Electric potential Questions in Hindi

(B) खोखले धात्विक गोले की त्रिज्या $R = 15 \,cm$ है। सतह पर विभव $V_{surface} = 20 \,V$ है।
एक खोखले धात्विक गोले के लिए, गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य $(E = 0)$ होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव की ऋणात्मक प्रवणता (gradient) के बराबर होता है $(E = -dV/dr)$, यदि $E = 0$ है, तो गोले के भीतर विभव $V$ स्थिर रहता है।
इसलिए, गोले के केंद्र पर विभव उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
अतः, केंद्र पर विभव $20 \,V$ है।

(C) दी गई स्थिति चित्र में दर्शाई गई है। दूरी $AC = CB = L$ है। बिंदु $D$,$B$ से $L$ की दूरी पर है,इसलिए $AD = 3L$ और $BD = L$ है।
आवेश $Q$ को अर्धवृत्त $CRD$ के अनुदिश ले जाने में किया गया कार्य $W$,निकाय की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = U_{\text{final}} - U_{\text{initial}}$
जब $Q$,$C$ पर है,तब प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_{\text{initial}}$:
$U_{\text{initial}} = \frac{kqQ}{AC} + \frac{k(-q)Q}{BC} + \frac{kq(-q)}{AB} = \frac{kqQ}{L} - \frac{kqQ}{L} - \frac{kq^2}{2L} = -\frac{kq^2}{2L}$
जब $Q$,$D$ पर है,तब अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_{\text{final}}$:
$U_{\text{final}} = \frac{kqQ}{AD} + \frac{k(-q)Q}{BD} + \frac{kq(-q)}{AB} = \frac{kqQ}{3L} - \frac{kqQ}{L} - \frac{kq^2}{2L} = -\frac{2kqQ}{3L} - \frac{kq^2}{2L}$
$W = (-\frac{2kqQ}{3L} - \frac{kq^2}{2L}) - (-\frac{kq^2}{2L}) = -\frac{2kqQ}{3L}$
$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ रखने पर:
$W = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{L} = -\frac{qQ}{6\pi\varepsilon_0 L}$

(B) दिया गया है कि प्रत्येक छोटी गोलाकार बूंद का आवेश $= Q$ और उसकी सतह पर विभव $= V_0$ है। मान लीजिए कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है। विभव का सूत्र $V_0 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ है।
जब ऐसी दो बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^3$,जिससे $R^3 = 2r^3$ या $R = 2^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
नई बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q' = Q + Q = 2Q$ होता है।
नई बूंद की सतह पर विभव $V' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q'}{R} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2Q}{2^{1/3} r}$ है।
$V_0 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ का मान रखने पर,हमें $V' = V_0 \times \frac{2}{2^{1/3}} = V_0 \times 2^{1 - 1/3} = V_0 \times 2^{2/3} = V_0 \times (2^2)^{1/3} = 4^{1/3} V_0$ प्राप्त होता है।

(A) $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले चालक गोलीय कोश के केंद्र से $r$ दूरी पर विभव $V$ इस प्रकार दिया जाता है:
$V = \frac{kQ}{R}$ जब $r \le R$ और $V = \frac{kQ}{r}$ जब $r > R$,जहाँ $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ है।
$r = \frac{R}{2}$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए (दोनों कोशों के अंदर):
विभव $V_2$ दोनों कोशों के कारण विभव का योग है:
$V_2 = \frac{kq}{R} + \frac{k(2q)}{2R} = \frac{kq}{R} + \frac{kq}{R} = \frac{2kq}{R}$.
$r = 3R$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए (दोनों कोशों के बाहर):
विभव $V_1$ केंद्र पर बिंदु आवेश के रूप में माने गए दोनों कोशों के आवेशों के कारण विभव का योग है:
$V_1 = \frac{kq}{3R} + \frac{k(2q)}{3R} = \frac{3kq}{3R} = \frac{kq}{R}$.
अतः,अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = \frac{2kq/R}{kq/R} = 2$।

