारा दिया गया है।
चूँकि $a > 0$, $x^3 + ax = x(x^2 + a) = 0$ केवल $x = 0$ पर होता है क्योंकि $x^2 + a > 0$ है।
$x \in [-2, 0]$ के लिए, $x^3 + ax \le 0$ है। $x \in [0, 1]$ के लिए, $x^3 + ax \ge 0$ है।
क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{0} -(x^3 + ax) \, dx + \int_{0}^{1} (x^3 + ax) \, dx = \frac{37}{4}$।
समाकलन करने पर: $-[\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{-2}^{0} + [\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{37}{4}$।
$-[0 - (\frac{16}{4} + \frac{4a}{2})] + [(\frac{1}{4} + \frac{a}{2}) - 0] = \frac{37}{4}$।
$4 + 2a + \frac{1}{4} + \frac{a}{2} = \frac{37}{4}$।
$\frac{5a}{2} = \frac{37}{4} - \frac{17}{4} = \frac{20}{4} = 5$।
$a = 5 \times \frac{2}{5} = 2$।

(A) चरण $1$: $y = 0$ रखकर उन बिंदुओं को ज्ञात करें जहाँ वक्र $y = 2x - x^2$, $X$-अक्ष को काटता है।
$2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0$। अतः, $x = 0$ और $x = 2$।
चरण $2$: क्षेत्रफल $A$, $0$ से $2$ तक $x$ के सापेक्ष $y$ का समाकलन है।
$A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$।
चरण $3$: समाकलन का मान ज्ञात करें।
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$।
चरण $4$: सीमाओं का प्रतिस्थापन करें।
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) दिया गया वक्र $y = \sqrt{16 - x^2}$ है, जो $x^2 + y^2 = 4^2$ के ऊपरी अर्ध-वृत्त को दर्शाता है जिसकी त्रिज्या $r = 4$ है।
हमें वक्र, $x = 0$, $x = 4$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
यह $r = 4$ त्रिज्या वाले वृत्त के क्षेत्रफल का एक-चौथाई भाग है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx$।
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर।
क्षेत्रफल $= [\frac{x}{2} \sqrt{16 - x^2} + \frac{16}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{4})]_{0}^{4}$।
क्षेत्रफल $= [\frac{4}{2} \sqrt{16 - 16} + 8 \sin^{-1}(1)] - [0 + 8 \sin^{-1}(0)]$।
क्षेत्रफल $= [0 + 8(\frac{\pi}{2})] - [0] = 4\pi$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया वक्र $y = 4x^2$ है, जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{y}{4}$, अतः $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ (क्योंकि यह प्रथम चतुर्थांश में है)।
क्षेत्रफल $A = \int_{2}^{4} x \, dy$ है।
$A = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} [\frac{y^{3/2}}{3/2}]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{2}^{4}$।
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}]$।
$A = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$ वर्ग इकाई।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = 2^2$ है, अतः त्रिज्या $r = 2$ है। रेखा $x = 1$ है।
छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = 2 \int_{1}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$A = 2 [\frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{1}^{2}$।
$A = 2 [(\frac{2}{2} \sqrt{4 - 4} + 2 \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{4 - 1} + 2 \sin^{-1}(\frac{1}{2}))]$।
$A = 2 [(0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{6})]$।
$A = 2 [\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}] = 2 [\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$।

(C) रेखाएँ $y = 2x$, $y = \frac{x}{2}$ और $x = 2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु:
$1$. $y = 2x$ और $y = \frac{x}{2}$, $(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
$2$. $y = 2x$ और $x = 2$, $(2, 4)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
$3$. $y = \frac{x}{2}$ और $x = 2$, $(2, 1)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
क्षेत्रफल $A$, समाकलन $\int_{0}^{2} (2x - \frac{x}{2}) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \int_{0}^{2} \frac{3x}{2} \, dx$।
$A = \frac{3}{2} [\frac{x^2}{2}]_{0}^{2} = \frac{3}{4} [4 - 0] = 3$ वर्ग इकाई।

(A) अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में, $\cos x \ge \sin x$ है।
क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx$ है।
$A = [\sin x - (-\cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$A = \sqrt{2} - 1$.