Continuity Questions in Gujarati

(B) $x > 0$ માટે, $|x| = x$, તેથી $f(x) = \frac{x - x}{x} = 0$ છે.
$x < 0$ માટે, $|x| = -x$, તેથી $f(x) = \frac{x - (-x)}{x} = \frac{2x}{x} = 2$ છે.
$x = 0$ પર, $f(0) = 2$ છે.
હવે, $x = 0$ પર સાતત્ય ચકાસો:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ છે.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2$ છે.
કારણ કે $\lim_{x \to 0^+} f(x) \neq \lim_{x \to 0^-} f(x)$, તેથી $x = 0$ પર લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી, તેથી $f$ એ $x = 0$ પર અસતત છે.
$x > 0$ માટે, $f(x) = 0$ (એક અચળ વિધેય), જે સતત છે.
$x < 0$ માટે, $f(x) = 2$ (એક અચળ વિધેય), જે સતત છે.
આમ, $f$ એ $x = 0$ સિવાયના તમામ $x$ માટે સતત છે.

(C) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે, $k = \lim_{x \to 0} f(x)$ થવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 0} \frac{(8-2x)^{1/3} - 2}{3 - (243+5x)^{1/5}} = \lim_{x \to 0} \frac{2(1 - x/4)^{1/3} - 2}{3 - 3(1 + 5x/243)^{1/5}}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2[1 + \frac{1}{3}(-x/4) + \dots] - 2}{3 - 3[1 + \frac{1}{5}(5x/243) + \dots]}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2 - x/6 - 2}{3 - 3 - x/81} = \lim_{x \to 0} \frac{-x/6}{-x/81} = \frac{81}{6} = \frac{27}{2}$.

(D) કારણ કે $f(x)$, $x = 0$ આગળ સતત છે, તેથી $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ થાય.
$\lim_{x \to 0} \frac{8^x - 2^x}{k^x - 1} = 2$.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા: $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{8^x - 1}{x} - \frac{2^x - 1}{x}}{\frac{k^x - 1}{x}} = 2$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\frac{\ln 8 - \ln 2}{\ln k} = 2$ મળે છે.
$\frac{\ln(8/2)}{\ln k} = 2 \implies \frac{\ln 4}{\ln k} = 2$.
$\ln 4 = 2 \ln k \implies \ln 4 = \ln(k^2)$.
$k^2 = 4 \implies k = 2$ (કારણ કે લક્ષના અસ્તિત્વ માટે $k > 0$ અને $k \neq 1$ હોવું જરૂરી છે).

(C) વિધેય $f$ એ $x = 1$ આગળ સતત હોવાથી, $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$ થાય.
ધારો કે $x = 1 + h$. જેમ $x \to 1$, તેમ $h \to 0$.
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1 + \cos(\pi(1+h))}{\pi(1-(1+h))^2}$.
$\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\cos(\pi + \pi h) = -\cos(\pi h)$ મળે છે.
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos(\pi h)}{\pi h^2}$.
નિત્યસમ $1 - \cos(\theta) = 2\sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા, $1 - \cos(\pi h) = 2\sin^2(\frac{\pi h}{2})$ મળે છે.
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{\pi h}{2})}{\pi h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{2}{\pi} \left( \frac{\sin(\frac{\pi h}{2})}{\frac{\pi h}{2} \cdot \frac{2}{\pi}} \right)^2 = \lim_{h \to 0} \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} \cdot \left( \frac{\sin(\frac{\pi h}{2})}{\frac{\pi h}{2}} \right)^2$.
કારણ કે $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$, તેથી $f(1) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} \cdot 1^2 = \frac{\pi}{2}$.

(A) પગલું $1$: વિકલિત $f'(x)$ શોધો.
$f'(x) = \begin{cases} 2ax & \text{જો } x < -1 \\ 2bx + a & \text{જો } x > -1 \end{cases}$
પગલું $2$: કારણ કે $f'(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે, તે $x = -1$ પર પણ સતત હોવું જોઈએ. તેથી, $\lim_{x \to -1^-} f'(x) = \lim_{x \to -1^+} f'(x)$.
$2a(-1) = 2b(-1) + a \implies -2a = -2b + a \implies 3a = 2b \implies b = \frac{3}{2}a$.
પગલું $3$: $x = -1$ પર $f'(x)$ ના અસ્તિત્વ માટે, $f(x)$ એ $x = -1$ પર સતત હોવું જોઈએ. તેથી, $\lim_{x \to -1^-} f(x) = f(-1)$.
$a(-1)^2 + b = b(-1)^2 + a(-1) + 4 \implies a + b = b - a + 4 \implies 2a = 4 \implies a = 2$.
પગલું $4$: $a = 2$ ને $b = \frac{3}{2}a$ માં મૂકો.
$b = \frac{3}{2}(2) = 3$. તેથી, $a = 2, b = 3$.