(A) माना पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ है। कुल आवेश $Q$ दोनों कोशों पर इस प्रकार वितरित है कि $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$ है।
कुल आवेश $Q = \sigma(4 \pi r^2) + \sigma(4 \pi R^2) = 4 \pi \sigma(r^2 + R^2)$ है।
अतः,$\sigma = \frac{Q}{4 \pi (r^2 + R^2)}$ है।
$q$ आवेश वाले $a$ त्रिज्या के गोलीय कोश के केंद्र पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{a}$ होता है।
दोनों कोशों के लिए,केंद्र पर कुल विभव प्रत्येक कोश के कारण विभव का योग है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{\sigma 4 \pi r^2}{r} + \frac{\sigma 4 \pi R^2}{R} \right)$ है।
$V = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (r + R)$ है।
$\sigma$ का मान रखने पर:
$V = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 (r^2 + R^2)} (r + R) = \frac{Q(R+r)}{4 \pi \varepsilon_0 (R^2+r^2)}$ है।

(C) $(0,0,a)$ पर स्थित $+q$ आवेश के कारण बिंदु $P(0,0,z)$ पर विभव:
$V_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{(z-a)}$
$(0,0,-a)$ पर स्थित $-q$ आवेश के कारण बिंदु $P(0,0,z)$ पर विभव:
$V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{-q}{(z-(-a))} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{-q}{(z+a)}$
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है:
$V = V_1 + V_2$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q}{z-a} - \frac{q}{z+a} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{(z+a) - (z-a)}{(z-a)(z+a)} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{z+a-z+a}{z^2-a^2} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a}{z^2-a^2} \right]$
$V = \frac{2qa}{4 \pi \varepsilon_0(z^2-a^2)}$

(B) आवेश $x=0$ $(q/2)$,$x=a$ $(-q)$,और $x=2a$ $(q/2)$ पर स्थित हैं। बिंदु $P$,$x=a$ पर स्थित $-q$ आवेश से $r$ दूरी पर है। अतः $P$ का निर्देशांक $x = a + r$ होगा।
बिंदु $P$ पर कुल विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का योग है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q/2}{r+a} - \frac{q}{r} + \frac{q/2}{r-a} \right]$
$q/2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{r+a} - \frac{2}{r} + \frac{1}{r-a} \right]$
पदों को संयोजित करने पर:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r(r-a) - 2(r^2-a^2) + r(r+a)}{r(r^2-a^2)} \right]$
अंश का सरलीकरण करने पर:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2 - ar - 2r^2 + 2a^2 + r^2 + ar}{r(r^2-a^2)} \right] = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a^2}{r(r^2-a^2)} \right]$
चूंकि $r \gg a$,हम $r^2 - a^2 \approx r^2$ मान सकते हैं:
$V \approx \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2a^2}{r^3} = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$

(B) आवेशों के निकाय के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण उत्पन्न विभवों का बीजगणितीय योग होता है।
मान लीजिए बिंदु $P$,$x = a + r$ पर स्थित है। $P$ से आवेशों की दूरियाँ इस प्रकार हैं:
$x=0$ पर स्थित $\frac{q}{2}$ आवेश के लिए: दूरी $d_1 = (a+r) - 0 = r+a$
$x=a$ पर स्थित $-q$ आवेश के लिए: दूरी $d_2 = (a+r) - a = r$
$x=2a$ पर स्थित $\frac{q}{2}$ आवेश के लिए: दूरी $d_3 = |(a+r) - 2a| = |r-a| = r-a$ (चूंकि $r >> a$)
कुल विभव $V_P$ है:
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q/2}{r+a} - \frac{q}{r} + \frac{q/2}{r-a} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{2(r+a)} - \frac{1}{r} + \frac{1}{2(r-a)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r(r-a) - 2(r^2-a^2) + r(r+a)}{2r(r^2-a^2)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2 - ar - 2r^2 + 2a^2 + r^2 + ar}{2r(r^2-a^2)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a^2}{2r(r^2-a^2)} \right] = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r(r^2-a^2)}$
चूंकि $r >> a$,इसलिए $r^2 - a^2 \approx r^2$.
अतः,$V_P = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$.

