Biot-Savart's Law and its application Questions in Gujarati

(B) '$a$' ત્રિજ્યા ધરાવતા અને '$I$' વિદ્યુતપ્રવાહનું વહન કરતા લાંબા નળાકાર તાર માટે:
$1$. તારની અંદર $(r < a)$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $B$ એ $r$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(B \propto r)$, જેના પરિણામે કેન્દ્રથી સપાટી સુધી રેખીય વધારો થાય છે.
$2$. તારની બહાર $(r > a)$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $B$ એ $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(B \propto 1/r)$, જેના પરિણામે અંતર વધવાની સાથે હાયપરબોલિક ઘટાડો થાય છે.
$3$. આ બંનેને જોડતા, આલેખ $r = a$ સુધી રેખીય વધારો અને $r > a$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે. આ આલેખ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(A) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
અહીં આપેલ મૂલ્યો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 90 \text{ A}$ અને અંતર $r = 1.5 \text{ m}$ છે.
શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 90}{2\pi \times 1.5}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 90}{1.5}$
$B = 2 \times 10^{-7} \times 60 = 120 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^{-5} \text{ T}$.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ, જો વિદ્યુતપ્રવાહ પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ વહેતો હોય, તો તારની ઉપરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્તર દિશા તરફ હોય છે.

(B) ધારો કે બે સમાંતર તાર $d = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$ ના અંતરે છે.
દરેક તારમાં વહેતો પ્રવાહ $I = 8 \text{ A}$ છે.
પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા હોવાથી, જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ મધ્યબિંદુએ $(r = d/2 = 0.15 \text{ m})$ બંને તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં હશે.
લાંબા સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
પ્રથમ તાર માટે, $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d/2)} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8}{0.15} = \frac{16 \times 10^{-7}}{0.15} = 106.67 \mu \text{T}$.
બંને તાર સમાન દિશામાં ફાળો આપતા હોવાથી, કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total} = B_1 + B_2 = 2 \times 106.67 \mu \text{T} = 213.33 \mu \text{T}$ થાય.

(C) તાર $I$ માટે: કેન્દ્ર $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ બે સીધા વિભાગો અને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે. $r$ અંતરે રહેલા અર્ધ-અનંત તારને કારણે ક્ષેત્ર $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ છે. આવા બે વિભાગો હોવાથી, તેમનું યોગદાન $2 \times \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે. અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે ક્ષેત્ર $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4r}$ છે. આમ, $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} + \frac{\mu_0 I}{4r} = \frac{\mu_0 I}{4r} (\frac{2}{\pi} + 1) = \frac{\mu_0 I}{4r} (\frac{2+\pi}{\pi})$.
તાર $II$ માટે: કેન્દ્ર $Q$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર અને સીધા વિભાગોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રનો તફાવત છે. સીધા વિભાગો દરેક $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ જેટલું યોગદાન આપે છે. ભૂમિતિના આધારે, ચોખ્ખું ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4r} - \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{4r} (1 - \frac{1}{\pi}) = \frac{\mu_0 I}{4r} (\frac{\pi-1}{\pi})$ છે.
ગુણોત્તર લેતા, $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{2+\pi}{\pi}}{\frac{\pi-1}{\pi}} = \frac{2+\pi}{\pi-1}$.

(A) વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2}{2 \times 0.1} = 4\pi \times 10^{-6} \text{ T}$.
ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{B^2}{2\mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$u = \frac{(4\pi \times 10^{-6})^2}{2 \times 4\pi \times 10^{-7}} = \frac{16\pi^2 \times 10^{-12}}{8\pi \times 10^{-7}} = 2\pi \times 10^{-5} \text{ J/m}^3$.
ઘનનું કદ $V = (1 \text{ mm})^3 = (10^{-3} \text{ m})^3 = 10^{-9} \text{ m}^3$.
સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U = u \times V$.
$U = (2\pi \times 10^{-5}) \times 10^{-9} = 2\pi \times 10^{-14} \text{ J}$.
$\pi = 3.14$ લેતા, $U = 2 \times 3.14 \times 10^{-14} = 6.28 \times 10^{-14} \text{ J}$.
આને $\alpha \times 10^{-14} \text{ J}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\alpha = 6.28$ મળે છે.

