MCQ based Question Questions in Gujarati

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 6x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 9y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ નું મૂલ્ય મેળવીએ:
$1$. $(0, 10)$ પર: $Z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
$2$. $(5, 5)$ પર: $Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
$3$. $(15, 15)$ પર: $Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
$4$. $(0, 20)$ પર: $Z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $180$ મળે છે.

(B) રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા $(LPP)$ માં,જો હેતુલક્ષી વિધેય શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના બે અલગ-અલગ શિરોબિંદુઓ પર સમાન શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે,તો તે આ બે શિરોબિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પરના દરેક બિંદુ પર પણ તે જ શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે. આ $LPP$ માં શક્ય ઉકેલોના બહિર્મુખ ગણનો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે.

(D) આપેલ શરતો $x+y \leq 2$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ છે.
આ શરતો પ્રથમ ચરણમાં એક શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ બનાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(2,0)$,અને $(0,2)$ છે.
આપણે આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x+2y$ ની કિંમત શોધીએ:
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 3(0) + 2(0) = 0$.
$2$. $(2,0)$ પર: $Z = 3(2) + 2(0) = 6$.
$3$. $(0,2)$ પર: $Z = 3(0) + 2(2) = 4$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $6$ મળે છે,જે $(2,0)$ બિંદુએ પ્રાપ્ત થાય છે.

(A) સુરેખ આયોજનના પ્રશ્ન $(LPP)$ માં વિધાન $(I)$ અને વિધાન $(II)$ બંને સાચા છે:
વિધાન $(I)$:
$LPP$ માં ઉદ્દેશ્ય વિધેય હંમેશા સુરેખ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેને $1$ ઘાત ધરાવતા ચલ સાથેના સુરેખ સમીકરણ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
વિધાન $(II)$:
$LPP$ માં ચલને મર્યાદિત કરતી સુરેખ અસમતાઓને મર્યાદાઓ (constraints) કહેવામાં આવે છે.
સમજૂતી:
સુરેખ આયોજનના પ્રશ્નમાં,તમે અમુક મર્યાદાઓ (સુરેખ અસમતાઓ) ને અનુસરીને ઉદ્દેશ્ય વિધેય (સુરેખ સમીકરણ) ને શ્રેષ્ઠ (મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ) બનાવવાનો પ્રયાસ કરો છો,જે ચલની સંભવિત કિંમતોને મર્યાદિત કરે છે.

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 4x + 6y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીએ:
$1$. $(0,2)$ પર: $Z = 4(0) + 6(2) = 12$
$2$. $(3,0)$ પર: $Z = 4(3) + 6(0) = 12$
$3$. $(6,0)$ પર: $Z = 4(6) + 6(0) = 24$
$4$. $(6,8)$ પર: $Z = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$5$. $(0,5)$ પર: $Z = 4(0) + 6(5) = 30$
અહીં $Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $12$ છે,જે $(0,2)$ અને $(3,0)$ બંને શિરોબિંદુઓ પર મળે છે. તેથી,$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત આ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પરના દરેક બિંદુએ મળે છે.

(B) $z = 4x + 6y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત શોધીએ:
$(0,2)$ પર: $z = 4(0) + 6(2) = 12$
$(3,0)$ પર: $z = 4(3) + 6(0) = 12$
$(6,0)$ પર: $z = 4(6) + 6(0) = 24$
$(6,8)$ પર: $z = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$(0,5)$ પર: $z = 4(0) + 6(5) = 30$
અહીં ન્યૂનતમ કિંમત $12$ એ બે શિરોબિંદુઓ $(0,2)$ અને $(3,0)$ પર મળે છે.
તેથી,$z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત આ બે બિંદુઓને જોડતી રેખા પરના દરેક બિંદુએ મળે છે.
રેખાખંડ પર અનંત બિંદુઓ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $z = px + qy$ છે.
જો $z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બે ભિન્ન બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ પર મળતું હોય,તો આ બિંદુઓ પર $z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
આપેલ બિંદુઓ $(3, 0)$ અને $(1, 1)$ છે.
આ બિંદુઓ પર $z$ ના મૂલ્યોને સરખાવતા:
$p(3) + q(0) = p(1) + q(1)$
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 40x + 30y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે, આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. $(0, 0)$ પર: $z = 40(0) + 30(0) = 0$
$2$. $(0, 40)$ પર: $z = 40(0) + 30(40) = 1200$
$3$. $(20, 40)$ પર: $z = 40(20) + 30(40) = 800 + 1200 = 2000$
$4$. $(60, 20)$ પર: $z = 40(60) + 30(20) = 2400 + 600 = 3000$
$5$. $(60, 0)$ પર: $z = 40(60) + 30(0) = 2400$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા, હેતુલક્ષી વિધેયની મહત્તમ કિંમત $3000$ છે.