(B) माना $q_1 = 9 \mu C$ और $q_2 = -3 \mu C$ है। उनके बीच की दूरी $d = 0.16 \ m$ है।
माना बिंदु $P$,$q_1$ से $x$ दूरी पर स्थित है। तब $q_2$ से $P$ की दूरी $(0.16 - x)$ होगी।
बिंदु $P$ पर दोनों आवेशों के कारण कुल विद्युत विभव $V$ शून्य है:
$V = V_1 + V_2 = 0$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1}{x} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_2}{0.16 - x} = 0$
$\frac{9 \times 10^{-6}}{x} = - \frac{-3 \times 10^{-6}}{0.16 - x}$
$\frac{9}{x} = \frac{3}{0.16 - x}$
$3(0.16 - x) = x$
$0.48 - 3x = x$
$4x = 0.48$
$x = 0.12 \ m$
अतः,$9 \mu C$ आवेश से $P$ की दूरी $0.12 \ m$ है।

(A) स्थिर वैद्युत क्षेत्र में आवेश $Q$ को ले जाने में किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है और केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।
किया गया कार्य $W = Q(V_{\text{अंतिम}} - V_{\text{प्रारंभिक}})$।
यहाँ, प्रारंभिक बिंदु $C$ है और अंतिम बिंदु $D$ है।
दूरी $AC = L$, $CB = L$, $BD = L$ है।
$C$ पर विभव $(V_C)$: $V_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{AC} + \frac{-q}{CB}] = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{L} - \frac{q}{L}] = 0$।
$D$ पर विभव $(V_D)$: $V_D = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{AD} + \frac{-q}{BD}] = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{3L} - \frac{q}{L}] = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q - 3q}{3L}] = \frac{-2q}{12 \pi \epsilon_0 L} = \frac{-q}{6 \pi \epsilon_0 L}$।
चूंकि स्थिर वैद्युत बल संरक्षी होता है, इसलिए $C$ से $D$ तक किसी भी पथ पर किया गया कार्य समान होता है:
$W_1 = W_2 = Q(V_D - V_C) = Q(\frac{-q}{6 \pi \epsilon_0 L} - 0) = \frac{-Qq}{6 \pi \epsilon_0 L}$।
अतः, $W_1 = W_2 = \frac{-Qq}{6 \pi \epsilon_0 L}$।

(A) मान लीजिए कि अर्थिंग के बाद $2R$ त्रिज्या वाले बाहरी कोश पर $q$ आवेश आता है।
चूंकि बाहरी कोश भू-संपर्कित है, इसलिए इसका विभव शून्य होना चाहिए।
बाहरी कोश पर विभव आंतरिक आवेश $Q$ और बाहरी आवेश $q$ के कारण विभव का योग है:
$V_{\text{outer}} = \frac{KQ}{2R} + \frac{Kq}{2R} = 0$
$q$ के लिए हल करने पर, हमें $q = -Q$ प्राप्त होता है।
अब, केंद्र से $r = \frac{3R}{2}$ की दूरी पर विभव की गणना करते हैं।
चूंकि $R < r < 2R$, यह बिंदु आंतरिक गोले के बाहर और बाहरी गोले के अंदर स्थित है।
इस बिंदु पर विभव आंतरिक गोले (बिंदु आवेश के रूप में) और बाहरी कोश (अंदर स्थिर) के कारण विभव का योग है:
$V(r) = \frac{KQ}{r} + \frac{Kq}{2R}$
$r = \frac{3R}{2}$ और $q = -Q$ रखने पर:
$V = \frac{KQ}{3R/2} + \frac{K(-Q)}{2R} = \frac{2KQ}{3R} - \frac{KQ}{2R} = \frac{4KQ - 3KQ}{6R} = \frac{KQ}{6R} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{6R}$