(A) વાહકની અંદર $(r < a)$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે દર્શાવે છે કે $B \propto r$. આ વાહકની અક્ષથી સપાટી સુધી ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રેખીય વધારો દર્શાવે છે.
વાહકની બહાર $(r > a)$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે દર્શાવે છે કે $B \propto \frac{1}{r}$. આ વાહકથી અંતર વધવાની સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટાડો દર્શાવે છે.
આલેખ $(A)$ યોગ્ય રીતે રેખીય વધારો અને ત્યારબાદ વ્યસ્ત ઘટાડો દર્શાવે છે. તેથી, વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $ABC$ વિભાગનો અવરોધ $R_1$ છે અને $ADC$ વિભાગનો અવરોધ $R_2$ છે. આપેલ છે કે $R_1 = \frac{1}{2} R_2$, અથવા $R_2 = 2R_1$.
આ વિભાગો સમાંતર હોવાથી, તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે, તેથી $I_1 R_1 = I_2 R_2$, જ્યાં $I_1$ અને $I_2$ એ અનુક્રમે $ABC$ અને $ADC$ વિભાગોમાં વહેતો પ્રવાહ છે.
$R_2 = 2R_1$ મૂકતા, આપણને $I_1 R_1 = I_2 (2R_1)$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $I_1 = 2I_2$.
વળી, $I_1 + I_2 = I_0$. $I_1 = 2I_2$ મૂકતા, આપણને $3I_2 = I_0$ મળે છે, તેથી $I_2 = \frac{I_0}{3}$ અને $I_1 = \frac{2I_0}{3}$.
જો લૂપ અર્ધવર્તુળાકાર હોય, તો $\theta$ ખૂણા ધરાવતા વર્તુળાકાર ચાપને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r}$ છે.
$ABC$ વિભાગ માટે (અર્ધવર્તુળ, $\theta = \pi$), $B_1 = \frac{\mu_0 I_1 \pi}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I_1}{4r} = \frac{\mu_0 (2I_0/3)}{4r} = \frac{\mu_0 I_0}{6r}$ (પાનાની અંદરની તરફ).
$ADC$ વિભાગ માટે (અર્ધવર્તુળ, $\theta = \pi$), $B_2 = \frac{\mu_0 I_2 \pi}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I_2}{4r} = \frac{\mu_0 (I_0/3)}{4r} = \frac{\mu_0 I_0}{12r}$ (પાનાની બહારની તરફ).
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = |B_1 - B_2| = |\frac{\mu_0 I_0}{6r} - \frac{\mu_0 I_0}{12r}| = \frac{\mu_0 I_0}{12r}$.

(C) ધારો કે તાર $A$ અને $B$ પર છે, જેમાં $I_1 = 8 \text{ A}$ અને $I_2 = 15 \text{ A}$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે. અંતર $AB = 7 \text{ cm}$ છે.
બિંદુ $P$ એ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે છે, તેથી $PA = PB = r$. $\angle APB = 90^\circ$ હોવાથી, $\triangle APB$ માં, $AB^2 = PA^2 + PB^2 = 2r^2$.
$7^2 = 2r^2 \implies 49 = 2r^2 \implies r^2 = 24.5 \implies r = \sqrt{24.5} \text{ cm} = \sqrt{24.5} \times 10^{-2} \text{ m}$.
તાર $A$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}$ અને તાર $B$ ને કારણે $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r}$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી, $P$ પાસે $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \frac{\mu_0}{2\pi r} \sqrt{I_1^2 + I_2^2}$.
$B = \frac{2 \times 10^{-7}}{r} \sqrt{8^2 + 15^2} = \frac{2 \times 10^{-7}}{\sqrt{24.5} \times 10^{-2}} \times 17 = \frac{34 \times 10^{-5}}{\sqrt{24.5}} \approx \frac{34 \times 10^{-5}}{4.95} \approx 6.86 \times 10^{-5} \text{ T}$.
આપેલ છે કે $B = X \times 10^{-6} \text{ T}$, તેથી $X \approx 68.6 \approx 68$.

(B) બે તાર વચ્ચેનું અંતર $d = 3 \text{ m}$ છે. મધ્યબિંદુ દરેક તારથી $r = d/2 = 1.5 \text{ m}$ ના અંતરે છે.
લાંબા સીધા તાર માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ તાર $(I_1 = 3 \text{ A})$ માટે, મધ્યબિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 \times 3}{2\pi \times 1.5} = \frac{3\mu_0}{3\pi} = \frac{\mu_0}{\pi} = \frac{2\mu_0}{2\pi}$ છે.
બીજા તાર $(I_2 = 4.5 \text{ A})$ માટે, મધ્યબિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 \times 4.5}{2\pi \times 1.5} = \frac{4.5\mu_0}{3\pi} = \frac{1.5\mu_0}{\pi} = \frac{3\mu_0}{2\pi}$ છે.
પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી, બંને તારને કારણે મધ્યબિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હશે (જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ).
તેથી, પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{2\mu_0}{2\pi} + \frac{3\mu_0}{2\pi} = \frac{5\mu_0}{2\pi}$ થાય.