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x + 9y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે, આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. $(0, 10)$ પર: $z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$.
$2$. $(5, 5)$ પર: $z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$.
$3$. $(15, 15)$ પર: $z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$.
$4$. $(0, 20)$ પર: $z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$.
આ કિંમતો $(90, 60, 180, 180)$ ની સરખામણી કરતા, ન્યૂનતમ કિંમત $60$ મળે છે.

(A) આપેલ હેતુલક્ષી વિધેય $z = px + qy$ છે.
ખૂણાના બિંદુ $(0, 10)$ આગળ, $z = p(0) + q(10) = 90$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $10q = 90$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $q = 9$.
ખૂણાના બિંદુ $(5, 5)$ આગળ, $z = p(5) + q(5) = 60$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $5p + 5q = 60$ મળે, જેનું સંક્ષિપ્ત રૂપ $p + q = 12$ થાય છે.
સમીકરણ $p + q = 12$ માં $q = 9$ ની કિંમત મૂકતા, $p + 9 = 12$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $p = 3$.
હવે, $p = 3$ અને $q = 9$ ની સરખામણી કરતા, આપણે જોઈએ છીએ કે $9 = 3 \times 3$, જેનો અર્થ છે કે $q = 3p$.

(C) હેતુલક્ષી વિધેય $z = px + qy$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બે બિંદુઓ પર મળે તે માટે, $z$ નું મૂલ્ય બંને બિંદુઓ પર સમાન હોવું જોઈએ.
$(3, 0)$ પર, $z = p(3) + q(0) = 3p$ છે.
$(1, 1)$ પર, $z = p(1) + q(1) = p + q$ છે.
મૂલ્યોને સરખાવતા: $3p = p + q$.
બંને બાજુથી $p$ બાદ કરતા: $2p = q$.
આમ, $p = \frac{q}{2}$.

(B) પગલું $1$: મર્યાદાઓને અનુરૂપ રેખાઓ ઓળખો: $L_1: 3x - y = 6$, $L_2: x = 3$, $L_3: y = 2$, $L_4: y = 0$, $L_5: x = 0$।
પગલું $2$: આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધો જે તમામ અસમતાઓનું પાલન કરે છે.
- $L_1$ અને $L_4$ $(y=0)$ નું છેદબિંદુ: $3x - 0 = 6 \implies x = 2$। બિંદુ: $(2, 0)$।
- $L_1$ અને $L_3$ $(y=2)$ નું છેદબિંદુ: $3x - 2 = 6 \implies 3x = 8 \implies x = 8/3$। બિંદુ: $(8/3, 2)$।
- $L_2$ અને $L_3$ $(x=3, y=2)$ નું છેદબિંદુ: બિંદુ: $(3, 2)$।
- $L_2$ અને $L_4$ $(x=3, y=0)$ નું છેદબિંદુ: બિંદુ: $(3, 0)$।
પગલું $3$: સુસંગત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(2, 0), (8/3, 2), (3, 2),$ અને $(3, 0)$ છે।

(A) પગલું $1$: સીમા રેખાઓ ઓળખો:
$(i)$ $y = 2x + 4$
(ii) $y = -x + 5$
(iii) $x = 4$
(iv) $y = 2$
પગલું $2$: મર્યાદાઓના છેદબિંદુઓ શોધો:
- $y = 2$ અને $y = -x + 5$ નું છેદબિંદુ $x = 3$ આપે છે, બિંદુ $(3, 2)$।
- $y = 2$ અને $y = 2x + 4$ નું છેદબિંદુ $x = -1$ આપે છે ($x \geq 0$ ની બહાર)।
- $x = 4$ અને $y = 2x + 4$ નું છેદબિંદુ $y = 12$ આપે છે, બિંદુ $(4, 12)$।
- $x = 4$ અને $y = -x + 5$ નું છેદબિંદુ $y = 1$ આપે છે, બિંદુ $(4, 1)$।
- $y = 2x + 4$ અને $y = -x + 5$ નું છેદબિંદુ $3x = 1$, $x = 1/3$, $y = 14/3$ આપે છે, બિંદુ $(1/3, 14/3)$।
- આ પ્રદેશ $(3, 2)$, $(4, 1)$, $(4, 12)$, અને $(1/3, 14/3)$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા સીમિત છે।
પગલું $3$: કારણ કે $4$ શિરોબિંદુઓ છે અને પ્રદેશ સીમિત છે, તે $4$ ખૂણાના બિંદુઓ વાળો એક બહિર્મુખ સીમિત પ્રદેશ છે।