(D) कोश $B$ की सतह पर विभव तीनों कोशों $A, B$ और $C$ के कारण विभव का योग है।
$V_B = V_{A,B} + V_{B,B} + V_{C,B}$
चूंकि कोश के अंदर विभव स्थिर होता है और उसकी सतह पर विभव के बराबर होता है, इसलिए:
$V_{A,B} = \frac{k Q_A}{b} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\sigma(4\pi a^2)}{b} = \frac{\sigma a^2}{\varepsilon_0 b}$
$V_{B,B} = \frac{k Q_B}{b} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{-\sigma(4\pi b^2)}{b} = -\frac{\sigma b}{\varepsilon_0}$
$V_{C,B} = \frac{k Q_C}{c} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\sigma(4\pi c^2)}{c} = \frac{\sigma c}{\varepsilon_0}$
इनका योग करने पर:
$V_B = \frac{\sigma a^2}{\varepsilon_0 b} - \frac{\sigma b}{\varepsilon_0} + \frac{\sigma c}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \left( \frac{a^2}{b} - b + c \right)$

(C) $1$. आंतरिक गोले पर $q$ आवेश है। प्रेरण के कारण, खोल की आंतरिक सतह ($a$ त्रिज्या) पर $-q$ आवेश प्रेरित होता है।
$2$. चूंकि खोल ग्राउंड किया गया है, इसलिए इसका विभव शून्य है। खोल पर कुल आवेश $Q_{shell} = -q + q' = 0$ है, जहां $q'$ बाहरी सतह पर आवेश है। ग्राउंडिंग के कारण, बाहरी सतह का आवेश शून्य हो जाता है। अतः, आंतरिक सतह पर $-q$ और बाहरी सतह पर $0$ आवेश रहता है।
$3$. गोले के केंद्र पर विभव, गोले, खोल की आंतरिक सतह और खोल की बाहरी सतह के कारण उत्पन्न विभव का योग है।
$4$. $V_{centre} = V_{sphere} + V_{inner_shell} + V_{outer_shell} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q}{R} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{-q}{a} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{0}{b} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{a} \right)$.

(B) $r$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाली वलय के केंद्र से $x$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{\sqrt{x^{2} + r^{2}}}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A$ के लिए, $x_A = \frac{4}{3}r$, अतः वलय की परिधि से दूरी $d_A = \sqrt{(\frac{4}{3}r)^2 + r^2} = \frac{5}{3}r$.
अतः, $V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{3q}{5r}$.
बिंदु $B$ के लिए, $x_B = \frac{3}{4}r$, अतः वलय की परिधि से दूरी $d_B = \sqrt{(\frac{3}{4}r)^2 + r^2} = \frac{5}{4}r$.
अतः, $V_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{4q}{5r}$.
$-q$ आवेश को $A$ से $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = (-q)(V_B - V_A)$.
$W = -q \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{4q}{5r} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{3q}{5r} \right) = -\frac{1}{5} \cdot \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$.

(A) आवेशों के बीच बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Q}{r} + \frac{4Q}{d-r} \right)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $r$, $A$ से $P$ की दूरी है।
विभव के न्यूनतम होने के लिए, हम $\frac{dV}{dr} = 0$ रखते हैं।
$\frac{dV}{dr} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( -\frac{Q}{r^2} + \frac{4Q}{(d-r)^2} \right) = 0$.
इसका अर्थ है $\frac{Q}{r^2} = \frac{4Q}{(d-r)^2}$, जो उस स्थिति के बराबर है जहाँ कुल विद्युत क्षेत्र $E = 0$ होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{r} = \frac{2}{d-r}$.
$r$ के लिए हल करने पर: $d - r = 2r \Rightarrow 3r = d \Rightarrow r = \frac{d}{3}$.
अतः, $A$ के दाईं ओर $\frac{d}{3}$ इकाई की दूरी पर विभव न्यूनतम है।

(A) बिंदु आवेश $q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र संरक्षी होता है, इसलिए आवेश $Q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है और यह $W = Q(V_B - V_A)$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A(a, 0)$ पर विभव $V_A = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} a}$ है।
बिंदु $B(0, b)$ पर विभव $V_B = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} b}$ है।
अतः, किया गया कार्य $W = Q \left( \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} b} - \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} a} \right)$ है।
$W = \frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right) = \frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{a - b}{a b} \right)$.