(C) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu n I = \mu_0 \mu_r n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = N/L$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 2 \text{ cm}^2 = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$, લંબાઈ $L = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$, આંટાની સંખ્યા $N = 400$, પ્રવાહ $I = 0.4 \text{ A}$, ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 4\pi \times 10^{-6} \text{ Wb}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \mu_0 \mu_r (N/L) I \cdot A$.
કિંમતો મૂકતા: $4\pi \times 10^{-6} = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \mu_r \cdot (400 / 0.4) \cdot 0.4 \cdot (2 \times 10^{-4})$.
$4\pi \times 10^{-6} = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \mu_r \cdot 1000 \cdot 0.4 \cdot 2 \times 10^{-4}$.
$4\pi \times 10^{-6} = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \mu_r \cdot 8 \times 10^{-2}$.
$10^{-6} = 10^{-7} \cdot \mu_r \cdot 8 \times 10^{-2}$.
$10 = \mu_r \cdot 8 \times 10^{-2}$.
$\mu_r = 10 / (8 \times 10^{-2}) = 1000 / 8 = 125$.

(A) જ્યારે રીંગ ફરે છે ત્યારે તે વર્તુળાકાર પ્રવાહ ગાળા તરીકે વર્તે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને વિદ્યુતભારના વહનનો દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, $I = \frac{q}{T}$, જ્યાં $T$ એ એક પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
આવૃત્તિ $f$ હોવાથી, સમયગાળો $T = \frac{1}{f}$ થાય.
તેથી, સમતુલ્ય વિદ્યુતપ્રવાહ $I = qf$ થાય.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર ગાળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $B = \frac{\mu_0 (qf)}{2R} = \frac{\mu_0 qf}{2R}$ મળે છે.

(C) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે.
એક આંટા માટે જેની ત્રિજ્યા $R_1$ છે, પરિઘ $2\pi R_1 = L$ થાય, તેથી $R_1 = L / (2\pi)$.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 R_1} = \frac{\mu_0 I}{2 (L / 2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ મળે.
$n$ આંટા માટે જેની ત્રિજ્યા $R_n$ છે, તારની કુલ લંબાઈ $n(2\pi R_n) = L$ થાય, તેથી $R_n = L / (2\pi n)$.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_n = \frac{n \mu_0 I}{2 R_n} = \frac{n \mu_0 I}{2 (L / 2\pi n)} = \frac{n^2 \mu_0 I \pi}{L}$ મળે.
એક આંટા માટે અને $n$ આંટા માટેના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર $B_1 / B_n = (\frac{\mu_0 I \pi}{L}) / (\frac{n^2 \mu_0 I \pi}{L}) = 1 / n^2$ થાય.

(B) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી '$r$' લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B$' નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ અંતર '$r$' ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$B \propto \frac{1}{r}$
ધારો કે '$r_1 = r$' અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B_1 = B$' છે અને '$r_2 = 2r$' અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B_2$' છે.
તેથી, $\frac{B_2}{B_1} = \frac{r_1}{r_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{B_2}{B} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$
આમ, $B_2 = \frac{B}{2}$.

(A) $N$ આંટા, $R$ ત્રિજ્યા અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ લંબાઈના તારના એક આંટા $(N=1)$ માટે, પરિઘ $2\pi R = L$ થાય, તેથી $R = \frac{L}{2\pi}$.
આમ, $B = \frac{\mu_0 (1) I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 \pi I}{L}$.
જ્યારે તે જ તારને $N'=2$ આંટામાં વાળવામાં આવે, ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $R'$ માટે $2\pi R' = L/2$ થાય, તેથી $R' = \frac{L}{4\pi} = \frac{R}{2}$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = \frac{\mu_0 N' I}{2R'} = \frac{\mu_0 (2) I}{2(R/2)} = 4 \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = 4B$ થાય.

(C) બિંદુ '$O$' પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ત્રણ ભાગોને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે: સીધો તાર $AB$, વર્તુળાકાર ચાપ $BC$, અને સીધો તાર $CD$।
$1$. અર્ધ-અનંત તાર માટે, લંબ અંતર $r$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ હોય છે।
$2$. તાર $AB$ ને કારણે '$O$' પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{AB} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$।
$3$. વર્તુળાકાર ચાપ $BC$ (ત્રિજ્યા $r$, ખૂણો $\pi/2$) ને કારણે '$O$' પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{arc} = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{8r}$।
$4$. તાર $CD$ ને કારણે '$O$' પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{CD} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$।
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_{AB} + B_{arc} + B_{CD} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} + \frac{\mu_0 I}{8r} + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (1 + \frac{\pi}{2} + 1) = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (2 + \frac{\pi}{2})$।
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે।

(D) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $B \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે $r_1 = 2 \text{ cm}$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ છે અને $r_2 = 5 \text{ cm}$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ છે.
તેથી, ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \frac{r_2}{r_1}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{5}{2} = 5 : 2$.
આમ, $2 \text{ cm}$ અને $5 \text{ cm}$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર $5 : 2$ છે.