(C) પગલું $1$: રેખાઓ $2x + 3y = 6$ અને $x + y = 1$ ને આલેખીને શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ ઓળખો.
પગલું $2$: શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓ અને અક્ષોના છેદબિંદુઓ છે: $(0, 1)$, $(0, 2)$, $(3, 0)$, અને $(1, 0)$।
પગલું $3$: દરેક શિરોબિંદુ પર $z = 3x + y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 1)$ પર, $z = 3(0) + 1 = 1$।
$(0, 2)$ પર, $z = 3(0) + 2 = 2$।
$(3, 0)$ પર, $z = 3(3) + 0 = 9$।
$(1, 0)$ પર, $z = 3(1) + 0 = 3$।
પગલું $4$: મહત્તમ કિંમત $9$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.
પગલું $5$: તફાવત $9 - 1 = 8$ છે.

(A) પગલું $1$: પ્રતિબંધો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશને ઓળખો.
પ્રતિબંધ $1$: $x + 3y \leq 6$। સીમા રેખા $(6, 0)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
પ્રતિબંધ $2$: $2x + 6y \leq 18$ ને $x + 3y \leq 9$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે. સીમા રેખા $(9, 0)$ અને $(0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
પગલું $2$: કારણ કે $x + 3y \leq 6$ એ $x + 3y \leq 9$ કરતા વધુ કડક પ્રતિબંધ છે, તેથી શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં $x + 3y \leq 6$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
પગલું $3$: શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$, $(6, 0)$ અને $(0, 2)$ છે.
પગલું $4$: આ શિરોબિંદુઓ પર $z = 2x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 0)$ પર, $z = 2(0) + 5(0) = 0$.
$(6, 0)$ પર, $z = 2(6) + 5(0) = 12$.
$(0, 2)$ પર, $z = 2(0) + 5(2) = 10$.
પગલું $5$: મહત્તમ કિંમત $(6, 0)$ બિંદુ પર $12$ છે. કારણ કે મહત્તમ કિંમત એક જ શિરોબિંદુ પર મળે છે, તેથી ઉકેલ અનન્ય છે.

(C) હેતુલક્ષી વિધેય $z = px + qy$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બે બિંદુઓ પર મળે તે માટે, બંને બિંદુઓ પર $z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
$(3, 0)$ પર, $z_1 = p(3) + q(0) = 3p$.
$(1, 1)$ પર, $z_2 = p(1) + q(1) = p + q$.
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા: $3p = p + q$.
બંને બાજુથી $p$ બાદ કરતા: $2p = q$.
આમ, શરત $p = \frac{q}{2}$ છે.

(B) પગલું $1$: સીમા રેખાઓ ઓળખો: $L_1: 3x - y = 6$, $L_2: x = 3$, $L_3: y = 2$, $L_4: y = 0$, $L_5: x = 0$।
પગલું $2$: આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધો જે તમામ મર્યાદાઓને સંતોષે છે.
- $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $3(3) - y = 6 \implies y = 3$। કારણ કે $y \leq 2$, આ બિંદુ $(3, 3)$ બહાર છે.
- $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $3x - 2 = 6 \implies 3x = 8 \implies x = 8/3$। બિંદુ $(8/3, 2)$ છે.
- $L_1$ અને $L_4$ નું છેદબિંદુ: $3x - 0 = 6 \implies x = 2$। બિંદુ $(2, 0)$ છે.
- $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: બિંદુ $(3, 2)$ છે.
- $L_2$ અને $L_4$ નું છેદબિંદુ: બિંદુ $(3, 0)$ છે.
પગલું $3$: શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $(2, 0), (3, 0), (3, 2), (8/3, 2)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.