(D) स्थिर वैद्युत बल एक संरक्षी बल है।
परिभाषा के अनुसार, किसी संरक्षी बल द्वारा किसी आवेश को किसी बंद पथ पर ले जाने में किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।
चूंकि आवेश $Q$ को एक वृत्त के चारों ओर एक बार घुमाया जाता है, जो एक बंद पथ है, इसलिए कुल किया गया कार्य $0$ है।

(C) भौतिकी में, किसी एक बिंदु पर निरपेक्ष विद्युत विभव एक ऐसी राशि नहीं है जिसे विशिष्ट रूप से मापा जा सके, क्योंकि यह संदर्भ बिंदु के चयन पर निर्भर करता है (जहाँ विभव को शून्य माना जाता है)।
हालाँकि, दो बिंदुओं के बीच विभवांतर (वोल्टेज) एक अच्छी तरह से परिभाषित और मापने योग्य राशि है।
प्रतिरोध और विस्थापन धारा दोनों ऐसी भौतिक राशियाँ हैं जिन्हें उपयुक्त उपकरणों का उपयोग करके सीधे मापा जा सकता है।
इसलिए,'वोल्टेज' (जब यह किसी बिंदु पर निरपेक्ष विभव को संदर्भित करता है) को बिना किसी परिभाषित संदर्भ के निरपेक्ष अर्थ में मापने योग्य राशि नहीं माना जाता है।

(A) आवेशों $q_{1}$ और $q_{2}$ की उपस्थिति में $q_{3}$ आवेश को एक बिंदु पर लाने में किया गया कार्य $W$ निकाय की स्थितिज ऊर्जा द्वारा दिया जाता है:
$W = V \times q_{3} = (\frac{kq_{1}}{\ell} + \frac{kq_{2}}{\ell}) q_{3}$
दिया गया है: $q_{1} = 1 \times 10^{-9} \text{ C}$, $q_{2} = 2 \times 10^{-9} \text{ C}$, $q_{3} = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$, $\ell = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$, $k = 9 \times 10^{9} \text{ N.m}^{2}/\text{C}^{2}$.
मान रखने पर:
$W = \frac{9 \times 10^{9}}{3 \times 10^{-2}} (1 \times 10^{-9} + 2 \times 10^{-9}) \times 3 \times 10^{-9}$
$W = (3 \times 10^{11}) \times (3 \times 10^{-9}) \times (3 \times 10^{-9})$
$W = 27 \times 10^{-7} \text{ J} = 2.7 \times 10^{-6} \text{ J} = 2.7 \text{ } \mu\text{J}$.

(C) किसी भी चालक गोलीय कोश पर किसी बिंदु पर विभव कोशों पर मौजूद सभी आवेशों के कारण विभव का योग होता है।
केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए, $R$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाले कोश के कारण विभव $\frac{kq}{R}$ होता है यदि $r \le R$ हो और $\frac{kq}{r}$ होता है यदि $r > R$ हो।
गोले $A$ (त्रिज्या $a$) के लिए: यह $B$ और $C$ के अंदर है, इसलिए विभव $V_A = \frac{kq_1}{a} + \frac{kq_2}{b} + \frac{kq_3}{c} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{a} + \frac{q_2}{b} + \frac{q_3}{c} \right)$ है।
गोले $B$ (त्रिज्या $b$) के लिए: यह $B$ की सतह पर, $C$ के अंदर और $A$ के बाहर है। इसलिए, $V_B = \frac{kq_1}{b} + \frac{kq_2}{b} + \frac{kq_3}{c} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1+q_2}{b} + \frac{q_3}{c} \right)$ है।
गोले $C$ (त्रिज्या $c$) के लिए: यह $C$ की सतह पर और $A$ तथा $B$ के बाहर है। इसलिए, $V_C = \frac{kq_1}{c} + \frac{kq_2}{c} + \frac{kq_3}{c} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1+q_2+q_3}{c} \right)$ है।