(C) વિધેય $f$ એ $x = \pi$ આગળ સતત હોવાથી, $f(\pi) = \lim_{x \to \pi} f(x)$ થાય.
ધારો કે $t = x - \pi$. જેમ $x \to \pi$, તેમ $t \to 0$ થાય.
તેથી $f(\pi) = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos(7t)}{5t^2}$.
નિત્યસમ $1 - \cos(\theta) = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા, $1 - \cos(7t) = 2 \sin^2(7t/2)$ મળે.
$f(\pi) = \lim_{t \to 0} \frac{2 \sin^2(7t/2)}{5t^2}$.
$f(\pi) = \frac{2}{5} \lim_{t \to 0} \left( \frac{\sin(7t/2)}{t} \right)^2$.
$(7/2)^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $f(\pi) = \frac{2}{5} \times (7/2)^2 \times \lim_{t \to 0} \left( \frac{\sin(7t/2)}{7t/2} \right)^2$.
કારણ કે $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$, તેથી $f(\pi) = \frac{2}{5} \times \frac{49}{4} \times 1^2 = \frac{49}{10}$.

(C) વિધેય $f(x)$, $x=0$ આગળ સતત છે જો $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ હોય.
$(A)$ $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{2}{x}} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{2}{x} \cdot x} = e^2 = f(0)$. સતત છે.
$(B)$ $\lim_{x \to 0} (\sin x - \cos x) = 0 - 1 = -1 = f(0)$. સતત છે.
$(C)$ $x \to 0^+$ માટે, $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{1/x}(1 - e^{-1/x})}{e^{1/x}(1 + e^{-1/x})} = 1$. $x \to 0^-$ માટે, $\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$. કારણ કે $\text{LHL} \neq \text{RHL}$, લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી. અસતત છે.
$(D)$ $\lim_{x \to 0} \frac{e^{5x} - e^{2x}}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{5x}-1}{x} - \frac{e^{2x}-1}{x}}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3} = \frac{5 - 2}{3} = 1 = f(0)$. સતત છે.

(A) પગલું $1$: $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને અંશનું સાદું રૂપ આપો.
$\sin 3x + \sin x = 2 \sin 2x \cos x$.
અંશ $= 4\sqrt{2} (2 \sin 2x \cos x) = 8\sqrt{2} \sin 2x \cos x$.
પગલું $2$: $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ અને $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને છેદનું સાદું રૂપ આપો.
$2 \sin 2x \sin \frac{3x}{2} = \cos(2x - \frac{3x}{2}) - \cos(2x + \frac{3x}{2}) = \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{7x}{2}$.
છેદ $= \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{7x}{2} + \cos \frac{5x}{2} - \cos \frac{3x}{2} = (\cos \frac{x}{2} - \cos \frac{3x}{2}) + (\cos \frac{5x}{2} - \cos \frac{7x}{2})$.
$= 2 \sin x \sin \frac{x}{2} + 2 \sin 3x \sin \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} (\sin x + \sin 3x) = 2 \sin \frac{x}{2} (2 \sin 2x \cos x) = 4 \sin \frac{x}{2} \sin 2x \cos x$.
પગલું $3$: $f(x) = \frac{8\sqrt{2} \sin 2x \cos x}{4 \sin \frac{x}{2} \sin 2x \cos x} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin \frac{x}{2}}$.
પગલું $4$: $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સાતત્ય માટે, $f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2\sqrt{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin \frac{\pi}{4}} = \frac{2\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = 4$.

(D) સંમેય વિધેય ત્યાં અસતત હોય છે જ્યાં તેનો છેદ શૂન્ય હોય.
છેદને શૂન્ય લો: $x^2 - 5|x| + 6 = 0$।
કારણ કે $x^2 = |x|^2$, આપણે તેને $|x|^2 - 5|x| + 6 = 0$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $|x| = t$, તો $t^2 - 5t + 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 2)(t - 3) = 0$.
તેથી, $|x| = 2$ અથવા $|x| = 3$.
આનાથી $x = \pm 2$ અથવા $x = \pm 3$ મળે છે.
અસતતતાના બિંદુઓ $x = 2, -2, 3, -3$ છે.
આવા કુલ $4$ બિંદુઓ છે.