(C) $1$. રેખાઓ $y = 2x + 4$, $x + y = 5$, $x = 4$, અને $y = 2$ ને આલેખો.
$2$. પ્રદેશ $y - 2x \leq 4$ એ રેખા $y = 2x + 4$ ની ઉપર છે.
$3$. પ્રદેશ $x + y \geq 5$ એ રેખા $x + y = 5$ ની ઉપર છે.
$4$. પ્રદેશ $x \leq 4$ એ રેખા $x = 4$ ની ડાબી બાજુએ છે.
$5$. પ્રદેશ $y \geq 2$ એ રેખા $y = 2$ ની ઉપર છે.
$6$. છેદબિંદુઓ છે: $(0, 4)$, $(1, 6)$, $(4, 6)$, $(4, 2)$, અને $(3, 2)$।
$7$. કારણ કે બધી શરતો $5$ શિરોબિંદુઓ વાળો એક બંધ બહુકોણ બનાવે છે, તેથી શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $5$ ખૂણાના બિંદુઓ વાળો એક બહિર્મુખ સીમિત પ્રદેશ છે।

(D) પગલું $1$: મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સુસંગત પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ ઓળખો.
પગલું $2$: રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$(i)$ $x+y=5$ અને $2x+y=7$ થી $x=2, y=3$ મળે છે.
(ii) $2x+y=7$ અને $3x+2y=11$ થી $x=3, y=1$ મળે છે.
(iii) અક્ષો પરના અંતઃખંડો $(0, 0), (5, 0), (0, 5), (0, 5.5), (3.66, 0)$ છે.
પગલું $3$: સુસંગત પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ પર $z = 4x + y$ ની કિંમત તપાસતા:
$(0, 0)$ પર, $z = 0$.
$(3.5, 0)$ પર, $z = 4(3.5) + 0 = 14$.
$(3, 1)$ પર, $z = 4(3) + 1 = 13$.
$(2, 3)$ પર, $z = 4(2) + 3 = 11$.
$(0, 5)$ પર, $z = 4(0) + 5 = 5$.
પગલું $4$: મહત્તમ કિંમત $14$ છે.

(A) પગલું $1$: પ્રતિબંધોનું વિશ્લેષણ કરો. પ્રતિબંધો $x + 3y \leq 6$ અને $2x + 6y \leq 18$ છે. નોંધો કે $2x + 6y \leq 18$ ને $x + 3y \leq 9$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે.
પગલું $2$: કારણ કે $x + 3y \leq 6$ એ $x + 3y \leq 9$ કરતા વધુ કડક શરત છે, તેથી સુસંગત પ્રદેશ ફક્ત $x + 3y \leq 6$, $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
પગલું $3$: સુસંગત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$, $(6, 0)$ અને $(0, 2)$ છે.
પગલું $4$: આ શિરોબિંદુઓ પર $z = 2x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 0)$ પર, $z = 2(0) + 5(0) = 0$।
$(6, 0)$ પર, $z = 2(6) + 5(0) = 12$।
$(0, 2)$ પર, $z = 2(0) + 5(2) = 10$।
પગલું $5$: મહત્તમ કિંમત $(6, 0)$ બિંદુ પર $12$ છે. કારણ કે મહત્તમ કિંમત ફક્ત એક જ બિંદુ પર મળે છે, તેથી ઉકેલ અનન્ય છે.

(D) $z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય બંને બિંદુઓ $(15, 15)$ અને $(0, 20)$ પર મળે તે માટે, આ બંને બિંદુઓ પર $z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
યામોને હેતુલક્ષી વિધેય $z = px + qy$ માં મૂકતા:
$(15, 15)$ પર, $z_1 = p(15) + q(15) = 15p + 15q$ મળે.
$(0, 20)$ પર, $z_2 = p(0) + q(20) = 20q$ મળે.
$z_1$ અને $z_2$ ને સરખાવતા:
$15p + 15q = 20q$ મળે.
બંને બાજુથી $15q$ બાદ કરતા:
$15p = 5q$ મળે.
$5$ વડે ભાગતા:
$q = 3p$ મળે.

(D) $1$. $LPP$ માં, હેતુલક્ષી વિધેય $Z = ax + by$ એ એક સુરેખ વિધેય છે.
$2$. જો $Z$ બે ભિન્ન ખૂણાના બિંદુઓ પર સમાન મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે, તો સુરેખ વિધેયોના ગુણધર્મ મુજબ, $Z$ આ બે ખૂણાના બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પરના દરેક બિંદુ પર પણ સમાન મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરશે.
$3$. કારણ કે એક રેખાખંડમાં અનંત બિંદુઓ હોય છે, તેથી હેતુલક્ષી વિધેય $Z$ અનંત બિંદુઓ પર તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.