(D) बिंदु '$A$' ऊपर वाले $+q$ आवेश और नीचे वाले $+q$ आवेश से $l$ दूरी पर है।
बिंदु '$A$' से दोनों $-q$ आवेशों की दूरी $\sqrt{(2l)^2 + l^2} = \sqrt{4l^2 + l^2} = \sqrt{5l^2} = l\sqrt{5}$ है।
बिंदु '$A$' पर चारों आवेशों के कारण कुल विद्युत विभव $V$ प्रत्येक आवेश के विभव के योग के बराबर होता है:
$V_A = k(\frac{q}{l} + \frac{q}{l} - \frac{q}{l\sqrt{5}} - \frac{q}{l\sqrt{5}})$
$V_A = k(\frac{2q}{l} - \frac{2q}{l\sqrt{5}})$
$V_A = \frac{2kq}{l}(1 - \frac{1}{\sqrt{5}})$
अतः, विकल्प $(D)$ सही है।

(B) एक गोलीय चालक के भीतर विद्युत विभव $V$ स्थिर होता है और यह इसकी सतह पर विभव के बराबर होता है, जिसे $V = \frac{kq}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
गोलीय चालक की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
भीतर के विद्युत विभव और सतह पर विद्युत क्षेत्र का अनुपात ज्ञात करने के लिए:
$\frac{V}{E} = \frac{kq/R}{kq/R^2} = \frac{kq}{R} \times \frac{R^2}{kq} = R$.
अतः, अनुपात $R$ है। विकल्प $(B)$ सही है।

(A) एक समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के लिए, कोश के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव स्थिर होता है और यह उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
कोश की सतह पर विभव $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दूरी $r = R/2$ त्रिज्या $R$ से कम है (अर्थात, बिंदु कोश के अंदर है), इसलिए इस बिंदु पर विद्युत विभव वही होगा जो सतह पर है।
अतः, $r = R/2$ पर विभव $V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}$ होगा।

(D) एक आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक धीरे-धीरे ले जाने में बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आवेश एक इकाई धनात्मक बिंदु आवेश है, $q = 1$, इसलिए $W = V_B - V_A$ होगा।
$R$ त्रिज्या वाले समान रूप से आवेशित परावैद्युत गोले के केंद्र से $r$ दूरी पर विभव:
$r \ge R$ के लिए, $V(r) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}$, जहाँ $Q = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ है।
अतः, $V(r) = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi\epsilon_0 r} = \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r}$ होता है।
दिया गया है कि $r_A = 2R$ और $r_B = 3R$, इसलिए:
$V_A = \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 (2R)} = \frac{\rho R^2}{6\epsilon_0}$
$V_B = \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 (3R)} = \frac{\rho R^2}{9\epsilon_0}$
किया गया कार्य $W = |V_B - V_A| = |\frac{\rho R^2}{9\epsilon_0} - \frac{\rho R^2}{6\epsilon_0}| = |\frac{2\rho R^2 - 3\rho R^2}{18\epsilon_0}| = \frac{\rho R^2}{18\epsilon_0}$ होता है।
इसकी तुलना $\frac{\rho R^2}{n \epsilon_0}$ से करने पर, हमें $n = 18$ प्राप्त होता है।