(A) $f(x)$ એ $x = 0$ પર સતત હોવા માટે, $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે $f(x) = \frac{3^{x+3} - 3^{-x} - 2}{\tan x \cdot \log(1+x)}$.
અંશને ફરીથી લખતા: $3^{x+3} - 3^{-x} - 2 = 27 \cdot 3^x - 3^{-x} - 2 = \frac{27 \cdot 3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 1}{3^x}$.
ધારો કે $t = 3^x$. જેમ $x \to 0, t \to 1$. અંશ $(9t+1)(3t-1)$ થાય છે.
તેથી $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(9 \cdot 3^x + 1)(3 \cdot 3^x - 1)}{3^x \cdot \tan x \cdot \log(1+x)}$.
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ અને $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરીને, લક્ષની કિંમત મેળવવામાં આવે છે.

(B) $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત હોવા માટે, $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$ થવું જોઈએ.
ધારો કે $L = \lim_{x \to 2} \left( \frac{5x - 8}{8 - 3x} \right)^{\frac{3}{2x-4}}$.
જેમ $x \to 2$, આધાર $\frac{5(2)-8}{8-3(2)} = \frac{2}{2} = 1$ અને ઘાતાંક $\frac{3}{2(2)-4} \to \infty$ થાય છે.
આ $1^\infty$ સ્વરૂપ છે. આપણે સૂત્ર $\lim_{x \to a} [g(x)]^{h(x)} = e^{\lim_{x \to a} h(x)[g(x)-1]}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$L = e^{\lim_{x \to 2} \frac{3}{2x-4} \left( \frac{5x-8}{8-3x} - 1 \right)}$.
કૌંસની અંદરના પદને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{5x-8 - (8-3x)}{8-3x} = \frac{8x-16}{8-3x} = \frac{8(x-2)}{8-3x}$.
કિંમત મૂકતા: $L = e^{\lim_{x \to 2} \frac{3}{2(x-2)} \cdot \frac{8(x-2)}{8-3x}}$.
$(x-2)$ ને ઉડાડતા: $L = e^{\lim_{x \to 2} \frac{24}{2(8-3x)}}$.
લક્ષની કિંમત શોધતા: $L = e^{\frac{24}{2(8-6)}} = e^{\frac{24}{4}} = e^6$.

(B) પગલું $1$: $x \to 0$ હોય ત્યારે $f(x)$ ની લક્ષ કિંમત મેળવો.
પગલું $2$: $x$ એ $0$ ની ખૂબ નજીક હોય ત્યારે, $\tan x$ એ $0$ ની ખૂબ નજીક હોય છે, તેથી $\tan^2 x$ એ $0$ ની નજીકની એક નાની ધન કિંમત છે.
પગલું $3$: $x \in (-\epsilon, \epsilon) \setminus \{0\}$ માટે $0 < \tan^2 x < 1$ હોવાથી, મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[\tan^2 x] = 0$ થશે.
પગલું $4$: આમ, $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ છે.
પગલું $5$: $f(0) = [\tan^2 0] = [0] = 0$ હોવાથી, $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ મળે છે, તેથી $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.
પગલું $6$: $x = 0$ ના સામીપ્યમાં $f(x) = 0$ હોવાથી, $f'(0) = 0$ થાય છે.

(A) $f(x)$ એ $x = 3$ આગળ સતત હોવા માટે, ડાબી બાજુનું લક્ષ, જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 3$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) = 3a + 1$।
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3b + 3$।
લક્ષને સરખાવતા: $3a + 1 = 3b + 3$।
$3a - 3b = 3 - 1$।
$3(a - b) = 2$।
$a - b = \frac{2}{3}$।

(B) પગલું $1$: $\lim_{x \to 1} f(x)$ ની ગણતરી કરો. કારણ કે $1 < 2$ છે, આપણે $f(x) = x + 1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. તેથી, $\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$ થાય.
પગલું $2$: $\lim_{x \to 2} f(x)$ ની ગણતરી કરો. આપણે ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુની લક્ષની કિંમત તપાસીએ છીએ.
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 1) = 2 + 1 = 3$ થાય.
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ થાય.
બંને લક્ષ સમાન હોવાથી, $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ થાય.
પગલું $3$: સરવાળો $\lim_{x \to 1} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 3 = 5$ થાય.

(D) $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ સતત હોવા માટે, શરત $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ નું પાલન થવું જોઈએ.
પગલું $1$: $f(1) = 3(1) - 1 = 2$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$ શોધો: $\lim_{x \to 1^-} (ax + 7) = a(1) + 7 = a + 7$। તેને $f(1)$ સાથે સરખાવતા, $a + 7 = 2$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $a = -5$.
પગલું $3$: જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$ શોધો: $\lim_{x \to 1^+} \frac{x + 3}{b} = \frac{1 + 3}{b} = \frac{4}{b}$। તેને $f(1)$ સાથે સરખાવતા, $\frac{4}{b} = 2$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $b = 2$.
આમ, $a = -5$ અને $b = 2$ છે.