(D) $i$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$, જે કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો આંતરે છે, તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi r}$
અહીં, $\theta = \frac{\pi}{5}$ રેડિયન આપેલ છે.
સૂત્રમાં $\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 i (\frac{\pi}{5})}{4 \pi r}$
$B = \frac{\mu_0 i \pi}{20 \pi r}$
$B = \frac{\mu_0 i}{20 r}$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર: $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
લૂપની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર: $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
અહીં $x = R$ આપેલું હોવાથી, અક્ષ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2\sqrt{2} R^3)} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2} R}$ થાય.
હવે, કેન્દ્ર પરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને અક્ષ પરના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર: $\frac{B_{center}}{B_{axis}} = \frac{\mu_0 I / 2R}{\mu_0 I / 4\sqrt{2} R} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} : 1$ થાય.

(D) આ ગોઠવણી બે અર્ધ-અનંત તાર અને બે ચતુર્થાંશ-અનંત વિભાગોની બનેલી છે. ભૂમિતિને જોતા, બિંદુ '$O$' પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી બાયો-સાવર્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.
અર્ધ-અનંત તાર માટે, $a$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a}$ હોય છે.
આ ગોઠવણીમાં, વિભાગ $AB$ અને $BC$ બિંદુ '$O$' પર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. તેવી જ રીતે, વિભાગ $TE$ અને અન્ય આડો વિભાગ પણ '$O$' પર કાગળના સમતલની અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
સમાનતા અને જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, ચારેય વિભાગોનું યોગદાન ઉમેરાય છે. ખાસ કરીને, દરેક વિભાગ બિંદુ '$O$' ની સાપેક્ષમાં અર્ધ-અનંત તાર તરીકે કાર્ય કરે છે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total} = 4 \times (\frac{\mu_0 I}{4\pi a}) = \frac{\mu_0 I}{\pi a}$ થશે.

(B) લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારથી '$r$' અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર અંતર '$r$' ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $B \propto \frac{1}{r}$
આપેલ છે કે '$r$' અંતરે, $B_1 = 0.4 \text{ tesla}$
જ્યારે અંતર બમણું કરવામાં આવે, ત્યારે $r_2 = 2r$
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ નીચે મુજબ થશે:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (2r)} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \right) = \frac{1}{2} B_1$
$B_2 = \frac{0.4}{2} = 0.2 \text{ tesla}$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૂંચળા $X$ માટે: ત્રિજ્યા $R_x = r$, અંતર $x_x = d/2$. $d \gg r$ હોવાથી, $B_x \approx \frac{\mu_0 I r^2}{2(d/2)^3} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(d^3/8)} = \frac{4 \mu_0 I r^2}{d^3}$.
ગૂંચળા $Y$ માટે: ત્રિજ્યા $R_y = 2r$, અંતર $x_y = d$. $d \gg r$ હોવાથી, $B_y \approx \frac{\mu_0 I (2r)^2}{2d^3} = \frac{4 \mu_0 I r^2}{2d^3} = \frac{2 \mu_0 I r^2}{d^3}$.
$B_x$ અને $B_y$ ની સરખામણી કરતા, આપણને $B_x = 2 B_y$ મળે છે.

(B) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા અક્ષીય બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરત $B_2 = 8B_1$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{\mu_0 I}{2R} = 8 \times \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{1}{R} = \frac{8R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
$(R^2 + x^2)^{3/2} = 8R^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$(R^2 + x^2)^{1/2} = 2R$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$R^2 + x^2 = 4R^2$.
$x^2 = 3R^2$.
$x = \sqrt{3} R$.

(B) ગતિમાન વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q(\vec{v} \times \vec{r})}{r^3}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{r}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી (એટલે કે $\vec{B} \propto \vec{v} \times \vec{r}$), સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ સદિશ $\vec{B}$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{r}$ બંનેને લંબ હોવું જોઈએ.
તેથી, $\vec{B}$ હંમેશા $\vec{v}$ ને લંબ હોય છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + d^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $d = \sqrt{3}R$, તેથી $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + 3R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(4R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(8R^3)} = \frac{\mu_0 I}{16R}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રથમ લૂપ $YZ$-સમતલમાં છે અને તેનો અક્ષ $X$-અક્ષ પર છે. $P$ પર તેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{16R} \hat{i}$ છે.
બીજા લૂપનો અક્ષ $XY$-સમતલમાં $X$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે નમેલો છે. તેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}_2$, $X$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે હશે: $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{16R} (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = \frac{\mu_0 I}{16R} (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})$.
પરિણામી ક્ષેત્ર $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{16R} [(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}] = \frac{\mu_0 I}{16R} [(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}})\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}] = \frac{\mu_0 I}{16\sqrt{2}R} [(\sqrt{2} + 1)\hat{i} + \hat{j}]$ થાય છે.