(C) त्रिज्या $R$ और आवेश $Q$ वाले एक समान रूप से आवेशित अचालक गोले के केंद्र से $r$ दूरी पर विभव इस प्रकार है:
$r \ge R$ के लिए, $V(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{r}$.
$r < R$ के लिए, $V(r) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R} \left( \frac{3}{2} - \frac{r^2}{2R^2} \right)$.
सतह पर $(r = R)$, $V(R) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R}$.
प्रारंभिक स्थिति पर $(r = 3R)$, $V(3R) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{3R}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$\Delta K + \Delta U = 0 \implies \frac{1}{2}mv^2 - 0 = -q(V(R) - V(3R))$.
$\frac{1}{2}mv^2 = q(V(3R) - V(R)) = q \left( \frac{Q}{12\pi \epsilon_0 R} - \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R} \right)$.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{Qq}{4\pi \epsilon_0 R} \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{Qq}{4\pi \epsilon_0 R} \left( -\frac{2}{3} \right)$.
चूंकि आवेश ऋणात्मक है, यह धनात्मक गोले की ओर गति करता है और गतिज ऊर्जा प्राप्त करता है। विभवांतर का परिमाण $|V(3R) - V(R)| = \frac{2Qq}{12\pi \epsilon_0 R} = \frac{Qq}{6\pi \epsilon_0 R}$ है।
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{Qq}{6\pi \epsilon_0 R} \implies v^2 = \frac{Qq}{3\pi \epsilon_0 mR} \implies v = \sqrt{\frac{Qq}{3\pi \epsilon_0 mR}}$.

(B) $r$ दूरी पर स्थित एक छोटे आवेश अवयव $dq$ के कारण विद्युत विभव $V$ का मान $dV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dq}{r}$ होता है।
$R$ त्रिज्या और $\lambda$ रैखिक आवेश घनत्व वाले एक अर्ध-वलय के लिए, कुल आवेश $q = \lambda \times (\pi R)$ होता है।
चूंकि अर्ध-वलय के सभी बिंदु केंद्र से $R$ दूरी पर स्थित हैं, इसलिए केंद्र पर विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda \pi R}{R} = \frac{\lambda}{4\epsilon_0}$ होगा।
$R_1$ और $R_2$ त्रिज्या वाले दो संकेंद्रित अर्ध-वलयों के लिए, जिनका रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ समान है, केंद्र $O$ पर कुल विभव प्रत्येक अर्ध-वलय के कारण उत्पन्न विभव का योग होगा:
$V_{total} = V_1 + V_2 = \frac{\lambda}{4\epsilon_0} + \frac{\lambda}{4\epsilon_0} = \frac{2\lambda}{4\epsilon_0} = \frac{\lambda}{2\epsilon_0}$।

(A) आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $q_1$ और $q_2$ स्थिर हैं, स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ केवल $q_3$ की $q_1$ और $q_2$ के साथ अन्योन्य क्रिया ऊर्जा में परिवर्तन पर निर्भर करता है।
बिंदु $C$ पर: $r_{1C} = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$, $r_{2C} = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$।
$q_1, q_2$ के कारण $C$ पर विभव $V_C = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} (\frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.5})$ है।
बिंदु $D$ पर: $r_{1D} = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$, $r_{2D} = AD - AB = 40 - 30 = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$।
$q_1, q_2$ के कारण $D$ पर विभव $V_D = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} (\frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.1})$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = q_3(V_D - V_C) = \frac{q_3}{4\pi\epsilon_0} [(\frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.1}) - (\frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.5})]$।
$\Delta U = \frac{q_3}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_2}{0.1} - \frac{q_2}{0.5}] = \frac{q_3}{4\pi\epsilon_0} [10q_2 - 2q_2] = \frac{q_3}{4\pi\epsilon_0} [8q_2]$।
$\frac{q_3 K}{4\pi\epsilon_0}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $K = 8q_2$ प्राप्त होता है।

(D) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ तीन आवेश हैं:
$q_A = q$ बिंदु $A$ पर।
$q_B = q$ बिंदु $B$ पर।
$q_C = -3q$ बिंदु $C$ पर।
दी गई दूरियाँ:
$AC = x$.
$AB = 3x$, इसलिए $CB = AB - AC = 3x - x = 2x$.
प्रत्येक युग्म के लिए स्थितिज ऊर्जा की गणना करें:
$U_{AB} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_A q_B}{AB} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q \cdot q}{3x} = \frac{q^2}{12\pi\epsilon_0x}$.
$U_{AC} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_A q_C}{AC} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q \cdot (-3q)}{x} = -\frac{3q^2}{4\pi\epsilon_0x}$.
$U_{CB} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_C q_B}{CB} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{(-3q) \cdot q}{2x} = -\frac{3q^2}{8\pi\epsilon_0x}$.
कुल स्थितिज ऊर्जा $U = U_{AB} + U_{AC} + U_{CB} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0x} [\frac{q^2}{3} - 3q^2 - 1.5q^2] = \frac{1}{4\pi\epsilon_0x} [\frac{q^2}{3} - 4.5q^2] = \frac{1}{4\pi\epsilon_0x} [\frac{q^2 - 13.5q^2}{3}] = -\frac{12.5q^2}{12\pi\epsilon_0x} \approx -\frac{4q^2}{4\pi\epsilon_0x}$ (लगभग)।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए कि वर्ग $ABCD$ है जिसकी भुजा की लंबाई $a = 2r$ है। आवेश कोनों पर इस प्रकार रखे गए हैं: $A(+q), B(+q), C(-q), D(-q)$।
मान लीजिए कि बिंदु $P$ दो ऋण आवेशों $C$ और $D$ के बीच का मध्य बिंदु है।
$P$ से $C$ की दूरी $r$ है और $P$ से $D$ की दूरी $r$ है।
$P$ से $A$ की दूरी $\sqrt{(2r)^2 + r^2} = \sqrt{5r^2} = r\sqrt{5}$ है।
$P$ से $B$ की दूरी $\sqrt{(2r)^2 + r^2} = r\sqrt{5}$ है।
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V$ चारों आवेशों के कारण विभव का योग है: $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q}{r_A} + \frac{q}{r_B} + \frac{-q}{r_C} + \frac{-q}{r_D}]$।
दूरियों का मान रखने पर: $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q}{r\sqrt{5}} + \frac{q}{r\sqrt{5}} - \frac{q}{r} - \frac{q}{r}]$।
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{2q}{r\sqrt{5}} - \frac{2q}{r}]$।
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2q}{r} [\frac{1}{\sqrt{5}} - 1]$।

(A) एक घन में $8$ कोने होते हैं। मान लीजिए घन की भुजा की लंबाई $r$ है।
घन के किसी भी कोने से उसके केंद्र तक की दूरी मुख्य विकर्ण (body diagonal) की आधी होती है।
$r$ भुजा वाले घन का मुख्य विकर्ण $d = r\sqrt{3}$ होता है।
इसलिए, प्रत्येक कोने से केंद्र तक की दूरी $a = \frac{r\sqrt{3}}{2}$ है।
$a$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ के कारण विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कोनों पर $8$ समान आवेश हैं, इसलिए केंद्र पर कुल विभव प्रत्येक आवेश के कारण उत्पन्न विभव का योग होगा:
$V_{total} = 8 \times \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{a} \right) = \frac{8Q}{4\pi\epsilon_0 \cdot (\frac{r\sqrt{3}}{2})} = \frac{8Q}{2\pi\epsilon_0 r\sqrt{3}} = \frac{4Q}{\pi\epsilon_0 r\sqrt{3}}$.
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(B) आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है: $W = 200 \text{ J}$, $q = 5 \text{ C}$, $V_A = -20 \text{ V}$, $V_B = V$।
मान रखने पर: $200 = 5 \times (V - (-20))$।
$200 = 5 \times (V + 20)$।
$40 = V + 20$।
$V = 40 - 20 = 20 \text{ V}$।
अतः, बिंदु $B$ पर विभव $20 \text{ V}$ है।